Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Прежде всего отметим, что если в формуле (10) функция Д(я) гладкая периодическая. то все слагаемые во второй сумме обращаются в нуль, и формула будет тем точнее, чем более гладкая функция. Таким образом, иа классе периодических функций формула трапеций приводит к алгоритмам без насыщения. Пам удобнее будет рассматривать функции г периодом 2п. Формулу трапеций в этом случае можно записать в виде 397 Л4, Составные кеадратурные формулы если о не кратно и. Заметим, что произвольная квадратурная формула вида аи и — 1 г'(х)дх = ~~ь су г" (хь) о ь=о не могкет быть точна на полиномах степени п и может быть точна лишь на полиномах степени не выше и --1. В самом деле, беря подынтегральную функцию в вила ,(о(х) = П (1 — сов(х — хь)), ь.—: о получьгм, что ингеграл от нее больше нуля, а правая часть квадратурной формулы равна нулю.
Как и в алгебраическом случае, могкно строить квадратурные формулы для интегрирования периодических функций, используя тригонометрическую интерполяцию. Так, если использовать интерполяционный многочлен (18) з 1 гл. 3, то мы получим квадратурную формулу (18'), но для нечетного чис.ла узлов 2п — 1. Заметим, что поскольку. Тз„.ь С 1сег би, где би функционал погрешности квадратурной формулы (18'), то, согласно предложению о ядре (предложение 2 3 3 гл.
3), би(г') < 4бп, 1(г'). (19) Задача о вычислении коэффициентов Фурье данной функции часто встречается в численном анальюе. Если 1 Р с„= — / ( (х) ехр( - ьых)ах, 2х / о то 1 и — 1 с = — ~~ Х(хь) ехр( — ьыху), !о = О, 1...., и — 1. (20) а=о Определим погрешность формулы (20), предло.латая, что )' Е "0" (ЛХ) при г >1. Предложение 1. Пусть с, обозначает правую "сесть формульи (20). Тогда,. если ,'ы! < Вп, .то )с — с„~ < Л1с„(В)п ".
Константа с„(0) определена нильсе, и с„(0) -г сю при 0 — г 1. Доклзатвльство. Не ограничивая общности, будем считать, что ы > О. При выполнении условий предложения ряд Фурье функции г будет равномерно и абсолютно сходиться, поскольку 7' ограниченная функция. Поэтому и--1 оо оо и — 1 с„= — ~ ~ехр( — гыть) ~ ~си ехр(ьдьхь) = — ~ ~со ~~ ехр(ь(р — о)хь). и и а=о и= ю а= — а=о Глава б, Численное инп>еграрвванве Отсюда, вычис.чяя внутреннюю сумму, получим Е =" Си -1- ~2~ Ева>п =- Си Ри. >= — хэ гло Поскольку 1 сь — Х~ ~(л)ехр( — Йх)лю, 22 (1)с)" / О (21) то 1 Х <„~ ~ ехр( -.>(и — ' »п)х) р = —, ( Х" (т) э с»т. 2я,/ ', (и+»и)" о >но Переходя к абсолютным величинам, получим 2а ЯХ 1 Х~с' ехр( — >»пх) ех- ехр(е»пю) ' и" 2я / ', (»' —, и>>ге)' (» — и/а)с, >=> Делая замену переменных пх = С и приводя интеграл к отрезку;О, 2х), получим 2а ЛХ 1 Х х ехр( — 1» и) „ехр(е»ев) п" 2;г / (»+ и>>п)" (» -- и)г>)" ' и если и~ < Оп, 0 < 1, то ~ри' < >РХС„(0)п"", где константа С„(0) опреде- лена формулой 2а С,(0) = шах 1 / х схР( — 1»т) ( 1)„ехР(г»х) л о<а<о 2х Х ~- (» — о)" (».- о)' о П Полы>уясь формулой (20).
можно проводить гармонический анализ функций, особенно когда функция задана таблично. Порядок убывания коэффициентов ряда Фурье зависит от гладкости функции, что видно из формулы (21). Поэтому различные априорные предположения о гладкости функции заданной таблицей можно проверить эмпирически, анализируя последовательность коэффициентов с„. Таким же способом можно определить порог шума в таблице и установить, соответствует ли ее об"ьем точности. Если по априорным предположениям Х(л) е "0'" (М), то коэффициенты си при И < 0п, где д отделено от единипы, должны себя вести регулярно. Если хаотическое поведение величин с, наступает раныпе, то тем самым и будет установлен шум и несоответствие точности таблицы ее длине.
