Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Прежде чем обсуждать теорему единственности и ее значение для алгоритма числегшого решения задачи (7], (8), линеаризуем систему (7) на нулевое решение. Для этого заметим, что имеет место следующее тождество: г ус(х, «) = — г гй — у ~8 у(х) — у(«) х — ; 218 (х — «)/2] 2 2 г х «У(х) У(«)) ( х — «1 х — «У(х) — у(«))] ' Отсюда следует, что ядро а„(х, «) = Ее[ . К(х, «)] является гладким ядром малой нормы, если мала величина у -. '[у „[, где — равномерная норма на пространстве С(0, 2»г].
Это предположение будет выполнено ниже. Крол»в того,. аг(х. «) = 1пг[» К(х, «)] = 1 2 18 [(х — «) уг2] —, ао(х, «), (10) где д = (рг — рг)гг(рг + рг), а нижний индекс обозначает частную производ- ную. При 1 = Ом по условию задачи заданы наложение линии раздела и поле скорости,т.е. 3 4, Решение задачи Рзлея — Те "лора где по(х, Я) — гладкое ядро малой нормы.
Из тождества (9) вытекает, что Ь(х, 8) =- Ве [хе(К(х, ч) -~ 1)] — -- 1 п,(х, 8) = )зп[(р(8) — у(х))К(х, Я)], и, следовательно, 6(х, 6 †. — 1 + Ьо(х, 4), где 6о(х, 4) — гладкое ядро малой нормы. Введем оператор Гильберта Н и оператор усреднения ЛХ: х,/ ' [( — )/ ] ч' 2 з С оператором Гильберта мы уже встречапись,когда рассматривалп тригонометрически сопряженные функции в п. 9 3 1 гл. 3. Перейдем к лннеарнзании уравнений (7).
В силу малости р и у, а также нх нронзводных в уравнениях (7) нужно отбросить все нелинейные члены. Учитывая (10), (11), получим уравнения рз — Н(де) .—. О, дз -1- ЬЬХ(рз) + Ьр = О. дз уз+ Н(д,) —. О, дз -~- др — ЬХ(р) =. О. (12) Найдем символ этой системы. Положим р =- Сз ехр(ЛХ + Ьпх), д =. Сз ехр(Л1 —, + зпх), где и целое. Заметили что если / = ехр(1пх), то Н(Х)(х) = — Ьэбв петр(ъпх). Это соотношение следует из того, что Н~Я = Х, а связь между функцией и ее сопряженной дается формулами (3.1.бб), (3.1.87).
Поэтому из системы (12) полу чаем уравнения ЛСз —, п(Сз = О, ЬСз ЛСз = О. откуда Л вЂ” (п 6 — символ системы (12), При 6 > О, т, е, при р1 > рз, этот символ эллиптический. Замечательно, что тип системы (12) зависит от младшего члена --- от знака величины б. Этот же факт остается в силе и для нелинейной системы (7). Несмотря на устрашающий вид тех нелинейных интегро-дифференциальных операторов, которые в нее входят, ее тип определяется скромным членом др. Мы не можем привести строгое доказательство этого факта, но по физическому.
смыслу задачи это имезпзо так, Краевую задачу (12), (8) легко исследовать. 3 а д а ч а. 1. Пусть ро(х) = ~ п„ехр(1пх), ро(х) = Д ~Ь„ехр(упх). (13) Применяя оператор усрсднезпгн ко второму уравнению, найдем ЬХ(до), а под- ставив найденное выражение во второе уравнение, получим окончательный вид лянеаризованной системы: 360 Глава 5.
Общие свойстоо, вьячислительньях алгоритмов Докажите, что решение задачи (12), (8) существует на полуинтервале 'О, Т) тогда и только тогда, когда для любого Тя < Т ) а„— «/ —.Ьяя) ехР(2яУЯГп,бТяэ«< оо. Для нелинейной задачи (7), (8) можно доказать теорему существования и обосновать принцип лннеаризации. э А —..
