Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Поэтому 5„(,У)~ < М(В„1 и + С.) -", (28) где константы В„, Ст зависят лишь от г. Квадратурная формула дия второго интеграла (25) строится аналогично. функция 7(т) заменяется интерполяционным иногочленом с узлами в нулях многочлена р„' (и). В результате, естественно, возникнут 1аай функции вида (1+с),(1 с)ор (й) 1с 1 « 1 «-и — 1 Эти функции тесным образом связаны со вторым решением дифференциального уравнения (2.3.46) (по тюводу этих решений см.
[97]). Мы рекомендуем читателю построить самостоятельно аналог квадратурной формулы (23) для второго интеграла (22), 403 З 5. Крботурпие. формулы й 5. Кубатурные формулы 1. Формулы интерполяционного типа. Рассмотрим вопрос о построении квадратурных формул для кратного интеграла, которые обычно называются кубатурными формулами.
Автор находится в крайнем затруднении, поскольку он даже в отдаленной степени не может дать представление о многочисленных интересных результатах. установленных в теории кубатурных формул. Очень важные результаты были получены С, 11, Соболевым в вопросе о построении кубатурпых формул, оптимальных па тех либо иных классах функций. Эти результаты изложены в работе (100). Больпюе число результатов получено в вопросе построения кубатурных формул интерполяцнонного ти11а, имеющих тот либо иной алгебраический порядок точности. Результаты этого типа изложены в (80), При построении кубатурных формул интерполяционного типа одним из основных вопросов является вопрос о выборе узлов н того пространства алгебраических многочленов, на котором формула должна быть точна.
Вопрос о выборе пространства полиномов тесным образом связан с дифференциальными свойствами класса, для которого строится кубатурная формула. Если класс анизотропен, как, например, класс 1рг"(М; 1), то естественно использовать пространство у„(п = (пы..., п~)); для изотропных классов целесообразно использовать класс фн,. Рассмотрим построение кубатурных формул, точных на пространстве многочленов фы. В з 5 гл. 3 мы описали построение фундаментальных многочленов интерполяции, но вопрос о том, когда матрица системы (3.5.5) будет неособенной, у нас остался в тени. Пусть к = (йм..., Ц) мультиицлекс н х~ = х~'...хг'. Допустим, что й пробегает все те значения, прн которых получаются все одночлены хо, принадлежащие пространству фвч и упорядоченные в соответствии с возрастанием ~й(, а при фиксированном Й, ,'—.
лексикографически. Условимся, что мультииндекс й будет пробегать именно это множество значений. Возьмем попарно различные точки х1, ..., х~, где ГУ =- 01тфы — —. (и .Р 1) .',е(п!1!), и рассмотрим квадратную матрицу г ге !и = ((хз)г), называемую матрицей Вандермонда. г=ць: Предложение 1. Длл того чтобы, матрица 'ем была неособой, необход мо и достаточно, чтобы точки х1,, х не лежали на алгебрапчестой гиперповврхности т1орлдка п. Доказлгелъетво. Если ранг матрицы менгппе Х, то между столбцами существует линейная зависимость: аь(хг)~ =.- О, ф = 1, 2, ..., Л. !ц<о Отсюда следует, что все точки х1, ..., хм ложат на алгебраической ги- Глава б, Числсннос инпгггрнрованис с, = / Р>(х)с1о(х), г' = 1, 2, ..., Х. т> (2) Тем самым формула (1.1) будет точной на пространстве >рнь Если весовые коэффициенты квадрату рной формулы вычисляются по фундаментальным многочленам интерполяции по формуле (2), то будем говорить, что она интсрполяционного типа.
Ясно, что нужно добиться, чтобы весовые коэффициенты с были неотрицательными. Априори неясно, можно ли для любой области Р и произвольной меры построить интерполяционную квадратурную формулу, точную на >рг (ояь), весовые коэффициенты которой будут положительны, Пусть существует плотность меры 6т(х') = т(х)с)х (т > 0) и ) ю(х)дх ) О. Тогда оказывается, что такая и квадратурная формула действительно существует. Теорема 1 (В.Чакалов) [202, 203].
Пусть Р— ограниченная. обласгпь, и пусть мера до(х) удовлетворяет предыдущим услов ям. Тогда хуицсствусп> кубаппгрнал формула Дх)<Ьт(х) = ~~~ с, Д(х>) т> >=> интсрполлционпого пгипа, точнал на пространстве >ры, углы кап>арой лежат в области Р, а весовые коэффициенты с, неотрицатсльны. Эта теорема оправдывает поиск кубатуряых формул интерполяционпого типа с положительными весовыми коэффициентами. Если областгн для которой строится кубатурная формула, обладает симметрией, то гио свойство сучцественным образом используется при построении кубатурных формул. Многочисленные примеры построения кубатурных формул лля таких областей, как куб, шар, симплекс и иных, обладающих симметрией, читатель может найти в работе (80). 2.
Простые области. Для таких областеи, как интервал, симплекс, шар, сфера, кубатурные формулы можно строить с помощью перповерхности 2 аух" = 0 порядка не больше и. Наоборот, если точки )й)сп х> () = 1, 2, Аг) ложат на некоторой алгебраической гиперповерхности вида (1), то ранг матрицы мецьпю )>, П Существуя>т методы построения системы из и точек х>г ..., х~ (и ) Х)г которые но лежат на алгебраической гиперповерхности порядка и.
