Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Вопреки традиции мы не будем предполагать, что, вообще говоря, длины малых интервалов могут быть различны., что и наблюдается при вычислениях на ЭВМ. Приведем примеры подобных конструкций. Ркзобьем отрезок (а, д) па 1"з' частей узлами х1, .=- а — ' (6-- а)И1 М (й = О, 1, 2, ..., 1з'). Применим На ОТРЕЗКЕ (Ху, Хаьз ФОРМУЛУ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ; тОГДа ПОЛУЧИМ 800 Глооо б, Численное иитоегрировеогие Если подобные вычисления проделать для формулы трапеций, мы получим известную классическую квадратурную формулу трапеций ь Ь вЂ” а, 1 1 Е(') *=,, ~;Е(")- К;Е(-ь)--,,Е(.')~, о=ь о погрешность которой в силу того, что погрешность формулы трапеций на классе И'г. (ЛХ; 1) равна (6 — а)зЛЕЕ12, удовлетворяет неравенству [Ь(У)[ < 'г впр Х (и) (Ь вЂ” а) 12№ кгць (4) В случае формулы Симпсона не вводят узлы кать аг а делят отрезок [а, 6) на 2Лг частей и применяют элементарную формулу Симпсояа к отрезкале [иге, иго,.г) (1е = О, 1, 2,..., гЛ' — 1).
Таким образом придем к формуле У( )е1 =,, Е( )+41(" )- -е21(аи) -~4Е(из) — ' . — 4Е(и и — г) ! У(т и)], (5) Поскольку погрешность формулы Симпсона па классе И е (М; 1) равяа (6 — а) ьЛХ,12880, то погрешность формулы (б) удовлетворяет неравенству 2280Л ~ „<е<ь (6) Аналогично можно построить составные формулы на основе других фор- мул Ньнгтона — Котеса для малых и или иа основе формул гауссовского типа. Так, если на каждом отрезке [тьн тьог, применить формулу Гаусса дчя веса е(а(т) = дх, построенную по и, узлам, то получим формулу ь Ь вЂ”. а Е(т)г(т — ~ сь Яь), а ь=г (7) (Ь )псе 'Ьио(1)[ < 2, Х ' япр [Е~" (и),', (г+ 1) ' «,ь Хп где сь > О.
2,' сь = Х. В самом леле, мы построим формулу Гаугса наоть=з резке [О, Ц, а затем воспользуемся подобной квалратурной форгяулой на отрезке [хы иьтг:ь Множитель (6 — а)Е'Х появляется за счет перехода от отрезка [О, Ц к отрезку длины (6--а) Х ~. Остаточный член формулы (7) оценивается на основании неравенства (3.4), и если 1 ~ И" (ЛЕ; Е), то Глава б, Численное интегрирование Отсюда следует неучучшаемость оценки (4), сколь бы ни была гладкой функция 1'. Главный член погрешности, если 7' е И'4 (ЛХ; 1), запишется в виде 5„(,1) -- — — „5э [1'(1) — 7'(0)' — О(5'). Поэтому алгоритмы численного интегрирования, основанные яа формуле трапеций, алгоритмы с насыщением.
Классом насыщения в данном случае является класс И' Совершенно ясно, что подобные формулы для функционала погрешности можно вывести и для других квадратурпых формул составного типа, таких, как (1), (5), (7). Функционал погрешности этих квадратурных формул будет иметь главный член или даже асимптотическое разложение, если подынтегральная функция гладкая. В этом недостаток этих квадратурных формул. Классами насыщения формул (1), (5), (7) булут соответственно классы И'~~, И'г, И'~". 3 а д а ч а 1. Используя формулу (3.1), выведите главшяй член функционала погрешности квадратурных формул (1), (5), (7), Имеются практические способы преодоления дефекта составных квадратурных формул их насыщаемости. Все они основаны на простом соображении, что у соответствующей линейной комбинации двух квадратурных формул с различными, но кратными шагамв, главный член погрешности исключается.
Например, для формулы трапеций в силу (12) б„(7') — 4ояа(1') = 0(йе), и мы получаем повышение порядка точности, если возьмем линейную комбинацию формул (10), записанных для числа узлов и и 2п, соответственно с коэффициентами 1 и — 4. Используя (12), можно постараться уничтожить и следующие члены асимптотических разложений. Однако вся эта деятельность похожа на то, когда трудности сначала создаются, а затем преодолеваются. По мнению автора, лучше сразу пользоваться квадратурными формулами, приводящими к ненасыщаемым ъчгорптмвм, либо формулами высокого порядка точности, такими, как составные формулы, основанные нв гауссовских квадратурах.
