Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Кроме того, мы можем по найденным значениям делать грубый прогноз, а затем уже каким-то образом у.точнять найденное значение. Наличие этой новой возьюжности, а именно, многократное использование ранее вычисленных зяачений искомой функции, приводит к возникновению новых эффектов, которые мы до снх пор пе наблюдали. Здесь мы впервые сталкиваемся с вопросами устойчивости коцечномерных аппроксимаций определенных классов операторов. В этой главе мы кратко расслютрим несколько простейших методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые принадлежат к двум наиболее важным классам .
- одношш оным методам Рунге — Кутга и линейным многошаговым разностным методам. Читателям, желающим более подробно ознакомиться с современными методами и компьютерными программами для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, можно рекомендовать книги [204 — 206] и статью ]207].
й 1. Методы Эйлера и Рунге — Кутта 1. Метод Эйлера. Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого по1зялка йуД2а = 1(т., у)., (1) где функция 1 определена ца некоторой области !) '" Нв и 1: Π— Н. Так называется задача об определении фу.нкции у(л), удовлетворяющей З 1. Мвтодм Эвксра о Рунге — Кутта уравнению (1) н начальному условию у~..„= уо (2) Х1 у(т1) — у(яо) .=- / ) (х, у(т))йл. ХО Пользуясь какой-либо квадрагурной формулой дчя вычисления интеграла, получим различные формулы численного решения дифференциального уравнения (1).
Простейшая квадратурная формула это формула прямоугольников, но значение функции )(ал у(т)) в точке хм я (хо +я1)/2 нам неизвестно. Поэтому воспользуемся квадратурной Решение отыскивается на некотором интервале [а, Ь) (а =- ло). Естественно, что мы будем предполагать, что решение существует и единственно.
Хотя вначале мы ограничимся случаем одного уравнения первого порядка, формально общий случай систем дифференциальных уравнений первого порядка и уравнений ш-го порядка укладывается в приводимые пнже схемы численного решения. В случае системы функция т' определена на области В с К х К~ и у: П вЂ” К дпя ураВНЕНИя ПМГО ПОрядКа у~~о =- Г(Х, у, ..., уг" В); ПРО- стая замена переменных у = вы Ну/с1л = гш ..., убв П = в„, приводит к системе оя/Их =- С(л, я), где я = (гы.,., „,)', С ! = (ьь ., г~, Г(х, вм ..., -,„1)) и штрих означает транспонирование.
Естественно, что в случае систем граничное условие (2) нужно понимать как равенство векторов из К™. В изла|аемой ниже теории предполагается, что функция ( имеет ту гладкость, которая требуется по смыслу проводимых выкладок. Какие-либо особенности функции ~ не допускаются, но возможны случаи, когда производная (о(я, у) велика; в многомерном случае Ял, у) -- матрица т х т, и в ряде практически важных случаев собственные значения этой матрицы могут иметь большой разброс, т.е. Л,„~Л ы м е где а мало (прн этом предполагается, что Л ы — 1).
Это так называемые :лсесгикпс системы; многие уравнения химической кинетики принадлежат к типу жестких систем. Метод Эйлера исторически был первым методом численного решения задачи (1), (2), и впоследствии он был использован О. Коши для доказательства существования ршпения этой задачи. Как метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений он почти не применяется, однако идея этого метода и особенно метода с итерационным уточнением широко используется в современном численном анализе для решения нелинейных эволюционных задач, На интервале 'а, Ь) введем узлы а =. = то < т1 « ...
ав < Ь, и будем отыскивать приближенное значение решения в узлах. Многие методы основаны на тождестве Глана 7. Числевноо рошонио оодачо Коши формулой э1 ((*., у(и))гйт = Дто уо)(т1 — хо) + б1 ХО причем б| погрешность квадратурной формулы: бо = — з"(т, у(и)) (т1 — ио) и (б) где и,' -- некоторая точка отрезка (ио, иб.
Последняя формула получа- ется последовательным применением теоремы о конечном приращении к подынтегральной функции и теоремы о среднем к интегралу. Таким образом, у(и1) — у(то) = Ь1У(ио уо)+ бы (б) где Ь1 = и1 —. ио. Отбрасывая б1 и обозначая приблинсенное значение решения через и получим 1 -- уо = Ьч 7(то, уо). Ясно, что точка (тм о), вообще говоря, не лежит на искомой интегральной кривой, а лежит па касательной к ной, восстановленяой в точке (ио, уо).
