Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 76
Текст из файла (страница 76)
У читателя может возникнуть законное сомнение в том, что столь огромный рост погрешностей округления связан не только с эллнптичностью задачи, но и с тем, что мы имеем сложные нелинейные сингулярные операторы, и поэтому возможно значитсльное сокращение знаков после дискретизации задан«, т. е.
с тем, что имеет место счет по некачественным формулам. «1исленные расчеты, проведенные нами, убедительно свидетельствутот, что дело закгтюча ется в эллиптичности задачи. Если в системе (7) мы изменим знак перед членом 6у на противоположный, то это будет означать, что мы поменяли направление силы тяжести на противополоткное н пришли к устойчивой ситуации. 24. Решение задачи Рзлел — Трейлера 0,4 -0,4 — 0,8 — о Рис. 1 0,8 0,4 -0,4 — 0,8 Рис. 2 0,8 0.4 -0,4 — 0,8 — 9 Рис. 3 Решая систему (17), в этом счучае мы убеандаегася, что решение существует при 0 ( 1 ( 100, и при 1 = 100 оно сохраняет свойство аналитичности. И не видно причин, по которым решение должпо прекратить свое сузцествование. Если затем обратить время и решить систему- (17) ддя обращенного времени, то пш~учим с высокой степенью точности начальные данные.
364 Глава 5. Обсссие свойство, оьшислитвлла*мх алгоритмов 0,8 0,4 — 0,8 Рис. 4 3. Численное аналитическое продолжение. Итак, у нас остался вопрос: как совладать с эллинги псостью задачи'? Если ограничиться случаем, когда ро(х) = 0 (кстати, очень важным практически), то имеется просзой и красивый прием, как избавиться до некоторой степени от эллиптического характера задачи. Аналогичный прием применялся Г.
Леви в доказательстве теоремы об аналитичности решений эллиптических уравнешпЪ. Из аналитичности ро(х) на основании теорелсы 1 следует аналитичность по 1 решения р(х., 1), д(т,,?). Поэтому мы можем рассматривать систему (7) при комплексном й в частности рассматривать ее при 1 = гт(т ) 0).
Полагая Х вЂ”. ст, у(х, ?т) =. У(т, т), р(х, гт) =- — гЛХ(х, т) и считая 1, ЛХ вещественными функциями, получим, что система (7) полностью сохранит свой вид, но только во втором уравнении слагаемое др заменится на — ЛУ, что, как указывалось выше, равносильно изменению направления силы тяжести д на противоположное.
Начальные данные для новой модифицированной задачи будут иметь вид У(х. 0) = ра(х). ЛХ(х, 0) = О. Численное решение модифицированной системы с этими начальными данными будем провзводитгв используя описаняый выспе алгоритм. Тем самым мы можем получить решение на некотором отрезке 'О, Т). Поскольку. У(х, т) — четная функция переменной т, а ЛХ(х, т) — нечетная, то мы фактически знаем решение на отрезке ' — Т,Т'„ и для его восстановления прн действительном 1 нужно уметь решать (численно) задачу аналитического продолжения функции с заданного отрезка в некоторую область.
4. Реализация аналитического продолжения. Итак, мы пришли к следующей задаче аналитического продолжения. Пусть Г =. 8 -г сг? н функция ХЯ, заданная на интервале Х =. (б: Х' ( а,с? = О) допускает аналитическое продолжение вне его. Будем искать максимальный эллипс аналитичности, фокусы которого находятся в точках Х = .1=а. Не ограничивая общности, примем а = 1.
На интервале Х разложим функцию в ряд по многочленам Чеоышева первого рода: (18) Из предложения 2 8 3 гл. 4 следует, что сумма полуос.ей максимального эллипса аналитичности функции удовлетвОряет нЕравенетву 1пп ~г1„)' < г 365 34, Решение задачи Рзлел — Тейлора В действительности здесь реализуется знак равенства, ибо в противном случае 1пп ~А„П" <г,', гг >г, откуда при и > по(е) )А„, < (г, 1 + е)", (19) где > 0 — любое сколь угодно малое число. При доказательстве теоремы 2 3 3 гл. 4 мы установили, что если 4 й Э ю то (Т (4)( < (гз + гз ")/2. Поэтому, если выполняется неравенство (19), то ряд (18) будет сходиться внутри любого эллипса Эин для которого гг < гдее(1 — гд), В силу произвольности е функция г(Д будет аналитична в эллипсе Эгы и так как гг > г, то эзшипс Эг не является максимальным эллипсом аналитичности. Поэтому то для вычисления этих интегралов можно применить известную квадратур- ную формулу, которую мы выведем в следующей главе; 2 Аь Ае = — ~ зеД)совlейз, lе = О, 1, ..., Х, М з=г (21) где Вз =.