Формулы последнего типа хорошо работают как на функциях невысокой гладкости, так и на очень гладких функциях, если число узлов гауссовской формулы достаточно велико. Имеется еще один прием борьбы с насыщаемостью, и состоит он в том, что члены т — 1 — "" й" У'~(1) -,(( ~(0)~ (и -~ 1)! в формуле (10) присоединяют к квадратурной формуле. Для удобства вычислений производные (50(0) и 7П~1(1) заменяют прогвводными интерполяционных многочленов некоторой степени р, построеяными по узлам шл (1 = О, 1, ..., р) и ш„р, ..., ш„, где ш, = у'6, Не приводя всех 64, Составпые коадратуршые формулы промежуточных преобразований, получим из формулы (10) квадратур- ную формулу Грегори -Лапласа 1 п о Г(х)е(х = 6~ У(1Ь) — 6~ уь(17ау(1) — ( — 1)~Ь~((0)), (13) 1=О а=1 где 1 хгт1 ( 1)~-1 о (14) Вот несколько первых констант уу,. ",~1 = — 1/12, уз = — 1У24, "уэ .= — 19У720 "уг =- — 3/160 'ув — -' — 836,У60480.
Напомним, что операторы ь1 и ч введены в и. 1 34 гл. 3 (см. также (199 †2). 3 а д а ч и. 2. Докажите, что алгебраический порядок точности квадратурвой формулы Грегори (13) равен р 1. 3. Пусть и. нечетно я р = и — 1 либо и четно и р =- п„Докажите, что тогда квадратурная формула Грегори совпадает с формулой Ньютона — Котеса с узлами х, = рб Ц = О, 1, ..., п). 4.
Запишем формулу (13) в виде 1 и ф(х)дх 11 '~ с,(р))(!Уз). о 1=О Докажите, что для достаточно болыпнх р 1 Зп(р т 1)(р+ 2) Пусть Р С ть~ и 1(х) — индикатор этой области, т.е. 1(х) = 1, если х б Р, и 1(х) = О, если х Х Р. Кубатурной формуле и и у(х)дх ~~1 сьу(хь), и:.1 где хь Е Р (й — — 1. 2, ..., п), можно сопоставить обобщенную функцию е„(х) = у(х) — ~ сьд(х — хь), Ь=! би(1') = (е„, ф) = г( е (х)у"(х)дх. о где б(х) - функция, рассматриваемая на каком-либо пространстве основных функций. Функционал погрешности квадратурной формулы запишется в виде Глава б, Численное интегрироотте Пусть 17 =..
(а, Ь1 и рассматриваемая квадратурная формула имеет алэебраээческий иорядок точности т. '1огда ен — функционал на пространстве 5г'[и, Ь) (опредеченне этого пространства см. в (100)). Поскольку Вг'(а, Ь) гильбертово пространство, то по теореме Рисса найдется такой эле- МЕНТ и б Ьгн и, Ь), ЧтО (Еа, 1) = (Оат", ГЭ"'и). б. В случае формулы!'регори пре и = и — 1 докажите, что О" и = ин, где и - - кусочно полиномиальная функиия. Вычигиите норму с„, полагая (о ( =вор ((е, х)( т:ИьГ ' сов = / (оь(х у(гг(х), й = О, 1, ..., и, — 1,,1' = 1, 2, ..., ш, (15) а где (т(х) фундаментальные многочлены эрмитовой интерполяции, мы получим квадратурную формулу с кратными узлами Ь и и,— Э тг(х)йг(х) ~~' ~~' голою (хэ).
э-л ь=о (16) Алгебраический порядок точности данной формулы, очевидно, не меньше и — 1 = 2 и — 1. Конечно, чтобы формула (16) могла быть нсточником практических алгоритмов численного интегрирования, необходимо, чтобы весовые коэффициенты удовлетворяли неравенству с ь > О. В противном случае, как видно на примере формулы Ньютона — Котенг н — 1 са, величина 2 2 с ь~ может оказаться значительной, что является о=г ь=о большим дефектом. Не составляет особого труда получить оценку погрешности формулы (16) с помощью приема, использованного в п. 1 3 3.
Мы сейчас не будем останавливаться на этих вопросах, а рассмотрим практические аспекты работы с форъэулойэ (16), .относительно которой мы угке не будем считать, что ее коэффициенты определяются по формуле (15). Допустим, что погрешность,этой формулы на классе 1т'" (1; 1) равна в главном члене С,т ", где С„константа, зависящая только от г. Егчи мы хотим вычислить интеграл (16) с точностью е, то 3. Анализ погрешности вычислений. Остановимся еще на одном классе квадратурных формул, в которых для вычисления интеграла используются не только значения функции в узлах, но и значения производных.
