Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Обисие свойство, вмчислитсльимо алсоритмов Например, можно в 1 ввести сетку с шагами )с = к,сп, т = ТЯ и заменить уравнение (18) простейшим разностным уравнением. Обозначим через и„решение сеточной задачи; имеем ,то,т свт 2 т Э ив~ ) (22) ст = (1 4(тй )) со. 3 в д в ч а 2. Принимая, что последнее неравенство определяет способ уменыпепня значащих цифр, и выбирая оптимальный метод табулировання элементов компакта У, покажите, что прн г =- 2, Т = 1 справедливо равенство и злы Т) =- РО + 01М7л), где еьэ — пРнблвжепнос значение Решониа Разностной задачи.
Определите соотношение между шагами т н Л., приводящее к последнему результату. Отметим, что мы получили вполне приличный результат. Так, если длина таблицы на входе равна Х. то, учитывая способ табулирования элементов компакта У, описанный в предложении 1, нужно принять и =- ээ'э1з, и, значит, погрешность полученного решения г< Л1э"э' э1з, в то время как оптимальная погрешность =- Л1 э' Из замечания, сделанного перед формулировкой задачи 2, .следует, что в процессе определения величин й",' будет происходить огромное сокращение значащих цифр.
Это сокращение абсолютно закономерное явление. При неудачно сконструированных алгоритмах происходит чересчур болыпое сокращение знаков, н тогда получить решение не удается. Сконструировать алгоритм решения некорректной задачи, при реализации которого будет происходить сокращение знаков в соответствии со свойствами задачи, как правило, весьма трудно. В свете сказанного возвратимся к вопросу о нашей классификации алгоритмов с помощью в-,энтропип, В рассмотренном примере уравнения теплопроводности подтверждаются соотношения (16), (17), и их можно принять в качестве руководящего эвристического принципа.
Правда, когда Н(в: Х) = 11(в; У), то возможно, что мы имеем дело как с корректной, так н с некорректной задачей. Соотношения (16), (17) равносильны соотношениям (Х;т)/ (У„ЛЛ) О, Л1 в(Х: Лб)фУ: Х) -. ос, Лй) оо. ~23) (24) если 1 < lс < и — 1, О < ш < с„— 1. Граничные и начальные усшсшъш возьмем в виде оса = о„",' (О < ш < Я вЂ” 1), в" = еоь (1 < й < и — 1), где еоь приближенные значения р(ль) (й.— — 1, 2,..., и — 1).
Если обозначить через в максимальную погрешность на пэ-м шаге,. возникающую из-за операций с округленными величинами, то из уравнения (22) получаем., что в .,э < (1 -Ь 4т('л') „,, и, следовательно, 345 О 3. Решение некоторых некорректных оае1ич ди д-и д1 дхз ' (25) удовлетворяюшее условиям и(0, 1) = и(я, 1) = О, О <1 < Т, и(х, Т) = х(х). Требуется найти начальное распределение температур и(х, 0). Вместо уравнения (25) в методе квазиобращения предлагается рассматривать уравнение ди д~и д~х дс дхз ' едхо и для него краевую задачу (26) и(0, 1) =, (О, 1) = О, и(.г, 1) =, = О, и(х, Т) = уо(х).
(27) д и д и(х.1) Решение уравнения (26), удовлетворяющее условиям (27), имеет вид и(х. 1) = ~~ оь ехр(Ль1) вш)ех, тде Ль = — йэ -' вьо. Если о(х) = ~ аь в1п1х, то в=1 и(х, 1) = ~ ~аь ехр(Ль(1 —. Т)) в1пЛх. ь=1 В первом случае мы считаем задачу некорректной, а во втором -- корректной.
Теперь их легко интерпретировать. Если имеет место соотношение (23), то численный алгоритм должен преобразовать таблицу большей точности, подаваемую на входе, в таблипу меньшей точности. И стало быть, в процессе работы алгоритма закономерна потеря надлежащего числа знаков.