(23 — 1)х Е (25е), Ез .=. сов В, (д = 1, 2,..., йе) -. нули многочлона Т)е(ш). Многочлен и ~ АьТьЯ (22) ь-:е дает решение задачи об аналитическом продолжении с интервала 1 внутрь элшшса Э,. е4ы не будем приводить оценку погрешности этого способа аналитического продолжения, а опизпем, как оно делалось в задаче !'алея — Тейлора. т1исвенно решив модифицированную задачу, определим функции У(тн т). М(ть т), (1 = О, 1, ..., 2п), где т1 = 2х!/(2п+ 1), в моменты времени т, = Т~, (з = 1, 2, ..., Де~2).
Далее, пользуясь четностью функции У и нечетносзыо функции ЛХ, определим У(ть Тй ), ЛХ(тн Тб ) (У вЂ” -- Х/'2 1, ДГ/2+2, ..., Х). Теперь подсчитаем по формуле (21) коэффициенты Аы определим порог шума и удержим из них нужные коэффициенты. затем сосчитаем суъзму (22), но (20) Если в формуле (18) псшожить 4 = гг1, то получим аналитическое продолжение функции з" на отрезок / =. (4 .— — 8 — 1гд 4 =- О, ':0 < (г — г ')/2). Таким образом, формула (18) даст аналитическое продолжение функции з" с отрезка 1о =. ( — 1, 1] па отрезок мнимой оси. Имея таблицу функции з" на 1е, можно численно определить некоторое количество коэффициентов ряда (18), затем оборвать ряд и найти эту оборванную сумму в точках отрезка д.
Так мы построим численно аналитическое продолжение. Поскольку по формуле (4.3.13) 366 Гллоа 5. Обил»е свойства, е»~числителю»»ьт алаор~апмое с верхним пределом № ( Х при 6 .= 16. В обоих вариантах, представленных на рисунках, мы полагали лу = 121, № = 100„причем в первом варианте, лля которого б =- 1, приняли Т =- 92, а во втором варианте Т вЂ” —. 66. Искомые функции у(э О 1), д(тп 1) получим по формулам у(яб 1) = 1 (тп — ы), д(яб 1) = — 4ЯХ(:гн — 41) при 0 ~ (1 ~ (1о. Величина 1э определялась по характеру убывания коэффициентов Аь в соответствии с формулой (20). На рис.
1 дано положение границы раздела двух жидкостей при С = О+, 3, 4, 1сг5,5 (0,3). Как уже упомвналосгч на рис. 2 представлены положения границы раздела, полученные двумя методами. Моменты времени, соответствующие первому методу расчета, заключены в скобки. Отметим, что решение по второму методу не несет и следа чнсленной неустойчивости. На рис. 3, 4 представлены варианты для 6 = ос. Отметим, что рис. 1, 3 правильно воспроизводят движение границы, обнаруживая ускоренное движение границы вниз и движение почэ н с постоянной скоростью вверх. На рис.
2, 4 приведены положения границы, подсчитанные двумя методамн, и при небольших значениях 1 мы имеем совпадение результатов с большой точностью. Расхождение проявляется с возникновением «пилы». В данной задаче из-за нелинейности эта «пила» не носит гармонического характера, как при решении задачи Коши для уравнения Лапласа. При втором методе решения мы не избавились полностью от некорректного характера решения задачи. хотя и пришли к более «легкой» некорректной задаче.
Расчеты проводились на машине БЭСМ-6. Для того чтобы подойти к моменту. разрушения данной топологической картины течения, необходимо проделать вычисления по нашему второму методу, но используя арифметику многократной точности. Это позволило бы проследить за асимптотикой коэффициентов ряда Фурье — »1ебышева и характером особой точки на границе эллипса регулярности. Мы заканчиваем згу главу, которая, за исключением ~ 1, не предназначена дпя первого чтения.Но мы советуем читателям возвратиться к ней при повторном чтении.
Идеи, изложенные в этой главе, и разобранные примеры, несмотря на их сложнсюттч могут помочь читателю в собственной работе в области числешюго анализа. ГЛАВА 6 Численное интегрирование В 1. Общие вопросы теории квадратурных формул 1(х)йо(х) = ~ сьД(х"). о ь=1 Здесь до(х) -- некоторая мера; мы обычно будем считать, что существует плотность меры Йо(х) = со(х)дх, где г1х — мора Лебога, Величины сь на- зываются весовыми коэффициентами, а точки х~ (1 = 1, 2, ..., н) — уз- лами квадратурной формулы. Всегда будем требовать, чтобы п К ° =) ь(*( В (2) Об этом свойстве квадратурной формулы говорят, что она точна на консглантах. При некотором выборе узлов и весовых коэффгщиентов правая часть формулы (1) может превратиться в римановскую интегральную сумму. Нет сомнения, что римановские интегральные суммы были исходными при возникновении теории квадратурных формул.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
