Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 74
Текст из файла (страница 74)
2!егко дискретнзировать соотношение (37) и указать оптимальный вид таблиц элементов компакта Л. Таблица здесь такая же, как у элементов класса М'"н но ее расшифровывахнций алгоритм иной. Мы подробно не будем останавливаться на этом вопросе.
Пусть дь —. Оо .. 2к~Х'(2|л+ 1), Ха —... Х(ехр(Хдь)) (Уе —.. О, 1,..., 2п) и р„(д, Х) тригонометрический многочлен степени не больше п, совпадающий в узлах Оь с функцией Х(ехр(гд)) Согласно (3.1.18), р.(0; Х) = ~ Х,.Р.(д-дь).
2 о=о (38) Согласно неравенству Лебега,. (Х(ехр(лд)) .- Рн(д; Х) <н (1 + Лжл л)~Х(ехр(лд)) †. О(д)/, где а й 'Тв„ол -- произвольный полипом. Воспользуеллся результатом задачи 35 Ц 1 гл. 3. Поскольку Х(ехр(лд)) граничные значения функции класса А", то существует многочлен д( ) степени не больше п такой, что /Х(ехр(лд)) — с2(ехр(лд)) < АЛХ(п+ 1) ".
Многочлен е2(охи(ъд)) можно рассматривать как тригонометрический полинам, и тогда (Х(ехр(ХО)) — р„(0; Х) < АМ(1+ Ла„+л)(п 1)"'. !Х(ехр(10)) — р„(д; Х) ~ < АЛХ(1 .;. Лакал)(п о- 1)"". (39) В качестве таблицы элемента Х возьмем набор приближенных значений в узлах. Можно показать, что так же, как и в З4 гл. 4, можно брать набор младших разрядов величин Х, за исключением величин 7с, ..., Х„м которые нужно знать с требуемым количеством знаков. Для восстановления функции Х целесообразно пользоваться поли- номом р„(д; Х).
Не ограничивая общности, можно считать, что ас = О. Заменим в формуле (37) и+ гн = Х(ехр(лд)) на рн(д; Х); в результате получим дискретизацию этого соотношения. Обозначая через Р„(0) сопряженное ядро Дирихле; — сов(0!2) — сов(гл -~- 1/2)0 Если Хл — приближенное значение Хы р„(д, Х) полипом степени не больше и, принимающий в узлах значения Х, то, считая, что 0 = шах~Хе — Хе < АЛХ(п 1) ", получим 354 Глава 5.
Общие свойства вмчггслительимх алгоритмов получим дискретный внд формулы (37): 2 ~ЯДггРв( — Вь) —.Р„(О -- Оа)~ = Ьа(В), (40) а=в где гла(О) невязка. Оценим величину невязки. Прежде всего заметим, что сравнительно просто доказывается неравенство ( 2 г одв — л„>/) рл,г о (2гг —, 1 ь=о Из тождества.в котором волна сверху означает переход к сопрягкенной функции: (г (ехр(гВ)) — р„(В; г)1 = Яехр(гО)) — Яехр(гО)) , ,'— -1га(В:. У --О)+рг, (О; У- У), с учетом предыдугцего неравенства получаем неравенство Дехр(лд)) — р (В; Д( < ~У вЂ” Я ч- Аг(1 — с1~, + 6) 1пп.
Взяв тот же многочлен сг, что и выше. и учитывая соотношение (3.1.69), будем иметь 1 — г1 —.. — г(1 — г1). Поэтому ', г"(ехр(гВ)) — р„(О; у')! < А М откуда в силу неравенства (39) и о гевидного соотношения гл„(В) = г Яехр(лО)) — р„(В; 2') ' — [1 (ехр(гВ)) — р„(О;,()] получггм ~Ьгг~ . < ВЛХ "', (41) где В -- абсолютная константа,, "- норма в СЗг1.
Поскольку левая часть соотношения (40) является полипомом степегггг не больше п, то достаточно рассмотреть это соотношение в узлах интерполяции. Итак, дискретизация соотношения (37) приводит к формуле аа ~д,Ра(Вг - Ог) = Я+ Ьа(Вг), 1= О, 1, ..., 2п, (42) 2п -1-1 Наоборот, из (42) и (4Ц при  — Ор (1 —.— 0 1, ..., 2п) вытекает (4Ц в ослаб- ленной форме. В самолл деле, из (42) получаем, что полипом ав 2 2п -; 1 ~ У, егРа( — Вв) — Ра(В Ва)1 =,(О) ь=о а 3, Релионие некоторых ненорренгпнмх задам в узлах Оь удовлетворяет равенствам ~е(Оь) ~ =~ахи(Оь) ~ (1=0., 1, ..., 2п).
