Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если функция п(х) имеет бесконечное число точек роста, то ясно, что максимальный алгебранчоский порядок точяости равен 2н —. 1. В самом деле, предположив п противное, мы полу гим для много щена р(х) —.... (1 (х — ху)з равенство у=1 ь р(х)дп(х) = ~ сор(ту) = О, ь=г что неверно, так как р(х) > О. Теперь перейдем к конструкции Гаусса квадратурной формулы. Обратимся к фактам, изложенным в пп. 3--5 з 3 гл.
2. Пусть р„(х) - пт1-й ортогональный многочлен для меры дп(х). Обозначим через хы ..., то его нули. Мы знаем, что эти нули — простые вещественные --. лежат на основном интервале (а, Ь). Возьмем их в качестве узлов и построиги формулу (2) с носовыми коэффициентами (1). Покажем, что эта формуша тОЧНа На Зяя„. В СаМОМ ДЕЛЕ, ПрОИЗВОЛЬяЫй МПОГОЧЛЕП р й зга„межцп пРеДставить в виде Р = Рой+ г, гДе о, г Е Зяо, !ак как многочлеп Р„ 378 Глава в, гГислвнпав интвгрирвванив ортогонален к любому многочлену д й У„, то левая часть формулы (2) ь приводится к виду ) гдс(х). Правая часть формулы (2) имеет вид сь(ра(хь)д(ха) + г(хь)) = ~ сьг(хь) ь=1 ь=1 и поэтому равна последнему интегралу, так как ыы пользуемся формулой интерполяционного типа. Отсюда получаем следующее красивое следствие. Ыногочлен 1~а(х) принадлежит З'г„г и, стало быть, на нем формула точна.
Следовательно, сь = / 1~ь(х)дс(х), й = 1, 2, ..., и, зд ( ) а ( рав1(хь)ра(х) 1 ( 1" .---" Г ' й„т,/ х — хь а а Применяя к правому интегралу кввдратурную формулу, получим йп г 1 = — р,г(хь)р„(хь)схч откуда сь = — ~у„.ьг(хь)р„(хь)г (16) йа Если теперь в формуле (2.3.33) положить т = п, х = хь и воспользоваться предыдущим результатом, то получим в ,,— 1 сь =- ~ ~ р (хь)у) (16) э=е Вместо неравенства (3) в глучае квадратурной формулы Гаусса мы получим с учетом того, что Уе„С кег д„, неравенство /Б„С): Г ге,„е) ) гле. а (17) и поэтому весовые коэффициенты гауссовской квадратурной формулы положительны. Для коэффициентов хвадраньурной формулы, Гаусги (они также называются коэффициентами Катвса) можно привести еще несколько формул, Полагая в формуле (2.3,32) гп = и, у = хь и затем интегрируя полученное соотношение по мере дс(х), получим в силу ортогональности многочленов рь(х) З 2. Кеедратггрнеге фора«ульг иптерполяиванпаго типа 379 Приведем примеры квадратурных формул Гаусса.
Рассмотрим на отрезке [ — 1, 1) меру еЬ(х) = (1 — т) (1 их)пе(х (а > — 1, д > — Ц. Ортогонвльные многочлены по этой мере это многочлены Якоби, введенные в п. 5 23 гл. 2. Выведем формулу. для весовых коэффициентов квадратурной формулы. Воспользовавшись соотношениом (2.3.39), носложпо вывести следукгщую рекуррентную формулу; (2п „а., 8, 2)(1 хг) р(а.н)(х) г(х = (и + о ь «8+ Ц [(2п, + 2 —, а — 3)х -~ а — Яр(гар) (х) -. — 2(п + Ц(п + а + «3+ Цр(а'г (х).