Особенно такой подход дает четкук> картину в случае аналитических функций. з4, Составные коадратурныо формулы 5. Квадратуры Гаусса для периодического случая. По аналогии с алгебраическим порядком точности квадратурной формулы введем тригонометрический порядок точности. А именно, будем говорить, что квадратуриая формула имеет тригонометрический порядок то и~ости щ, если оиа точна на тригонометрических полиномах степени ш и уже не точна на полппомах степени ш + 1. Мы видели, что квадратурная формула., содержащая и узлов, имеет тригонометрический порядок точности не выше и —.1. Отметим., что формула (18') имеет максимальный тригонометрический порядок точности. При построении ква.чратурных формул для вычисления интегралов вила (22) ) (х)ш(х)Йх, о где ш(х) > Π—.
вес, возникает естественный вопрос о формулах максимального тригонометрического порядка точности. Построение таких формул можно произвести таким же способом, как и в случае гауссовских квадратурных формул. Рассмотрим квалратурную формулу ох п — 1 г'(х)ш(х)о(х ~~~ сьг"(хь) (23) о ь=о и предположим, что п = 2й четное число, а относительно веса ш(х) будем считать, что мера множества (х Е,'О, 2х): ш(х) > О) гюле>кительна. Пусть ра 1(х) = вшух+..., ргу(х) = созух+... (ф = О, 1...), где многоточием обозначены полнномы степени не выше ) — 1 ортогопальпые полиномы по мере г6т = ш(х)дх.
Ясно, что такие полиномы существуют, так как они получаются из обычной тригонометрической системы процессом ортогонализации Сонина — Шмидта. Если 3 С П произвольно, то полипом р(х) = сезуана, 1(х) + з!и усоо,(х) имеет 2ф простых нулей на!О, 2х). В самом деле, если ха кратный нуль р(х), то рг(х) = р(х)/(1— — сов(х — хо)) полипом степени ф — 1, и, значит, (р,рг) = О, где (, ) скалярное произведение в Лао, что неверно.
Егчи хо+ И комплексный нуль полинома р(х), то то — 1а также является нулем, и, значит, рг(х) = р(т) г(сов(х — хо) — ойдо) -- полипом степени 1 — 1. Поэтому (р, ра) = О, что неверно. Пусть О < хо < хг < ... ( хг ( 2к — простые нули полинома оо(х) = совб рао г(х) — вш ррао(х). По этим нулям построим интегнюляционный полипом (3.1.22), интерполирующий функцию 1(х).
Потребуем, чтобы формула (23) была формулой интерполяционного типа, и, взяв в качестве ее угьчов нули оо(х), определим весовые коэффициенты с помощью соотношений сь = ( ", ш(х)дх, й =О, 1, ..., и,. (24) о (х) 2 гв ((х — хь)гг2) о (хь) йоо Глава б, Чиелениее интегрнреетте Покажем, что тогда формула (23) точна на подпространстве 'Хз„м Действительно, если 1(х) Е 'Хг„ы то е(х) = ее(х)и(х) — , 'г(х), причем и й 'Хзе .
и г О 'Хяч яг и г(х) .=. С я1п(дх — о) — , '..., где многоточие обозначает полипом степени меньше ей а а константа, определеешая при построении формулы (3.1.22). Заметим, что ~(хь) = г(хь) (й = О, 1, ..., и — 1) и 2н эг 1(х)ш(х)е1х = г(' г(х)ш(х)е1х. о о Поскольку полипом г(х) представляется по формуле (3.1.22), то для ного формула (23) точна, а значит, точна и,чля полпнома 1(х). Заметим, что полином (яо(х) [2гйп[(х — хь) г2'я'(хь)] ) имеет степень н — 1. Для него формула (23) точна, и поэтому е(х) ш(х)дх = сь. Й = О, 1, ..., и., ~ 2 яш ~ (т, — хь) ~2] я' (хь) 1 и, следовательно, сь ) О. Из нашего построения вытекает, что один из узлов формулы (23) можно назначить произвольно, что было ясно с самого начала, поскольку число параметров этой формулы равно 2п, а йпгТэн г = '2п — 1. Случай, когда и нечетное число, мы не будем разбирать, а предоставим это сделать читателю.