Это мы видели на днух примерах задаче дифференцирования и обратной задаче теплопроводности. Если выполняется соотношение (24), то в процессе работы алгоритма мы должны перейти от таблицы меньшей точности к таблице большей точности, т. е, в процессе работы мы должны каким-то способом увеличить число верных знаков. Понятно, что это возможно лишь при специфическом виде таблицы на входе в алгоритм. Отсюда те трудности, которые мы испытываем при построении хороших алгоритмов решения корректных задач. В заключение этого пу.пкта кратко остановимся на вопросе о том, как поступить.
если надо решить задачу (18 ), но р ф У. Существует несколько подходов, как приближенно решить задачу (18.. ), все эти подходы равноценны, и мы изложим один из них, известный под назнанием метода квиоиобри щения (72). Для удобства переформулируем задачу (18 .. ), считая. что ищем в интервале 1 решение уравнения 346 Глава 5. Об//Ше свойсгава, оычислигаелыаых алеоритл/ов Функцию и(х, 0) — -- ~ ~аь ехр( — ЛьТ) япал (28) предлагается считать приближенным решением задачи (25), Если с на- чальными данными (28) решать прямую задачу (18+), то получим функ- цию х(я, Т) =. ~ ~а/„-ехр( — Й~Т вЂ” ЛаТ)япИх. =- ~ ааехр( — М~Т)вш1ся, которую можно рассматривать как элемент некоторого компакта У, близ- кий к исходной функции /р(т). Предлагается е выбрать из условия где и предписанная мера близости: тогда е определяется из уравнения а,,(1 — ехр( — ей Т)) — —.
и ~ а„... а=1 ь=1 (29) Отметим, что функцию (28) предлагаемое решение можно записать в виде и(х, 0) = ~аь ехр~(1д — ека)Т) яп йя. (30) лат Если величины аь убывают достаточно медленно и ~аа~еь велико при малых й (а именно эта возможность и должна реализоваться, поскольку /р ф У), то множитель ехр( — вк~Т) имеет существенное значение и, чтобы парировать рост величин аа ~ ехр(1сз), нужно взять е к 1.
А тогда из уравнения (29) мы получим, что /1 к 1, если Т вЂ” 1. Но после этого становится непонятным, какое отношение к делу имеет решение (30)? Таким образом, и при таком подходе можно получить удовлетворительные результаты лишь при Т « 1 и скромной мере близости /1 /а/. 4.
О разиостиой аппроксимации задачи Коши. В некоторых случаях мы можем при решении некорректно поставленной задачи обеспечить тот вид таблицы на входе в алгоритм, который диктуется существом задачи. Спрашивается, как построить алгоритм решения некорректной задачи? Обеспечен ли автоматически успех в решении задачи? Мы рассмотрим для примера решение задачи Коши для уравнения Лапласа разностным методом. Возьмем опять область О = (т, р/ 0 < л < 2~г, 0 < р < /У), и пусть и(я, р) — периодическое 347 е 3.
Решение некотозснх некогсректнмх еасган по координате х, четырежды непрерывно дифференцируемое решение уравнения .'!апласа, удовлетворяющее начальным данным (2). Попьстаемся восстановить это решение, перейдя к разностной аппроксимации оператора Лапласа, а затем решив разностную задачу Коши. Пусть 6г = 2яс'и, 6а = с1сспс шаги сетки и м = 64,СЬс. Обозначая через г решение разностного уравнения Лапласа, в силу (3.7.21) имеем 1с,,з(гьос с — 2еы -ьгь г с) — '6. з(пь,сос — 2иы гь,с г) =О, (31) где 1 < й < и — 1, 1 < 1 < т — 1. Кроме этого уравнения имееъс очевидные граничные условия (32) гос=пы, 1=0,1,...,пь Вопрос с началь ными условиями является несколько более сложным.
Очевидно, что начальные условия должны быть дискретизацией условий (2). Дискретизация первого из условий (2) производится обычным образом; пса = зь (6 = О, 1, ..., п — 1), где,сь = ~(66с), причем, с какой точностью нужно брать приближенное значение 7', лсы увидим ниже. Второе начальное условие для уравнения (31) должно иметь вид гы=сдь (6=0,1,...,п — 1). Значения ьоь нам явно не заданы, и их нужно определить, используя условия (2) и уравнение Лапласа.