Полагая в последней формуле т, = хь (р,, ' (х«„.) = О), получим (т««) (2п+ а -),8+ 2)(1 - х«,)р( "«) (х«,.) = .—.- — 2(п. -)- Ц(гг -(- о — ' 8+ Цр„",~(хь). (18) -(а.дй Заметим, что ортонормированные многочлены Якоби рп '. (х) связаны с много пенами р„' (х) соотношением (а,д) (ааи ( ) (а„«) ( ) где константа оа определяется по формуле (2.3.45) . Учитывая последшою формулу и формулу (18), с помощью (15) получим, что х'а «2(гг Ц(п — 'а — !« — ' Ц ( ( з) Р~о„е га„(2п + а — ' В -Ь 2)(1 — хг) ' Так как й„-. старший коэффициент многочлена р„а' (х), то )е„= а„кп, -(аж) где й„старший коэффициент многочлена р„' (х), определяемый по (а,д) „ формуле (2.3.42).
Делая подстановку. указанных величин, окончательно получим „н««Г(п ' а — ЦГ(п.). )3+ Ц и (Г(г«+ а -, р) + Ц Что же касается узлов квадратурпой формулы, то они должны быть определены численно, за исключением тех случаев, когда они даются явными формулами. Это случаи многочленов Чебышева, которые отвечают значениям параметров а = «г = . 1««2, а = «г = 1««2, и случаи а = — —,8 .—. 1««2, а —.... — «8 .—. — 1««2. Используя формулу (2.3.48), получим при а .— «г .— — 1«2 Гз(1«2)гг сь = (1 — 4) [Т'( ь)1з 380 Глава б. Числа!тое. ияаввгрировшше Ио х1,- = сов[(2Л вЂ” 1)яЛЛ(2п)] (Й = 1, 2, ..., и), и поэтому с1„.
= ялгп, Й = = 1, 2, ..., и; сама квадратурная формула (формула Малера) илшет вид ! — 1 / 1(х)(1 — х )' У о:.х - — ~ ~.Л(сов я). и 2п й. -1 (20) 3 а д а ч и. 1. Докажите, чта при о = Г! = 1/2 имеет место квадратурная формула 1 Л(х)(1 — хт)'~~гЛх ~сйп У(соя ). (21) — ! ! —.. 1 2. Докажите, что если 11о(х) =, е дх, о > -1, х Е (О, ас), Г(о+ 1) и в качестве узлов квадратурнай формулы взяты нули многочлена Чебышева— Лагерра А!, ~(х), та сй = х1.
(1„(хй)), й = 1, 2, ..., п. Г(п " о й 1) Г(п+ 1) 3. Постройте квадратурную формулу по нулям многочлена Чебышсва— Эрмита. Покажите, что сй —. я!Лг!""!и,!(Н„(ай)), й = 1, 2,..., и. Исторически первым примером гауссовской квадратурной формулы была формула для меры аго(х) = г)х на ( — 1, Ц (случай о =,'3 = О). Многочлен ра ' (х), как отмечалось выше, это многочлен Лежандра. Если ~о,о! х1, ..., х„его нули, найденные численно, то из формулы (19) следует, что формула Гаусса имеет вид 1 Д(х)в(х 2 ~(1 — хй) (р~~ ' ! (хй)!) У(хй). — 1 й=1 Ь а У(х))х =~ ЕйИй), а й=1 Таблица узлов и коэффициентов этой формулы для отрезка (О, Ц имеется в (63).
Однако пересчет узлов на произвольный отрезок совершается элементарно. В самом деле, если хл - узлы, сй -- весовые коэффициенты квадрагурной формулы на отрезке ( — 1, Ц, то для произвольного отрезка,а, 6) получим з2, Кеадротурные формулы интерооляиионного типа ЗВ1 где сь = (6 — а)сь>>2, сг = (а + 6)>2 —; хь((> — а)~2. Условимся две такие квадратурные формулы называть нодобньчми. Закончим этот пункт сле- дующим почти очевидным замечанием, ввиду важности которого сфор- мулируем его в виде теоремы.
Теорема 3. Квпдратурная формула (2), имеющая алгебраический г>орядок точности 2п — 1, явллется гауссовской формулой, т. е. ее узлы являя>тся, нулями л —, 1-го ортогонального по мере до(х) многочлена, а весовые коэффициенты определяются по формуле (1). ДОклзлгелъстВО. ПУсть Рп(х) =- П (х --хь), д(х) — пРоизвольный ь=> многочлен степени не выше п — 1. В силу нашего предполо>кения г ри(х)д(х)до(х) .= > серь(хь)д(хь) = О, и и, следовательно, р„(х) ортогонален к пространству многоч»енов,хи. Тем самым, р„(х) -- ортогональный многочлен, и узлы хь -- его нули.
