Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Интегрирование по угловой координате выполняется тривиально, и мы получим 2г /' 1ь(г) 1 1 2п -1- 1 / 12 (г ) ' г — г г+ 2'1 l На основании задачи 1 8 5 гл. 3 можно утверждать, что формула (5) точна на 242е где т определено в условии задачи. Однако этот результат можно уточнить, если исследовать вопрос о точности, непосредственно применяя формулу (5) к функции видар = пню". где и = ВсС, н = 1п1Ч, Полагая Ч = гехр(1О) и учитывая результат о точности квадратурной формулы (4.18'), при д+ р < 2п з получим яп и л с ьд„н((бь) = з~ сов" Огйп ОООс. байт~, о=о о где если р, и четные.
В противном случае формула (5) точна вне зависимости от величины д —, р. Таким образом, ,2. Онн((;И) сзй 2,1 1 Зл . †. ,( ) ( ~г",и ( — ~гг1г / соьл Овш ОсИ, 1„'(2 ) (.г — г. г+ г2.2' о 2--.1 о и, учитывая четность многочлена 1„(г) и соотношение г..— — г„э1 (2 = 1, 2, ..., 0), получим н л 22л-ы 1„(г) гу ОяыЯ 1)С Ь вЂ”. ~ ~~2, Г ОГ ~ СС2ВН О ВШ" О дО. 2,Ь ,, 1н('2)( — 2) Г (г.)(г —. г ) Если д + р < и — 1, то формула (5) точна, и, стало быть, опа точна на 242зн„где т = 1шп(п — 1.
2п1, ..., 2210). Если же д+ н > и, 408 Глава б, Чиалаииаа ииааагрираааииа то имеется такое расположение узлов, когда формула будет точна при и < д - и ( йп — 1. В самом деле, замечая, что где а(г) остаток от делениЯ г" ~ на 1а(г), а г"та = 1а(г)Г(г) -~- в(г), мы получим 1 аа ~йи,((аь)саь —.. / а(г)~ аЬ / соваВвпз'000— ль о о 1 2а = / [1„(г)с(г) ч- в(г) ~гйг / сов" Ввш'000, 1 если только 1 1„(г)1(1)ганг — -- О. Таким образом, многочлен 1„(г) должен о быть многочленом степени и, ортогональным по мере га1 на ~0, Ц.
Учитывая, что 1„, В четные многочлены, последний интеграл можно записать в виде 1 1а(ь1хф ъ х)г1х = 0; о откуда 1„(игх) = СР (2х — 1), где Рд — многочлен Лежандра степей.а...,, — 'а,,дз, °... а...,, а,р, Ра (т = 1, 2,..., о). Формула (5) при таком выборе узлов получена в работе [50]. Прнмнр. Имеется е|пе один замечательный выбор узлов, когда 1„(г) = Т„(г), Нетрудно проверить, что 2пга )' Та(г) 1 1 1 о Если воспользоваться формулами (3.3.14), (3.3.15) применительно к многочлену Т„(гЯТ„'(г )(г. -гу) ' и узлу. г = сов[(22 .
1)яД2п)] = сов В, то получим Та(г) 2 — сов ЬВ Та(г), Т'(гу)(г — г ) и 409 З 5. Кубаглурныс формулы л — 1 1 сов = ~ (1 — ( — 1) ) соз/01 /2)(г'дг. п(2п, — 1) ~=о е Вычислив интеграл, придем к следующей формуле: 8яг. х- ( — !)/ сов(2/ т 1)0; и/,2п -'1)»- 2/ 1+ ( — 1)~ (б) Заметим, что у = 1, 2, ..., и/2, и поэтому О < О, < и/2.
3 а д а ч а 1. Докажите, что весовые коэффициенты сзь удовлетворяют важному неравенству сль > О. (7) Указлниьх Воспользуйтесь свойствами тригонометрической суммы з/п(2/ + 1) 0 О 0 О < 0 < х. ~=о Итак, мы получили кубагурную формулу — — ~(» Й» Л с/» — 2 с,ь/ (РЯв):оо (сов) и -И о,ь (8) с общим числом узлов лл' = 2 (2п. 1) (д = и/2), где (от = г, ехр(лдот), о:=1 0 ь — 2огй/(2п, — ' 1) (й — О, 1, ..., 2п,, д' .—.. 1, 2, ..., п/'2).