Только заметим, что нужно ортогонализовать по мере дп = еи(х)йх систему соя(х,г2), яш(хгг2), ..., соя[(~-'- -';1гг2)х], яш [(1'т1/2)х,... и дальше повторить предыдущие рассуждения (более детально см. (142]). 6. Сингулярные интегралы. Скажем несколько слов о вычислении сингулярных интегралов (см, также [188, 189, 191, 193 — 195)).
Часто встречающиеся случаи это интегралы вида ян — —,г1С, (1+8) (1 — б)Д г1С. (25) к 2ой[(б — х)/2, '! б — х о — 1 Первый интеграл (см. э 1 гл. 3) интеграл Гильберта, и он равен )'(х). Если нам дана таблица функции г', то таблицу функции г"(х) можно построить, используя следующую квадратурную формулу. Пгиыкг.
Заменим подынтегральную функцию интерполяционным многочленом (3.1.18): 2н рн(х;. У) =,, ~,Ехь)о,.( ь), й=о йо1 З 4, Савтаавтьгмв кват)ратадрттьтв фврмтдтльт где ха = а —, йяйЕ(йп+ 1) (Й = О, 1, ..., 2п). Тогда получим следующую квадратурную формулу: — / гКР = — ~~~ Яха)В„(х — хт„-), (26) 1 Е Е(Р) 2 я / 2 Га [(~ — х)Ег2~ 2п о. 1 где Еуа(х) -- сопряженное ядро Дирихле, определенное в 31 гл. 3. П Оценим функционал погрешности да(Е) формулы (2б). Поскольку 'Хаатт С нега то б„(Е) = —, ' дс+ тг / 213,'(б — х) Е2] о 2 [Е(хь) 1 (хь) )О (х — хь) (27) 2п+1 и=о где г„(х) -- произвольный тригонометрический полипом степени не выше и.
В качестве Еь,(х) возьмем многочлен, который построен в задаче 12 3 1 гл. 3. В интеграле пределы интегрирования О, 2я можно заменить на х - - я, х+ я; сделав затем замену переменной б — х .=- тт, получим УЫ) — Е (О „1 /' 1(х+О) — 1 ( +О). я,/ йтб[(б — х)Я . / 21д(т1)2) 1 /' гЕО тг / = — г [Е(*+ ~) -са(и+О) — Е(* — О)+!а(. — п)1, 21д(д,т2) о В последнем интеграле область интегрирования разобьем на интервалы Ет = (ба О < О < и/и), Еа —.
(и/и < т1 < Я). В Ег имеем Е(х+ т~) — Еа(х+ тг) — Е(х — тт) + га(х — О) = / [Е'(х+ г,') — г'„(х+ г,') ,'аг(, о и в силу результата задачи 12 3 1 гл. 3 Е(х+ и) — 1„(х — , 'и) — Е(х — тт) + Еа(х — т1)' < А„ттРЕп кгт2тР 492 Глава б, Численное интегрирование. Поэтому 1 дт1 — /' ГУ(* - И) - ~а(* - ) - У(' - й) - ~и(' - й)] 2 18(ту,~2) < о еуа 1 Г < — / А„Ып '' т2т1 < 2А„тМте '. / ' 18(Ч(2) о Если снова воспользоваться задачей 12 Э1 гл. 3, то интеграл по Го оценивается следующим образом: — „ / (г( —: ц) — 1-( —, Ч) — У(т — 4-'2-( — ц)] .
< 2 сй(ф2) туи < — / А оМп ' < — А<оМн "!пи. и / " 18(т172) тт туи Суммируя полученные результаты, найдем, что Ы) — 1.Ы) . г д~ < 2 ( А.т + — Ато 1п и/Ми " тт 2 18 [(~ — т) /2] тг ~( и)/] о Сумма в формуле (27) оценивается элементарно: 2 2н- Х-~( "' а=о 2 < АеоМп ' ~~~, Ви(и — хь)] < А оМт~ "(С1пте+ Ст) 2ии-1 а=о в соответствии с задачей 3.3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