(!ао!~+ !Ьо!'4- ~я и ()аь — !Ь„) ехр(2~п)Т)~ достаточно мала. Иными словами, теорема гарантирует существование решенвя при условии, что функции уо(.с), ро(х) допускают аналитическое продолжение на полосу !пят < Т и они малы, 2. Дискретизация задачи. Поскольку решение дается перподическими аяалитическиляи функпиями, то целосообразно при конструировании алгоритма воспользоваться методами табулирования, описанными в п.
3 5 3 гл. 4. Оптимальной таблицей является набор коэффициентов Фурье. Однако удобнее работать с нескяшько более длинной таолящей — с таблицей приближеннык значений функции в узлах хь = 2кк/(2п, 1) (Ь = О, 1, ..., 2п) с расшифровывающиья алгоритьяом, основанным на вычислении интерполяционного мно- гочлена г 2««я 1~ (15) ь=о где «(хь) — приближенные значения функции в узле. Таким образоья, аппроксньяацию функции у(х, «), д(х, «) мы будем брать в виде (! 5), где для функции у(х, «) вместо 7(ха) нужно подставить величину у(хь, «) = уь(«) (Ь = О, 1,..., 2п), а для функции д(х, «) --величину Н(тле «) = .=- дь(«) (й = О, 1, ...., 2п). Лппроксимация производных ре(х, «), у„(х, «) проводится на основании многочлена (15), Л именно, р, (х, «) аппроксимируем мно- гочленом 2 — р (х; «я) — -- ~~ дь(«)А(х — я) дх.
' 2п-Ь! и аналогично будем аппроксимировать у (х, «). Старшие произвощяые аппроксимируем аналогично. Интегральные операторы с ядрами ао, а„бо, с аппроксимируем е,цшообразно согласно формуле г 1 2 — 1 а(х, 8)«" (с)<К ~ а(х, хь)'(хь)., яг « ' 2п -1-1 о ь=о (16) Теорема 1. Пусть накальные донньяе уо(х), до(х) имеют вид (13). Допусяпим, что «целое, ! ) 3. Каковы бы ни были величины Т, Тя(Тя < Т), решение зада яи (7), (8) суядесоъвуепя на полуинтервале (О, Тя), если только константе, 24, Решение задачи Рзлел — Тейлора и тем самым для аппроксимации ядер нужно знать значение функции у(х» 1) в уш»ах, Нетрудно указать погрешность приведенной квадратурной формулы.
Напомним, что, согласно неравенству Небога, ~р (х;,»') — Дх)~ ч ((1 —, + Лг„т»)8»„, » (»"). Поэтому, если заменить ядро а(т, 6) при фиксированном х на р„(б; а(х, )), а функцию ~(6) на полипом р (6; (), то получим, что г г ~ — 1 а(г,, 6) Щд~ — — 1 ро(б; а(х» ))ро(6; Я~К ( 1 Р .
1 о о г г ( (1 т Лг о») [8г»(а(х, )) — / !У®!дб, 8ж, »(Х) — / !р (чс, :а(х, ))[д61. 1 Р . 1 Р о о Согласно неравенству (3.1.о»0), Л„= -~ ~О.(х)~дх < -й —, С х »г о (в самом деле имеет место бачее точное соотнов»епне Л„" =. (4/х~) 1п и Р Р(1)) и поэтому г, 1 Г 2 — [ ~р (с; а(х, ))!дс < ( — 1в»»+С) шах[а(х, у)!. о Учитывая, чта г 2 — р (6; а(х, ))р„(б; ~)дб =. ~а(х, хь)!,(хь), до ь..о получим, что погрешность квадрату-рной формулы (16) оценивается величиной С»(1-1- Лгот») [Ьгое»(а(х, . )) -1- Л„8г е»(»)], г где С» зависит от тах»пах[а(х, 6)! и — ' / фх)!дх. Ядра, по кОторым опрЕделяются упомянутые интегралы, рЕгулярны в тей же полосе [х: ,'1шх~ < Т), что и функция у(х, 1), н поэтому погрешность определения интегралов находится в тех же пределах,что и погрепшость аппроксимации функций р(г:, 1) и р(х, Ф).