Положив эо((',ь) — -- х в + /у ы можно записать формулу (8) в более привычном виде; гл /"(х, у)о/хс/у = ~~~ си <р'(/зь)! /(х ы у ь). (9) хв Функционал погрешности этой формулы легко оценить на основании полученных результатов. В самом деле, формула (5) точна, если д й зла„„ где пх = ппп(2пы ..., 2по, и, — 1). Поэтому, применяя неоднократно используемое презложение о ядре и теорему 1 з1 и полагая с = с + /и, получим !6»о(/). '< 2 шГ плах~д(() — У(~, л/), ~дхйлу. ряе'рл дек где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при Й = О берется с коэффициентом 1,'2. Поскольку — г = г„ /эы то, воспользовавшись приведенным разложением, получим З 5. Кубатурные формулы множество О1 может быть интервалом, шаром, .зллипсоидом, параллелепипедом: С: 2 о.
Щ < т, ф —... 1, 2,..., / и т.п. Множество 21 елее=1 дует выбирать в зависимости от дифференциальных свойств функции 1'. Так, например, если Ь" 1: < ЛХ, где Л = дв ~дх1~ +... + д~ )дх~ --. оператор Лапласа, целесообразно взять в качестве О1 шар х: 2, хз < Лз 7=1 такого радиуса Л, чтобы были выполнены предыдущие условия. р — 1 Положим а —.. (ам ..., щ), э (а) — р 1 2,' ехр(11ху), где у с Е~. у=о Предложение 2. Каково бы ни было множество %, удовлетворяющее предыдущим условиям., сущесгпвуют коэффициенты ап, ..., а~ такие, что для у Е %, у у= О справедливо э.(а) = О.
Доказательство. Заметим, что р — 1 э (а) —.. р ~~ ехр(2™ ~ —... ер(у . а), у=о р — з где ер(т) = 1 2, охра ~"'~~ ~. Ясно, что е„(т) = О, если т не делите у=о ся на р, и ер(т) = 1 в противном случае. Пусть эг(а) = 2 э (а), эзгл где штрих у знака суммы означает, что слагаемое, отвечающее у —.— О, опускается. Ясно, что н(а) целое число. Воспользуемся очевидным перавеяством р — 1 шш м(а) < (р — 1) ~ ~ м(а). 1<а <р — Ь аь .а~=1 Но р-1 р-л р — 1 м(а) = р ~ э,(а) = у ~ ~ер(у а) ан ...,а~=1 а,, а~=1 Э Е9~ Э ЕЛ ан ..., а1=1 Зафиксируем у Е О1; поскольку у ~ О. то хотя бы одна компонента ф = = (ум ..., ус) отлична от нуля. Допустим, что и у: О.
Ввиду неотрицательности гр(т) имеем очевидное неравенство р-1 р-з р -1 р(у а) < ~~ ~ ~ер(у а). аь „а~ .1=.1а~=в аь ..., а~.=п Глава б, Числагтоо интогрироваииг. Вычислим внутреннюю сумму из правой части этого неравенства: р — 1 р 1 ер(,у ° и) < — ~ 1 аг=о р.= а=о (' Г2хгй 21ггйугаг1 ехр( ' (угаг +... + уг гаг — 1) + а =О р Заметим, что р — 1 1 г 2хгйугаг 1 — ~ехр~ у =О при й Г О, так как ,'уг < р, О < й < р, и поэтому йуг Гр не может быть целым числом.
При й = О последняя сумма равна 1, и поэтому р — 1 ~ ср(у а) = 1, аг=о н, следовательно, р — 1 ср(у а) = (р — Ц аг,...,аг=1 а значит, ийп м(а) < (р- 1) '(р - 1)' 1~ 1 < 1, 1<а,<р- 1, ,г ООГ Поскольку рг(а) -- целое неотрицательное число, то гпгп м(а) †. м(а') .†. О, 1<а„, <р — 1. что влечет а (а') = О (у 6 %, у ф О). П Обозначим чеРгн ор(У) фУнкЦиоггал погРепгности кУбатУРной фоР- мулы (11). Обозначим также через ол~ множество тригонометрических полиномов вида (12). На основании предложения о ядре ,'бр(~)~ < 2(2гг)1 гпГ ( — Ц, .