Поскольку е Е Тз„ем то рп(О; е) = е(0), и, следовательно, в силу триго- нометрического аналога формулы (3.3.7) ,Е(0)~ < Лзп 1 1вак~е(ОЬ)~. Отсюда следует неравенство ,'Ьп(0)' ~( Лоп 1 Шок Ьп(ОЬ)~. 2п 1 1' рп(0; у) ехр(хО)ЙО р(х) =— 2х,/ ехр(10) -- з о п 2п р(2) = ~~ х~~~( ехр( — 1102), + с=о з=о (43) Дадим оценку уклонения у(х) от р(х). Есои - = ехр(Ю), то из последнего соотношения вытекает, что 2п У(ехР(20)) = ~~~ уз —, — Рп(0; 7) + -Рп(0; 7), з=о и в силу (40) вп у(ехр(1В)) =- рп(В; 7) т — Ь„(0) —,, ~ уз.
з=о Таким образом, гю принципу максимума 1 1 2 2(2п -Ь 1) 'з=о Поскольку 2п 2п — ~р„(0; рэ=, ~71, о з=о Таким образом, оценка качества таблицы величин 7 дается максимумом невязки в соотношениях (42), и эти соотношения являются проверочным тестом.
Искомое приближение у(з) для функции у(а) =- (1тз )(х) получаем с помошью интеграла Коши 356 Гласа оц Общие сеойсшоа, оычислиглсльиь~я алооритмоо то, учитывая равенство нулю среднего от 1. получим з 2 ' 2~ Таким образом, если на входе брать оптимальную таблипу, то 1и а у(з) — у(-) < В1ЛХ Пг Если Хт' объем таблицы, то, поскольку и ьс .Л', погрешность предложенного метода удовлетворяет неравенству < СЛХ 1пу 1ь'" и она в Со 1п Х раз превосходит оптимальную погрешность.
В самом деле, нам осталось показать, что 11(; Х) = (ЛХ1'н)11г при малом, и, следовательно, оптимальная погрешность (У; .Лс) = ЛХ "з' г. Мы не будем доказывать эту оценку., а предложим это сделать читателю. Злынчлник. Рассмотренная задача продолжения тесным образом связана с задачей Коши для уравнения Лапласа., но тогда, когда неравенство (5) выполняется при с( =- ж: в этом случае возможно получить столь совершенный результат. Ниже булет дано приложение решенной задачи о продолжении к вопросу о численном определении функции, дающей конформное отображение круга на односвязную область с гладкой границей. 3 ада ч и.
3. Покажите, что 2 2п+ 1 ~ХЗ (Π— Оь)~ < С1в и -~ Сы и найдите наилучшую константу С. 4. Докажите, что Н(щ Л') = (ЛХ)с)Ы'. й 4. Решение задачи Рэлен — Тейлора х. Постановка задачи. Этот параграф не предназначен для первого чтения. Автору хотелося привести пример конкретной физической задачи, имеющей большое прикладное значение и приводящей к некорректной краевой задаче. Для получения адекватной математической форгвулировки проблемы нужно воспользоваться элементарными сведениями из гидродинал|ики.
Те читатели, которые пе знакомы с гидродинамикой, могут опустить соответствующие рассуждения и принять в к,"честве исходных уравнения задачи, выведенные ниже, Движение будем считать плоским, и поэтому достаточно рассмотреть картину течения в любой плоскости .—.. сопас, считая, что в пространстве введена прямоугольная система координат (т, у, -). З 4, Решение садани Ролея — Те "лоро 357 Рассмотрим границу раздела между двумя тяжелыми жидкостялси.
Будем предполагать, что в момент С = Π— более тяжелая жидкость с плотностью рг занимает полосу Вг (Π— )(х, у: О < у < 6), а более легкая жидкость с плотностью рг занимает полупространство В (Π— ) = (х, у: — оо < у < О). Допустнм, что ускорение силы тяжести д перпендикулярно прямой у = О и направлено в сторону более легкой жидкости. Допустим, что в момент с = О+ граница раздела слегка возмущается, и проследим за ее эволюцией во времени.
