Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Оценка качества. Мы вскользь коснулись вопроса об оценке остаточного члена гауссовских квадратурных формул, приведя неравенство (17). Дадим иную формулу для оценки остаточного члена. Рассмотрим эрмитовский интерполяционный мнет очлен р(х: ) ) с узлами в нулях и Е 1-го ортогонального многочлена р„(х), построенный по условиям Э2, Каадратурние форлгулм интерооллпионного типа 383 получим формулу Ьо(ф) = Ьа(г), где г -- правая часть формулы (27). Отсюда ь 6„(7) — 1 ', ( ' ) 1в(: ) 1 (.:).
/ (2гг)! Из соотношения (27) следует, что функция (1аог(('(х)) непрерывна на (а, Ь„так как она является частным двух гладких функций. Неопреде- ленность в нулях многочлена 1(х) легко устраняется с помощью правила Лопиталя. Поэтому по теореме о среднем ь (1г )у р ба(7') =- / 1 (т)да(т), 6 Е (а, 6). а Пусть ра(т) - - (п + 1)-й нормированный ортогональный многочлен и йа его старший коэффициент.
Тогда 1(и) = Й„р„(т), и, следовательно, ( г) и — ау (р) (2п)! (28) В частном случае классических ортогоначьных многочленов полученные ранее формулы позволяют вычислить коэффициент )га. Используя формулы (2.3.42), (2.3.4о), найдем )га и после подстановки в формулу (28) почу шм остаточный член квадратурной формулы с узлами в нулях многочленов Якоби: . Г(п+ т,г — 1)Г(п — —, 1)Г(п -~ 11+ Ц (йп + о + 11 — 1)Гг(2п + о + гу+ 1) (2п)! (29) Здесь предполагается, что (а, 6) =; — 1, Ц. В случае другого отрезка и меры дгт = (6 — т) (а —, т)рею, где а ) — 1 и Д ) — 1, правую часть равенства (29) надо помножить на ((Ь вЂ”.
а)/2)аа атд ' г. Хотя мы и получили очень красивые формулы для погрешности квадратуриой формулы, использование нх на практике, как правило, затруднительно, хотя бы по той простой причине, что интегрируемая функция может быть задана не аналитически, а таблично. Второе обстоятельство это то, что мы не знаем величину б в формуле (28), и это может повлиять существенно на величину погрешности. На классах аналитических функций можно ориентироваться на оценку (28), но для классов гладких функций мы ьюжем получить очень грубый результат, если в формуле (28) заменим 7~гнг(с) на шах~ (<анг(т) ~; последняя величина нам может быть известна, либо мы можем иметь представление о порядке ее величины.
Поэтому неравенство (17) может дать больны сведений об истинной величине погрешности квадратурцой формулы. В самом деле, предполагая, что отрезок интегрирования приведен к отрезку Глова б, Численное иннгегрнрование Хо = [ — 1, Ц, по теореме 10 З 1 гл. 3 при г < и имеем Е„(Х') < А„п "М„, где ЛՄ—. шах,ХЧ"г[и)!.
Отсюда, если Х' е И' "(ЛХ; Х), то — йяг<й Е~„(Х') < 1пХ (А„ЛХ„[2п) '), 1<~ <гн и, следовательно, д„(Х) < 2 / Асс(т) шЕ 1А„ЛХ„(2п) й:с<пан — 1 [30) й [Х) < 2 / Асс[я) 1пХ ХьА,М„[2п) [ 1<~ <нг — 1 [31) Формугьы [30), (31) дают правильное представление о величине остаточного члена квадратурной формулы. Однако для того, чтобы ими воспользоваться, нужна большая информация об интегрируемой функции, и гьчя ее получения требуется органйшация дополнительных вычислений. Если же мы хотим иметь эмпирическую оценку погреьпностйп то это можно сделать, опять-таки лишь организовав дополнительные вычисления того же интеграла, но с другим числом узлов нли даже с привлечением квадратурной формулйп иного типа.