Применяя последовательно послелшо|о формулу, получим набор приближенных значений ш ° » зл. — о = Ьь~(хь.ы ьь г) Ь = 2, 3, ..., и, (7) где Ьь = иь — иь и Для единообразия удобно обозначить уо через о, н тогда формула (7) будет справедлива при й = 1. Наши вычисления имеют простой геометрический смысл. На первом шаге проводим касательную к интегральной кривой в точке (то, уо) и продвигаемся по ней до точки с абсциссой т1, затем в точке (тм г1) проводим касательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку, и продвигаемся по ней до точки с абсциссой хв и продолжаем этот процесс, пока не достигнем точки (х„, х„). Ясно, что в результате мы получим ломаную, каждое звено которой касается соответствующей иптогралыюй кривой.
Эта ломаная называется ломовой Эйлера. Если равенства (7) сложить и добавить равенство при Ь = 1, то получим Л о„— хо = ~ ЬьУ(иь-.ы ьь — 1') Гь 1 (8) Если з"(т, у) =" з'(и), то последняя сумма будет римановской интегральной суммой для функции У(:г). Поведение сумм (8) при увеличении числа узлов и стремлении максимального шага к нулю исследовал О. Коши и доказал их сходимость в определенных предположениях о гладкости функции 7(т, у). Это было первое сравнительно строгое доказательство существования решения задачи Коши.
При наиболее общих условиях поведение ломаных Эйлера рассмотрел Дж. Пеано и доказал, что для непрерывной функции 7"(т, у) множество ломаных образует в С',то, Ь) З 1. Мгтодьс Эйлера и Рунгс — Кутта компактное семейство, когда число звеньев их неограниченно растет, а длина максимального звена стремится к нулю. Выделив сходяпсуюся подпоследовательность, Дж. Пеано доказал, что если функция Дх, у) попрерывна в замкнутой области Вй то через каждую внутреннюю точку этой области проходит хотя бы одна интегральная кривая уравнения (1).
Оценим погрешность метода Эйлера в предположении, что функция 1(х, у) непрерывно дифференцируема в прямоугольнике 1 — (х, у: хе < х < Ь, — йс < у < Х), причем, чтобы избежать несусцествепных деталей, связанных с вопросом о том, находится ли ломаная Эйлера внутри 1., мы будем считать, что Ж достаточно велико. Записпем формулу (6) для произватьного отрезка [хь и хь) и тогда получиъс у(хь) —. у(ха-с) = ЬьЯхь-и уь с) .' ды (9) где уь с = у(хь с). Остаточный член да определяется по формуле аналогичной формуле (5).
Вычитая из (9) формулу (7) и обозначая уь — вв = с-сг (/с = О, 1, ..., и), получим ссг — ьса-ч = Ьв[1(хь-и уь-с) — 1(хв-с гю с)~+бы й = 1, 2, ..., и. По формуле Ньютона-.Лейбница (см. п. 12 З1 гл. 2) У(хг — ы уа — с) --!: (хю с, ь — с) = / Цхь.л, гв с ч-1дса.. с)зь.с с1й откуда [1(хь ..„ув с) — 1(хь и на..с)~ < с11ь.д(Ль.
с(, где 11ь з = епр,,:1„(хь и -а с —,111ь,) . Поэтому се."е. 1] [сань[< (1 ' Ь 51ь — с)'сань-с[-' 'дь!, /с.—... 1, 2....., и. (10) Предложение 1. Пусть величины ше, ..., ы„удоолетворлюси неравегсствам О < сов < Льсоь з -,. Вг (й .— - 1, 2,..., и). Тогда ыг <ыеЦАс — ~~',Вс Ц А~., й = 1, 2, ..., и. с=с з=с-н Доказлгнльстно. Проведем его индукцией по 1.
Неравенство (11) имеет место при й = 1. Докажем, что из его справедливости для шв Глава 7. Чиолоииоо рмаоиио задачи Коши й П А,+Вй,.= 1=!е! П Применим к неравенствам (10) предложение 1 и воспользуемся известным неравенством 1+ х < ео ( — оо < х < со). После очевидных преобразований получим более грубое неравенство ,аа~ ° Р(ЕМ,Ь)(>аО~Еа>), ш — ь,1..., . 1=1 1=1 Будем считать, что шаги Ь хотя и не постоянны, но удовлетворяют соотношению Сп ' < Ь,/Ь < С, где Ь -- некоторый средний шаг. Из формулы для остаточного члена имеем /Ьй! < — Ь1, !пах з„(х, р(х)) -')и(х, д(х))у'(х)!, а если воспользоваться уравнением (1), то получим ~дй, < 11~~!Уй!!2, где Хй = шак ( (х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