То, что для весовых коэффициентов имеет место формула (1), следует из сделанного выше замечания о том, что квадратурная формула алгебраического порядка точности не ниже и — 1 обязательно интерпопяционного типа. П ь 'и )"(х)йо(х) - ~ с ('(х ) + ~ с ((х ). >=1 >=ьт> (22) Пусть й(х) = П(т — х ). Рассмотрим ортогональпые многочлены >=1 по мере у(х)до(х). Вопрос о их существоваяин остается открытым, но мы предположим, что существует т+ 1-й (т = и — Й) ортогональный многочлен ры и что его корни простые, лежат на интервале (а, 6) и не совпадают с заранее выбранными узлами х (у =.- 1, 2,..., й), Тогда искомые узлы хьи>, ..., х„возьмем в нулях многочлена рт, а весовые коэффициенты о,.
(> = 1, 2, ..., и) выберем так, чтобы формула (22) была формулой интерполяпионного типа. Поэтому ее алгебраический порядок точности не меньше чем (23) Й-,2т — 1=2п,— 6 — 1. 4. Формулы Маркова. Рассмотрим обобщение гауссовской конструкции квадратурной формулы. Предположим, что часть узлов задана заранее, скажем, узлы хы ..., т>о а остальные узлы ть> >, ..., т„и весовые коэффициенты нужно выбрать так, чтобы формула имела максимально высокий алгебраический порядок точности. Таким образом, искомая квадратурная формула будет иметь вид 382 Глава б, Численное иннтегрироеаттие В самом деле, произвачьный многочлен1(х) степени Йм2т — 1 можно записать в виде у(х)р(х)е(х) + г(х), где е(х) Е Стн„г(х) Е М„.
Формула (22) точна на,бэ„и будет точна на многочлене д(х)р(х)е(х) -~- г(х),. если мы покажем ее точность на многочлене у(х) р(х) е(х). Но для этого многочлена правая часть формулы, очевидно, равна пулях точно так же, как и левая, поскольку мпогочлен е(х) ортогонален к р(х) по мере Ч(х)до(х). Имеются два частных случая, когда можно утверждать, что существует ортогояальный мпогочлеп с требуемыми свойствами: первый когда й =- 1, хт =- а лпГю хт = 6; второй когда й — -- 2, хт .=- а, х„= Ь. В самом деле, в обоих случаях мы будем иметь дело с неотрицательными мерами (х — а)до(х) либо (Ь вЂ” х)ао(х) и (х — а)(Ь вЂ” х)до(х) соответственно.
Поэтому формула (22) при й .=- 1 примет вид (х1 —. а) Ь ,т'(х)дгт(х) — Й1,('(а) — ~ ~от,т" (хд): х=и (24) ее алгебраический порядок точности равен 2п — 2, поскольку из формулы (23) следует, что ее порядок точности не меньше чем 2п — '2, а для и многочлена (х -- а) П (х --.т,)е она заведомо не точна. При Ь = 2 формутг а ла (22) примет вил Ь ) (х)ах = дт 7(а) - Йг) (6) + ~ сг 1(х ). а (25) р(хь' У) = Яхь), р (хь, 7) = ~'(хь), Й = 1,2,,..., и.
(26) Допустим, что 7' е Сг" (а, 6'. Тогда в силу результата задачи 14 Ь'3 гл. 3 у1втй (((х)) Пх) - р(х; У) = 1е(х), (2п)) (27) где ((х) = П (х — хь). Поскольку гауссовская квадратурная формула Ь:-1 точна на многочлене р(х; 7) Е Зэг„, то для ее функционала погрешности Аналогичным рассуждением показывается, что ео алгебраический порядок точности равен 2п — 3. Формулы (24), (25) называются кеадратпурнмма формулами Марково. Если Все(х) = дх и 'о., 6) = ( — 1, Ц, эти формулы называют формуломп Радо и Лоботттто соответственно. 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