Одним словом, подтверждается высказывание П.Лорана, сделанное более ста лет назад: «Эти формулы доставляют чис,ленное значение искомого интеграла с приближением, которое в общем зависит от терпения вычислителя». Это высказывание привел А. Н. Крылов в своих прекрасных лекциях [64[. Заканчивая этот параграф, подчеркнем, что гауссовские квадратурные формулы имеют два исключительно важных свойства, 1. Весовые коэффициенты этих формул положительны, и поэтому погрешность от приближенного значения функции в узлах пе превосходит величины ь сй й < йпвх)еу ~ ~ей = шах и ' / Йсг[х).
й=й й=й Если же коэффициенты квадратурной формулы имеют произвольные знаки, то суммы [ ~сй~ с ростом и могут быть неограниченными, как й=1 это мы видели на примере формулы Ньютона.-Котеса, и погрешность от Таким образом, автоматически происходит выбор оптимального порядка дифференцирования. Если же Х с И'"'[М; Х) и гп < 2п, то последняя формула примет вид 386 Глава о, Численное ингпегрировпа Если теперь в формуле 11) пологкить Х~с>(Х) = ЛХ вйп Хт,(Х), то тем самым мы найдем функцию Х' Е И" гЛ1:, Х), на которой в формуле (2) реализуется знак равенства. Поэтому (сьь [83)) ь нпр )Ь„~Х)! ЛХ / )Л„(Х)~сН.
С3) Хеи (ьг; П а 2. тХастные случаи. Приведем несколько оценок остаточного члена простейших квалратурных формул. Считая, что ебг(и) =- е)х, имеем 16 — Х)' т- (иа — г)1 ~ Кс(2) =, — гэ сь э=1 1. Формула прямоугольников: / Х1и)еХи - (Ь вЂ” а)Х( ' ). Она точна на многочленах первой степени. Положим В рассматриваемом случае ,= /.~ ) — 16 — )( + — ь) (Хь, и поэтому (а МУ2 ь (6 — Х) го+6 т 1 Х С2= / — (6 — и) ( — 1) гХХ+ — Х1 (6 — 1)2гН. 2 2 ~ 2 а 1а-еЬ),'2 Вычисляя эти интегралы, получим са = (Ь вЂ” а)зХ'24, и, таким образом, погрешность формулы прямоугольников на классе Игг (ЛХ; У) равна ((6— .
— а)'Х24) ЛХ. 2. Формула трапеций: она точна на ълногочленах первой степени, и поэтому Х (6 — 1)2 6 — а г с2 =. Хе — '(а — Х)т -16 — Х)э1 сьь —-- 2 2 ь (6 — Х)(Х -- и) (Ь вЂ” п)з 2 12 а 5 3, Оценка ногрсгипости кеадратурной формулы на классе И' (ЛХ; 1) 387 и, следовательно, погрешность формулы трапеций на классе И'~ (ЛХ; 1) равна ((Ь вЂ” а)з1'12) ЛХ. 3. Формула Симпсона: она точна на многочленах третьей степени, и поэтому с4 = — / ,'(Ь вЂ” 1) -- — (Ь вЂ” о) ((а —. Ь) 1 1 . 2 4!/: З а + 4( — Х) + (Ь вЂ” 1)з ] ;'М, откуда а — Ь с = —, / (Ь вЂ” а)4 — — (Ь вЂ” а) ~4~ — 1)' + (Ь х)з ~ л4 а Несложно убедиться, что выражение, стоящее под знаком модуля, неположительно.
Поэтому, выполнив квадратуру, мы получим, что с4 .—.- (Ь вЂ” а)ь12880, и, следовательно, погрешность формулы Симпсона на классе У" (М: 1) равна ((Ь вЂ” и)'"1'2880)ЛХ. 3 а д а ч а 1. Покажите, что погрешность формулы Ньютона-Котеса ври пяти узлах на классе Иг (ЛХ, 1) равна, .', оЛХ. Заивчкнив. Коэффициенты этой квадратурной формулы указаны в и. 1 Ь' 2.