Обозначим через 1'г границу раздела в момент 1 и предположим, что она является графиком функции у =- у(х, 1), что обосновано при малом времени. Будем считать течение 2л-периодическим по переменной х. Линия Г, разбивает полуплоскость (х, у: у < 6) на две области Ог(1) и Вг(1), занятые жидкостями, имшощие соответственно плотности рг и рг. Поскольку движение начинается из состояния покоя,то оно будет потенциальным,и., стало быть, поле скоростей описывается функцией р(х, у, 1) -- кусочно гармонической в полуплоскости (х, у: у < 6), так как в областях Вг(1) и Ог(1) эта функция гармоническая, Уравнения движения в данном случае допускают первый интеграл интеграл Коши — Лагранжа — — г(Огас(со) ~-ду —, — = О. с.1'р 1 г р (1) дс 2 ' р Произведем обезразмеривание зада ги, и тогда можно считать, что д = 1.
Если пренебречь поверхностным натяжением, то давление р должно быть непрерывным при переходе через границу раздела. Кроме того, нормальная составляющая скорости жидкости при переходе через гранину раздела должна быть непрерывной. Обозначим ипдексагпг плюс и минус предельные значения величин на Г,, вычисленные изнутри областей Ог и Вг соответственно. Тогда, если воспользоваться интегралолс (1), условия равенства давлений можно записать в виде — -;- — '(;с(угас! р)я — йгас1р) ~ - (С - Цу — — О, (2) др дс дс 2 где У = ргСсрг.
Условие равенства нормальных скоростей запишется в виде дсг+,сдгг = дср ~дп. (2) Поскольку прямая у = 6 .. твердая стенка, имеем д,: — =. О. дн, о=ь Кроме того, на границе раздела должно выполняться кпнематическое условие, смысл которого заключается в том, что линия раздела состоит из одних и тех же жидких частиц. Это условие имеет вид д, -, ду(, ) ду(~, 1) дрдх дх дс ду где у = у(х, С), как отме салось, уравнение границы раздела.
Пусть - = х -~- гу. Условиям (3), (4) можно удовлетво1гить, беря функцгпо Со(х, у, 1) в виде со(х у с) = 1 /' ~ с(ехр(гг(б, 1)) с(ехр(губ, С)) — .[ г; 11() яг./ [ехр(гг(б, О)) — ехр(гг) ехр(гС(ь, 1)) — ехр(гг)13 о Глава 5. Общие сввйстов, вьгчислительиьгх алгоритмов где г(«, 1) = «4- гу(«, 1), .«(«, 1) = « — гу(«, 1) -~ 2»Ь. Ясно, что г(«, 1) е Г», в поэтому последний интеграл берется по отрезку границы раздела. Функция р(» г) -- веществегпгая, и фактически интеграт (6) -" это интеграл теории потенциала. Ясно, что р гармоническая функция в Рг и Рг и что условия (3), (4) выполняются. Для простоты положим й = со. Тогда, считая, что г(х) = х+ + гу(х, г), х(«) =;, 4- гу(«, г), т.
е., не указывая явно зависимость от й положим К(х, «) = ., г. К(х, «) = а,(х, «) га,(х, «), ехр(1г(х)] ехр гг(«)] — ехр(г (х) Ке[гг(К(х, «), 1)] — — Ь(х, «), 1шК(х, «) — -- с(х, «), где а„, а, — вещественные функции. Условимся интегральный оператор г — ' ) а(х, «)((«)»(«с ядром а(х, «) обозначать через а(С). Ь1ы свели задачу в к определению двух вещественных функций у(х, 1) и р(х, 1), Подставив выражение (6) в соотношения (5), (2), получим уравнения у, + обрг) = О, (7) рг + бЬ(ри1 — г Уг + вс(рвуг)+ .,[(а.(рс)) (а(рс)) +р.]+ [г .™М~у О' у[ь о = уо(х), р[г о, = ро(х) (8) При выводе уравнений (7) нам пришлось продифференцнровать интеграл (6) при условии, что г е Гг. Это делается обычными приемамв дифференцирования сингулярных интегразов. Система (7) является системой Коши — Ковалевской, и можно показать [17), что в случае аналитических ншгальных данных (8) она имеет решение на некотором отрезке (О, Т].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
