Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Тем самым из формул (34) мы получаем, что величины уь и дь должны быть заданы с точностью, не меньшей Бо .=- = ехр( — Игг/н). Таким образом, хотя решение задачи Коши мы определяем с точностью = йз + йз з— — яз/ггв —, г1в(гпа = гге(1 + и в)багге, поскольку остаточный член аппроксимации разностного уравнения (31) имеет именно такую величину, начальные данные должны быть заданы с экспоненциально малой погрешностью б.= ехр( — Ы~я).
Прп / — т значение решения ны определяется суммой н — 1 Сго , '1Сео -ь ~~' СгуЛт(Яехр~2яг — ), ! . Г .ге.гз з=г н — 1 поскольку сумма 2,' Ся Л~ О) ехр) 2я г~не ~ является апгз1зоксихгацией гаро=1 монической функции в полуполосе (х, у: О < х < 2 г, О < у < оо). Поэтому при больших 1 на гинают играть роль значащие разряды коэффициентов Сп, а в силу малости коэффициентов Сп это и означает, что происходит сокращение значащих цифр при последовательном определении вели.шн гы (1 =- 2, 3, ..., ш). Теперь кратко рассмотрим вопрос о влиянии погрешностей округления. Величины иь гэг находятся из уравнения иьйэг = —.
ог (ки 1 г " 2ны -Ь пь г ~) .1 2иы — оыь г, е и при вычислении на ЭВМ нь м г будет находиться, например, с помощью сшедующей последовательности операций; инг г =. ( — ог З ((иь ш Б2ны) гонь г г) З 2ньг) Э го г Поэтому в силу формулы (1.2.8) получим имгзг = (( — (и (1 ш еэ)(1+ ез)((ннннг — 2иог)(1 + ег) — ' ть — цг1)+ 4 2иьг)(1+ее) -- иь1 г)(1+ ев), 350 Глава 5. Оби1ие свойсглва, вмчислигаельивет, алеоригалеов где в, = в е, д ~ < 1. = 2 ~. Отсюда рь ел, = — и (1 Ч- в)(1 вз)(1 Ч- вл)(1 в) [(ватке — 2иы)(1 т в1)Ч- з иа к1~ + 2(1 + ва)(1 л вв)иье — (1 -.
ев)вь е м н, полагая ос~~ — — ас (1 — ва)... (1-вв)., е1 — — е~ц, (1-вл)(1-вв) = (1+еда), ев — -- взгп получим ими-1 — — 'сы ((1 ч- ае)иьли, — 2(1 + вге)а ы + иь и, /+ —, 2(1 вге)иы — (1 л в~~р)ть е (31') Таким образом, на каждом шаге мы фактически вычисляем та ела не из уравнения (31), а из уравнения (31'). Поэтому, строго говоря, формула (33) не спранеллива, но в силу малости величины ы существует аналогичное представление иы, в кс>тором вместо величин Л~ (у), Л~ Ц) будут фигурировать близкие величины.
Отметим, что можно построить решение разностного уравнения (31') с помощью регулярной теории возмущений. Итак, хотя мы н определим константы С1, Са, из уравнений (34), уже на первом же шаге при вычислении иьа зги константы изменятся на величину = Св, где е = 2 '. Поэтому первоначальную погрешность дв в задании начальных данных бессмысленно брать меньшев е, и таким образом мы получаем ограничение па величину шага: 2 ' чс ехр( — Йфг), откуда и 4 яфд1ойе). Хотя заключительное рассуждение не строгое, а носит лишь наводящий характер, последнее неравенство несомненно верно в смысле порядка входящих величин.
Оно подтверждается и расчетами на ЭВМ. Из проведенного анализа можно сделать следующие выводы, которыми следует руководствоваться при решении зллпптической задачи Коши. 1) Таблица начальных данных должна быть такой же, как и таблица аналитической функции: число частичных слов а и ее точност1 д должны быть связаны соотношением б =- ех1г( — длаех).
2) При дискретизации уравнения непелессюбразно почьзоваться разностными схемами невысокого порядка точности, да и вообще разностными схемами, поскольку для разностной схемы погрешность определения решения имеет порядок и (о —.. 2 для схемы второго порядка, как в нашем примере). Мы же заинтересованы в том, чтобы при данной погрешности е, с которой мы получаем решение, величина и была как можно меньше. 3) Число узлов п (по переменной х) и число разрядов 1 в принятой системе чисе,ч с пчавшощей запятой связаны неравенствами и < 0 е, где некоторая константа, определяемая задачей.
Чем болыпе ширина полосы е1, в которой требуется построить решение, тем меньше г. В качестве гипотезы можно высказать, что имеет место неРавенство; < йвф. «3. Решение некоторых некорректнмх задач 351 Ниже будет рассмотрена задача Коши для нелинейного эллиптического оператора, в процессе численного решения которой можно убелиться в справедливости высказанных утверждений.