4. Для гауссовской квадратурной формулы можно получить грубую оценку погрепшости, используя для этого соотношение (2), которое будет иметь место при г < 2и. Поскольку весовые коэффициенты сь ) О, то !К„(1)' < / + ЬЬт(х) + ~~ сь 1 (х — Ь).~. ~ (хь — Ь)с, а с=1 Интегрируя это неравенство по Ь,получим неравенство Ь Ь Ь Х)г — 1 /Х)Хтг(Х)~г11 < /ХЙа(х)г/ + ьп+~сь а а а ь=1 причем в интеграле мы поменяли местами порядок интегрирования. Так как г < 2п., то, используя точность формулы Гаусса на Рг„, получим (хь — а)' 1 (х — а)' сь = / ЬЬт(х), / т) а 388 Глава б, Численное ин/пегрнровппие и, следовательно, 6 ь ~~К„(г)~Ф < 2 ~, Х.(х) а а Поэтому б„(Х')! < 2ЛХ у и/о(х).
Х (х — и)" а Ьоль(пой недостаток этой формулы состоит в том, что правая часть не зависит от и. 3. Оценка на классе И/г. Мы рассматривали оценки погрешно- Р сти на классе И ' (ЛХ( Х). Однако могут встретиться такие случаи, когда необходимо иметь оценку на классе 11/„"(3Х( Х) (1 < р < оо). Применяя неравенство Гельдера к интегралу (1), получим ,бн(Д): « .'Х("~~ ~К„( где (/ = рс/(р — 1) сопряженный показатель. Точно гак же, как и выше, легко доказать, что впр ~дн(,Х) = 31 Хс„(д. Х Е Иг,'; 161( 1 ) Если Йг(х) = /1х, то 6 , (/р .,р (/„(// е „(ь,)""/ (/(/г)(*)('г*), а) Хеи;;(ь/,11 где = 2 ' / (/ К'„(~(~ /1) „.(,) (1-1)" с-'-,, Ы~- )", ' ь=> В последней формуле ьеь -- узлы, сь — весовые коэффициенты подобной квэдратурной формулы на отрезке ~ — 1, Ц.
Иной тпп оценок функционала погрешности получается на основании неравенств (2.3), (2.17) и оценки наилучших приближений с помощьк/ теоремы 16 Э 1 гл. 3. 64, Состаопыс хааг1ратуриые формул1з 3 ад ач а 2. Пусть Ь (1) функционал погрешности квадратурной формулы одного из следую1цих типов: прямоугольников, трапецни, Симпсона, Покажите, что Ь а (1) ( ) 1а(г) 3 (1) ( ) 1" ( ) Ь.(1) =--" ' 1""(О 2880 соответственно для каждой из этих формул; здесь 8 — некоторое зисзо из интервала (а, Ь), естественно, разное для разных формул. Есзи д„(1) — функпионап погрешности формулы Ньютона — Катета при пяти узлах, то (Ь вЂ” а) 1Ю 1 935 360 8 4. Составные квадратурные форъчулы; интегрирование периодических функций.
Сингулярные интегралы 6-- а Ю вЂ” 1 У(х)1(х ~. ~ У(хь ' 1/2); а=о а где через х1,.т11з обозначена полусумма величин х1,- п хь,1. Так как погрешность формулы прямоугольников на классе 11'~ (Ы; 1) равна (6 — о)зй1,~24, функционал погрешности будет оцениваться следующим образом: зы — 1 1=О "«'"-' откуда ,'6(1)! <,, япр 1а(х)!. )з а<а<о (2) 1. Формулы для отрезка. Обычно в квадратурцых формулах не берут большое число узлов для получения высокой точности. С этой целью используют прием, идея которого восходит к рнмановским интегральным суммам: интервал интегрирования разбивают на некоторое количество более мелких интервалов и на каждом из малых интервалов используют ту либо иную квадрату рную формулу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