Пример такой формулы формула, Эйлера. Ясно, что источником формул этого типа служит интерполяционная формула Эрмита (3.3.28). Положив 395 З 4, Соегааонаае коадрагоурные формулы Ь значение подынтегральной функции нужно иметь с точностью е / аее(х). а и — 1 1=1 1=1 (17) Эта величина не должна превосходить =-/2. Если нз зтого требования получатся слишком малые значения о1, намного меньшие е, то квадратурная формула (16) будет непригодна для практического применения, поскольку значение 1о предопределено выбором е, и мы получим для суммы (17) значения, значительно превосходящие остаточный член би(З').
В лнтерагуре имеется много формул чишюнного интегрирования, оптимальных на тех либо иных классах. Мы должны предостеречь читателя, что пользоваться зтими формулаьии можно лишь после анализа величины (17). Все эти оптимальные формулы не сопровождаются анализом той ситуации, которая нш1учается, ег 1и значения функции и ее производных берутся не точно, а с определенной погрешностью. Может так получиться, что величина (17) д.1я данной формулы будет намного превосходить ее теоретическую погрешность.
Требовать, чтобы вычисления цри решении такой корректной задачи, как задача интегрирования, делались с числами. разрядность которых намного превосходит необходимый предел лля данной точности, зто и крайне расточительно, Ь Для простоты расчетов ншюжим / атее(х) = 1. Погрешность вычисаеа ния интеграла будет состоять из трех частей: погрешности квадратурной формулы о(1); погрешности, нолучаемой от того, чго при вычислении суммы (16) мы будем брать значения нодынтеграаьной функции и ее производных не абсолютно точно, а приближенно; погрешности, возникающей из-за того, что вычисления суммы (16) будут производиться с округленными числами в системе чисел данной ЭВМ и возникнет накопление погрешности, а вычнсленное значение суммы будет отличаться от округленного на величину (1.2.10). Мы рассмотрим первые две составляющие погрепшости.
Погрешность б(1) может быть учтена за счет выбора 1п, для чего нужно взять мияимальное ш, для которого Сит ' ( е/2. Поскольку Ь с,о .—. / Йт(т) =.- 1, то ясно, что значение подынтегральной функции 1=1 а в узлах нужно брать с погрешностью о1 С е. Между т и а1 существует естественная связь для функций класса И~", как это л1ы видели в гл. 4, и а1 = еп' ', и отклонение от етого соотношения в сторону уменыпения ы будет свидетельствовать о дефекте исследуемой формулы.
Как вытекает из З2 гл. 5, если мы знаем функцию в узлах с точностью ы, то о-ю производную мы будем знать с точностью А„„ы' а1', гче А„некоторая константа, зависящая от г, о. Поэтому погрешность в сумме (16) от неточного значения функции и ее производных составит величину Глава б, Чиаланнаа инагагрнраааниа и опять-таки превращает алгоритм в неоптимальный. Оптимальные методы -- методы с насыщением., а поскольку при решении практических задач мы, как правило, находимся в положении, когда имеется неполная информация о функции, то разумнее и экономнее пользоваться алгоритмами без насыщения, погрешность которых автоматически учитывает свойства гладкости функции.
И последнее замечание. С какой точностью нужно знать узлы и весовые коэффициенты квадратурной формулы? Совершенно ясно, что если узел задан с погрешностькь то приближенное значение интеграла изменится на величину этой погрешности, умноженной на производную подынтегрвльной функции и вес в этом узле. Если используется квалратурная формула, дающая малую погрешность на классах гладких функций, но естественно пригодная и для вычисления интегралов от функций малой гладкости, то узлы нужно вычислять с максимальной точностью, позволяемой разрядной сеткой ЭВМ. Ясно, что при использовании арифметики многократной точности должны уточняться и узлы.
Вопрос о погрешности в весовых коэффициентах очевиден. Пл)г1т = —,'г, Пть), о и (18) где яь = о + 2хЛ/п, причем о -- произвольное вещественное число. По- скольку Д(та) = ~(л„), то формуле (18) можно припать вид за 2г и — 1 ) (я)дх - — у Д(ть). а а=а (18') Но эту формулу можно трактовать и как формулу прямоугольников. Заметим, что эта формула точна на пространстве тригонометрических полиномов Таа и В самом деле, если и — целое число, 1(т) = ехр1мат), то правая часть формулы (18') будет равна 2аг, 2кй 2я /си — ехр(г'(о+ )и~ = — ехр1Ыи) ~~~ ехр(2.г1 — ) = ь=а ь=а 2.т ехр) 2 тьм) — 1 = — ехр11о ) =О, и ехр12тги )и) — 1 4. Формула трапеций для периодического случая. Обратимся к вопросу об интегрировании периодических функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