Комбинируя уравнение Лапласа и условия (2), мы можем последовательно определить и „(х, 0), и„„(х, 0) и т.д. В свмом деле, и „(х, 0) = — и,,(х, 0) = — уо(х), и ко(х, 0) — и,,(х, 0) = — д е(х) и т.д. Используя формулу Тейлора. можно будет нычислить величины и(66с, 6и) 6 = О, 1....,, и — 1 с требуемой точностью и тем самым определить;соь (6 = О, 1, ..., сс — 1).
Мьс не будем приводить детальные выкладки., а ограничимся сделанным замечанием. Если бы мы рассматривали систему Коши — Римана, то для нее не возникал бы вопрос о дискретизации начальных данных. Располагая начальными данными, теперь можем шаг за шагом определить величины гьа...., оь для 6 = 1, 2, ..., и — 1.
Однако при этом будет происходить огромное сокращение значащих цифр, вызванное эллнптичностью системы (31). Это могксго увидеть, если с помощью метода Фурье записать решение рассматриваемой задачи Коши. Уравнессие (31) с граничными условиями (32) имеет частные решения гас(с) = ехцр(2гс гбсс п)гэ(1) 0 = = О, 1, ..., п — 1), где пс0) решение уравнения 2 ° 2 яу с пстс — (2+4се эш — )гсс+ пс с = О. и Согласно 3 4 гл.
2, частные решения этого разностного уравнения второго порядка надо искать в виде гс0) = СЛ'(с), где Л(у) — корень характеристического уравнения ы — (2 Ь 4се ьйп — ) ис — 1 = О. з '"3з и 348 Глава 5. Обттгие свойстпво, выиислитпельиых алгоритмов Отсюда при у' ф О получаем два значения; Л ( ~) = 1 тс 2тт (1 + с~а)~1~ —, 2о ', и — 1 иы = Сго+ !Све+ ~ ехр(2хг — ) ГС11Л' (у) + СвгЛ' (у)], (ЗЗ) и в нашем случае постоянные С1, Са, подлежат определениго из началь- ных условий. Таким образом, при тс = О, 1, ..., и, — 1 и — 1 /Ц 1 Сю + ~~ ехр(2тгг — ) (СЫ + Сгг,' = Ь п, 1=1 и--1 й'! Сгв .:- С в Ь ~~~ ехр(2я1 — ) (С11Л~ (у') .-' СвгЛ (у')] — —.:Ра., и 1::1 и, применяя обратное преобразование Фурье, получим п-.1 , '!1- ехр( — 2яг — '), а=и и — 1 , '1ру,.
ехр(--2т 1 — ) ь=в ! С1'+Сгг = и (34) 1 Л,ц)ф—.Л (у)ств =— при у' = 1, 2, ..., и — 1; если у = О, то левые части этих равенств нужно заменить соответственно на Сю и Сю — Сав. Поскольку ЛхО) ) 1, О < Л Ц) < 1 (у = 1, 2, ..., .и -- 1) (что и означает эллиптнчность уравнения (31)), то на коэффициенты С11 как функции параметра у накладываются жесткие условия убывания, а это в свою очередь влечет за собой повышенные требования к точности задания начальных данных.
В самом деле, в силу равенства Парсеваля для дискретного преобразования Фурье (см. 3 2 гл. 1) и — 1 и — 1 ° (/с,.нс /' г с„~',~,Этспт'яг], ь=о 1=1 и поскольку решение иы должно быть ограниченным: ~иы ~ < ЛХ, то ,Сю+ (сов~' — ~ С11Л' О) + СагЛ1 Ц),а < И'. где тта = ивш(яу,ттт). Соответствующее общее решение будет иметь вид СЫЛ (у) + СвгЛ (у). При у = О общее ретпение разностного уравнения имеет вид Сгв -Ь !Сто.
Поэтому произвольное решение уравнения (31) представляется в виде о 3. Решение некоторых некорректных загГан Легко проверить, что, если и < ме, имеет место неравенство Лт О) > > ехр(2о .), и, следовательно, Л~„(~) > ехр( я1п — '). ягй и Поэтому, полагая в предыдущем неравенстве 1 = ш, получим, что гг1п, ну'1 ~Сг ~ ехр~ — эш — 1 < ЛХ -Ь ~Ся,.~Л'"(у) при у =- 1, 2, ..., п -- 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