Взяв такую систему точек, лежащих в области Р с 1ь~г построим фундаментальную систему интерполяционных многочленов Р>(х), ..., Рк(х) (см. э'б гл. 3) и затем определим весовые коэффициенты в формуле (1.Ц, положив 405 з 5. Крбаглррпме фармрлы повторного применения квадратурных формул. Особенно простой слу- чай --интервал 1=(х: а <х < 6, у =1,2, ...,1). Тогда б, бе б~ зе(х)е(х = ~ е1хб ~ йхи... / Д(хм ..., х~ )е1хь а! аа Используя лля интеграла по переменной х, гауссовскую квадратур- нУю фоРмУлУ с гб, Узлами т ы .,., х „, и весовыми коэффиЦиентами саы ..., с,п, полу н1м пь, п~ 1(х)тх — ~ ~сбл...с~., ~(х1а,, ..., х~л).
з н,...,л=б (3) Эта формула имеет пз... пч узлов и точна на многочленах вида х',:'... х"', где О < р < 2п, — 1 Ц = 1, 2, ..., 1). Она являетсяинтерполяционной по отношению к многочленам из пространств Уп (н = (пм ..., гн))., определяемым формулой (3.5.6'). По отношению к многочленам из пространства ф~п она может быть уже неточной. Если( велико и п1 — ... — ш - и, число узлов формулы (3) может намного превосходить е11бп б)й„, и может оказаться, что применение таких формул невыгодно, ибо многочлены из пространства ф~п уже обеспечивают удовлетворительное приближение того класса функций, дпя которого строится квадратура, а тем самым позволяют ее вычислить.
Для небольших 1 (1 = 2, 3) пользоваться формулами вида (3) еще целесообразно, Если д„(б") функционал погрешности формулы (3), то очевидно, что 1сегда > бяип (2п = (2пм ..., 2Ш)). Согласно теореме 1 з '! и предложению о ядре (предложение 2 3 3 гл. 3), по, п~ ~.(л (>л+ Е;„..„) . и— / реевы н,"л=1 ,:дп(Д~ < 2,'1 А„~ Иу(2пз) ".
1=.1 Если теперь величины и выбрать так же, как при доказательстве теоре- мы 12 3 1 гл. 3, то /дп(Д)! < 11 В„бе(2'и) Поскольку 2 сб а —... 6б — аы то сумма в правой части равна е=1 ]~ (Ьз — ау) = !11 Если з' ~ И'" (М:, !), то нижняя грань оценивается по ~:.-1 теореме 15 3 1 гл. 3. Таким образом, 406 Гласа б, Числсннос интсгрироаанис где п --- общее число узлов, а константа В, зависит только от г. !( сожалению,точное значение константы В, нам неизвестно, и это несколько снижает ценность неравенства (4).
Но оно дает правильньш порядок убывания остаточного члена с ростом и. Кубатурные формулы для симплекса и шара, построенные на основе повторного применения квадратурных формул см, в [80, 194, 201). 3. Произвольные области. Ознакомившись с предыдущими рассуждениями, читатель в праве задать вопрос: а как нужно поступить, чтобы вычислить интеграл по некоторой области с гладкой границей, отличной от тех простых областей, которые рассмотрены выше? Нам представляется, что для вычисления интегралов по произвольной области невысокой размерности с гладкой границей нужно уметь строить диффеоморфное отображение ее на некоторые канонические области, а для последних иметь хорошую квадратурнук> формулу, Тогда можно будет получить и хорошую квадратурную формулу в исходной области.
Для конкретности рассмотрим случай 1 = 2. Если Р "- односвязная гладкая область, то естественным днффеоморфизмом будет конформное отображение круга на эту область. Вместо конформного отображения можно взять любой другой диффеоморфизм на круг, но конформное отображение предпочтительнее, поскольку имеются простые численные алгоритмы его построения. Если нужно провести не единичный расчет, а серию расчетов по вычислению интегралов, то затраты па решение вспомогательной задачи о конформном отображении будут несущественны по сравнению с общими затратами на вычисление интегралов.
Будем считать, .что область Р лежит в плоскости комплексного переменного с = т-, 'гу, и пусть г = чав конформное отображение круга Ь = (С: 'р,: ( 1) на область Р. Пусть 1': Р— К, г': г — г"( ). Подчеркнем, что хотя мы пишем 1(г), однако 1'(г) не есть аналитическая функция переменной -; просто г гладкая функция на Р.
Искомый интеграл можно записать в виде 1 Р 1( г) = — — / 1(с)агл Л Ж, 27 й и, делая замену - =;р((), получим Для вычисления полученного интеграла мы предлагаем воспользоваться интерполяцнонной формулой (3.5.15), с тем чтобы получить квадратурную формулу, Полагая д(~) —. 1 [Эс©] (фЯ' и заменяя д на Р~((;, 9), получим квадратурную формулу 1 Р— 1 2' / у©С(с Лоси Х~' й((аа)( 2' / ~уа(с)С(с ЛС(с). (5) к ьа к 407 З 5, Кубаглурнь20 формулы Положим 1 ,.=- — ~~1,.К)Обд 1С 21,/ Чтобы вычислить эти весовые коэффициенты, перейдем в интеграле к полярным координатам и воспользуемся формулой (3.5.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