Для дискрет»шанин сингулярного оператора Гильберта мы применяем следующую формулу; Н(р„(; Я(х) = —, ~ Х(хь)В (х.-хь). 2 ь=о Делая подстановку указанных интерполяционных многочлепов в систему (7) и производя аппроксимацию интегралов, ю»к указано выше, мы получим два выражения, относительно кс»торых потребуем, чтобы они обращю»ись 362 Глава 5. Обтйие свай«тая, вычислит«ленью алеаритомаа в нуль в узлах хь (Л = О, 1, ..., 2п).
В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно 2(2п+ 1) искомых функций уь(Х), дь(Х) (й = О, 1,..., 2п). Пусть У(Х) — —. (тра(Х), ..., рг„(Х)), М(1) с =- (да(1), ..., рг„(Х)) . Полученная система имеет вид с(Утт(1 — -- А(У, Л1), 111 -'с 6С(т) ЛХ)]с(ЛХ(с(1 —.- В(1; Л1), (17) где А(У; ЛХ), В(У, ЛХ) — (2п к 1)-мерные векторы, зависящие от У и ЛХ, С(У, М) — некоторая (2и 1) х (2п — 1)-матрица; матрица 1 единичная.
Отметим, что матрица 1 -', дС(У, ЛХ) неособая и хорошо обращается. При а = 1 матрица 1 С(У, ЛХ) получается в результате дискретизации уравнения х + 6(р) = Х, которое сводится к уравнению логарифмического потенциала при решении внутренней задачи Дирихле. Если 6 ус 1, ~6~ ~ 1, то матрица 1 —, 6С(У, ЛХ) заведомо обратима. При произвольном 6 обратимость этой матрицы устанавливается численно. Таким образом, чтобы привести систему дифференциальных уравнений (17) к нормальному виду, нужно обратить матрицу 1 -'- 6С(У, М), что равнскильно решению задачи Дирихче для уравнетптя Лапласа.
Итак, получаем систему обыкновотцтых дифференциальных уравнений с(УттХ1 = А(1', М), с(ЛХСтХХ = '(1+ 6С(1; М)] В(Х, М), для которой нужно решить задачу Коши с начштьными условиями рь(0) — — у(тт), дь(0) = р(хь), .й = О, 1, ..., 2п. Эта задача решается некоторым методом типа предиктор-корректор, о котором речь будет идти ниже.
Расчеты проводились при различных значениях величины и; в частности, приведенные результаты считались при и =- 30. В качестве начальных данных брались различные функции ро(х), да(х); приведенные данные отвечают ра(х) = 0,1э1пхб д =: О, ртттрг = 2. На рис. 2, 4 приведены графики функции у(х, 1), т. е. графики границы раздела при различных й Течение, приведештое на рис. 2, отвечает величине /т = 2, а приведенное на рис. 4 — величине й =.
оо. В задаче все величины безразмерные, н поэтому значение 1 = 4 —: 5 сттвечает средней нелинейной стадии процесса. На рис. 2 вилла, что при Х = 4 появилась уже значительная «пила». Ее появление вызвано причинами, о которых говорилось в п. 4 предыдущего параграфа. Столь позднее появление этой пилы объясняется тем, что в начальной стадии процесса действует линейное приближение и амплитуда нарастания и-й гармоники пропорциональна не ехр1 тт~6), а ехр(з/~п~6), как это следует из формулы (14). Оспилляции решения в момент Г =- 4,3 предшествуют его полному развалу и вызваны нарастанием погрешностей округления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