гагах а Следствие. Если Г' Е 'Ж" (ЛХ), гао е силу ьчеоремм ув уу гл. у ~бр®/ < 2(2х)11,, рр методы определения коэффициентов иг,, аг указаны в (62). подчеркнем, что алгоритмы, построенные на основе кубатурной формулы (11), не имеют насыщения. з 5, Кубатлурггоге формулы ю(з) = (х ло)ехр(ло(л) '.?С), (15) где оо( ) регулярна в Р, С вЂ” вещественная постоянная.
Поэтому ло(з) допускает представление с помощью потенциала двойного слоя: 1 / лр(т)г)т з г1/ г — -' (16) где плотность ф — вещественная функция. Если б .7, то ш(е) = ехр(10(в)), и поэтому, логарифмируя обе части формулы (15), получим О( ) = й ( — =,) й ,р( ,) †, С. ея Применяя формулу Сохоцкого- Племеля, получим 10(л) =- )и( — го) .1 щ(х) + — / 1-1С.
1 Г ф(т)г)т -ге г — л (17) Отделяя вещественну-ю часть, находим интегральное уравнение, которому удо- влетворяет плотность потенциала оо 1 Г Мт 1 щ(з) Р— / ла(т) 1гв = (п — ~ -"г (18) Произведем дискретизацию соотношений (16) — (18). Допустим, что нам дано уравнение кривой Ю в параметрическом виде е =.
т(0) (0 б 50). Положим в (18) л = т(0). введем ядро т'(0) " " - ' т(0) - .(О) и примем обозначение ф[т(0)~ = у(0). Тогда уравнение (18) запишется в виде К(0) + — ~ К(0, 0)Х(0)ой = )в 1 ~т(0)— о (19) В теории потенциала доказывается,что уравнение (19) разрешимо при любой непрерывной правой части (см.(66, с. 305]). Решение уравнения (19) с правой частью ф(д) дается формулой у(0) = ф(0) + -' / б(0. 0т0) ж, о (20) 5.
Конформное отображение круга. Приведем пример на использование квадратурпых формул, а заодно опишем и алгоритм численного определения конформного отображения круга на односвязнуго гюласть, ограниченную гладкой кривой. Пусть Р—.
область в плоскости комплексного переменного =, г1оаница которой Уу С~. Последнее предположение делается для простоты: все рассуждения остаются в силе, есчи Х б С' (г > 2). Пусть ш(з) функция., дающая конформное отображение области Р на круг К = ((: Ц ( 1). Допустим, что ш(ло) = О, и'(во) ) О. Ясно, что Глава О, Численное интегрирование где ядро 1 (д, 0) удовлетворяет уравнению У(д, В) + — / К(д, 0) б(б, В)дб = -К(д, В). о (21) т (О) 1 (д) — (0) д — О-'[(д — 0) Я[ и(0)/ (0)1+ [ — (д — 0) (2~ 1ш [те(0)/т'(0)1+ [д — В-- [(д — 0) ~2][ти(0)(т (0)1 + откуда и следует утверждение о ядре К(д, В). В уравнении (19) заменим функцию у(0) тригонометрическим миогочлепом 2 1 (О, х) —, ~у(0 )1т„(0 — Оь), (22) ь- о где Вь = 2тК)(2пь1) (й = О, 1, ..., 2п), и возьмем ограничениеуравнения (19) на множество узлов (Оо, ..., Оз„).
Тогда т(0~) гт — ~ К(Он В) ~> у(Вь)11 (Π— Вь)00 = 1и —, ,рн (23) 2 - 1, , " ~ (О,) — ,! где р~ — погрешность аппроксимации. Так как правая часть уравнения (19) бесконечно диффереицируема, то й и С ',У). Отсюда следует, что р~ = 0(п"') для любого т ) О. Используя результат зада |и ЗЗ 3 1 гл. 3, получим для любого г 3 1 — ) К(Вн 0) П„(В - 0,)00 = К(Вн Оь) + О( -'), е а отбрасывая остаточный член аппроксимации и обозначая через уь приближенные значения т(0ь), полу п|м дискретизацию уравнения (19) систему линейных уравнений 2 " 1 х~+ ~ К(0н Вь)Хь = 1и 2 +1 „' ~т(Вд — о[ (24) Эта система имеет полностью заполненную матрицу, но благодаря высокому качеству пашей ашцюксимации хорошие результаты уже можно получать при небольших значениях п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