Часто соотношение между погрешностью 5в и чиплом узлов и нарушается, и тогда правая часть формулы (33) может принимать большие значения. Но во всех случаях поведение решения разностной задачи Коши следукицее: если рисовать график сеточной функции иы (й = О, 1, .... п — 1), то при малых 1 мы обнаружим едва заметную негладкость. С ростом / амплитуда «пилы» растет в соответствии с характером функции ехр(2я11«)~п)Г1зЛ~„Ц) Π—. и/2$). При дальнейшем увеличении 1 размах пилообразной функции, наложенной на плавный профиль, сильно возрастает и при расчете на ЭВМ наступает переполнение.
При решении некоторых физических и механических задач приходится решать задачу Коши для эллиптических уравнений. Авторы многих алгоритмов для ликвидашп| указанных колебаний производят чересчур сильное сглаживание. Сама процедура сглаживания иногда может быть и разумной, но она меняет фактически исходную постановку задачи. Поэтому требуется тщательный анализ алгоритма на предмет того,. какая же именно краевая задача решается. Без такого анапиза верить в результаты численных расчетов нельзя.
Примкр. Мы расс»ютрели простейший случай уравнения ейапласа. Приведем реальный пример эллиптической задачи Коши. В теории «мелкой воды» возникает следующая система: ди ди, др др д(р и) —; и — — с' — —. О, —, +, —.. О, с.=- сопэц (35) д1 ' дх дх ' д~ дх в которой р > О. Если бы в первом уравнении вместо слагаемого — еддр/дх стояло слагаемое садр/дх, то система (35) бьша бы обычноел системой одномерной гидродинамики для политропного газа с "; = 2 или обычной системой уравнений мелкой воды. Система (35) возникает при исследовании эволюции топкого слоя воды, разлитой на потолке, при условии, что силы тяжести действуют сверху вн»си Ясно, что такая ситуация неустойчива, и вода должна «пролиться» вниз.
Таким образом., система (35) описывает физически неустойчивую ситуацию; решение задачи Коши даже для аналитических начальных данных существует.вишь конечное время. и характер разрушения решения соответствует физическому процессу разрушения понерхности жидкости, образованию капель и их отрыву. Покажем, что квазилинейная система (35) действительно эллиптическая. Предположим, что для некоторого решения системы (35) якобиан д(р, и) д(1ч х) в некоторой области О. Тогда локально б х можно рассматривать как функпии р, и. Из того, что р» =,Уха, ре = — зг„ие = — ухо, и„= Ло, получим, что г(р, и), х(р, и) удовлетворяют линейным дифференциальным 352 Голоа 5. Обиеие своазсгава оычислиепельиых ааеоритмов уравнениям дл д1 адй — — и —,— с~ —,=О, др др ди дт дс д1 — ь р —, — и — =" О.
да др ди (36) Если отыскивать характеристические направления Л, то получим Л вЂ” 1 =- Π—.иЛ+с~ рЛ+и или Ла е са/р —.— О, и так как р > О, то система (36) эллиптическая. Таким образом, мы приходим к необходимости решения задачи Коши для эллгппических систем.
Такие задачи имеют большое физическое значение. П 5. Восстановление аналитической функции. Покажем на одном примере, как можно обойти трудности., связанные с эллиптическим характером задачи. Рассмотрим задачу восстановления аналитической функции в круге Р = (в: Ц < 1, в = л+1у) по ее граничным значениям. Пусть Г = дР граница круга, окружность единичного радиуса с центром в точке - = О.
Обозначим через А(Р; Х) множество функций, аналитичпых в открытом круге Р 1Г н непрерывных в Р, ограниченных константой Х, а через А(Г; Х) множество функций на Г, являющихся сужениями па Г функций из А(Р; Х). Пусть И: А(Г: Х) — ~ А(Р; Х) — такое отображение, .что И: У 1 аа, где аа е А(Р; Х), р"' = 7'. Ниже мы будем рассматривать компакт А' (Лу) 0 А(Р; Х) = У, и пусть Х = 11 ' (У). Напомним, что класс Ае' (Л1) определен в и.
9 э 1 гл. 3. Рассмотрим компакты Х и У как подмножества пространств комплекснозпачных функций, непрерывных соответственно на Г и па .Р. На основании принципа максимума Н(; Х) — -- Н(в: У), откуда в(Х, Х) .=. .= е(У: Х). Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, в корне отличной от рассмотренной выше. Некорректность задачи вычисления отображения 0 на элементе у 6 Л здесь происходит из-за того, что вещественные и мнимые части функции 1 = и Е ри связаны соотношением (3.1.67), что равносильно соотношению (3.1.69), которое запишем в виде 2а 1 Г и(ехр(10)) -.. ги(ехр(16)) — у дд — 1'и(ехр(эд)) + Н~(ехр(ед)) = — ао.
я,/ 2 си((0 — д)/2~ о (37) где аа .-. нулевой коэффициент ряда Тейлора функции 0 У. Обозначим для удобства через Х(ЛТ) компакт Х; заметим, что () Х(п) — линей- а —.1 ное подпространство в СТ) в пространстве непрерывных комплекснозначных функций. Понятно, что это множество подпространство 353 е 3. Решение некоторых некорректных задан бесконечной коразмерности. Отсюда вытекают все сложности в задаче об аналитическом продолжении. Легко видеть, что при вариации элемента Х й Х легко нарушить соотношение (37), и тогда величина невязки будет определять ту точность, с которой можно приближенно определить элемент 11Х й У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
