Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Разноетные методы решышл задачи Коши г и ~ 'аз1Л„„з — ЬА "У бзЬ„.„, =О, з.:.о з.:о (5а') где Ьд в, ..., Ьо заданы. Поскольку мы разбираем самый общий случай, то гЛ„--. элемент некоторого банахова пространства. Эта разностная задача решается так же, как и в том случае, когда А —. вещественное число. Положив гза —.— Л" гз, полУчим УРавнеаие ~а Лг "'1 —. 1гЬзЛ""А)Ь = О, ггй 1 единичный оператор, Таким образом, параметр Л будет найден из условия г г — 1 г г,г (г ь,г ) Р з=о з=о где оресА — спектр оператора А.
Если оператор ограничен, то и его спектр ограничен, и в силу малости 6 получим, что возможные значения в Л й зресА будут близки к корням многочлена 2 о,Лв '. называемое=о го характеристическим. Поэтому для устойчивости нелинейной задачи нужно потребовать, чтобы корни характеристического многочлена лежали внутри единичного круга и те из корней, модуль которых равен 1, должны быть простыми. Сказанное является простой и типичной задачей устойчивости Ляпунова,когда об устойчивости или неустойчивости нелинейного потока или каскада судят по спектру линеаризированного оператора. В нашем случао было бы сравнительно просто вывести неустойчивость нелинейной задачи из того факта, что характеристический многочлен имеет корни, модуль которых больше 1, либо нарушается условие простоты корней, для которых ~Л = 1.
Л1ы зту теорему доказывать не будем из-за недостатка места, а отметим другой важный факт. Теорема 1. Если корни характерисгпического многочлена лезгсагп е круге 1Л; Л, ,:< 1) и на окррзгсноспги 1Л; /Л = 1) легл кратных корней, переменной х так, чтобы решения юменялись мало., а шаг был настолько мелким, чтобы на этом малом отрезке укладывалось большое число шагов. Поэтому операторы А„будут изменяться мало, н мы примем, что А„= А. Это нестрогое эвристическое рассуждение лежит в основе принципа лииеаризации и принципа замороженных коэффициентов, когда исследование устойчивости нелинейной задачи подменяется устойчивостью линеаризированной задачи с постоянными коэффипиентами.
Об устойчивости либо неустойчивости нелинейной задачи судят по спектру линеа1зизировапной задачи. В данном случае линеаризированпая однородная задача имеет вид 436 Глава 7. Ч»слв»нов рсшвнис задачи Ка>а» и, нормы, операторов )и(х, у) ограни >енин;Ях, у)', < с ((х, у) Е Т>), тв разяостнал задача Кви>и устойчиви Доказательство этой теоремы мы опустим.
Оно по сложности такое же, как и доказательства, приводенные в з 1. Таким образом, в случае ограниченности операторов г> (х, у) принцип лннеаризации и замороженных коэффициентов получил полное обоснование. Это произошло из-за того, что в действительности мы имеем дело с тривиальной ситуацией: уравнения (5') являются малыми возмущениями линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Вот, когда операторы >а(х, у) неограниченны, тогда эти принципы справедпивы не всегда и вся ситуация крайне осложняется. К линеаризации системы (5') мы естественно приходим в задаче об эволк>ции единичной погропшости, возникпюй в ре>ультате округления либо по какой-то иной причине. Тогда Ьа = х„' — -„, где х„' возмущенное решение разностной задачи Коши, са точное решение. Естественное требование ограниченности величин ' Ь,, '(а †... 1, 2,...) влечет условие, чтобы уравнение (5в') не имело растущих решений, что приводит к сформулированному условию на корни характеристического многочлена.
3 ад а ч и. 1. Докажите теорему 1. 2. Покажите, что если нарушается условие о корнях характеристического многочлена, то задача Коши неустойчива. В заключение отметим, что условие (11') на величину шага в общем с >учао уравнений в банаховых пространствах запишется в виде (1 1в) МЬ,(х, у) « 1, ( , у) й 7д.
3. Этапы прогноза и коррекции. Поскольку разностная формула, дающая хороший остаточный член, может оказаться неустойчивой, использовать такук> формулу без дальнейп>сй корректировки нельзя. Поэтому и возникают два этапа в счете шага: этап прогноза и этап коррекции, чтобы в итоге получить устойчивьш счет.
Но истинная причина организации этих двух этапов состоит в том., что, имея два приближенных значения решения, можно организовать анализ погрешности и ввести гибкий механизм изменения шага, если это требуется по соображениям точности. Тем самым используется обратная связь, имеющаяся в формулах типа (5). Покажем, что самые простые и естественные разностпые схемы бывают неустой >иными. Пгймкг. Простейший пример разностное уравнение l хаь> — ьа — > = Эйха (12) для решения задачи Коши у — У(х у): у~ - ув 437 З2. Рооиоетиьт методы решм1ил задачи Коши точное решение которой обозначим через у(х). Ясно, что х„за уи-1 — у -1= / У(х, у)г!х=211Яхо, уо)-'-би, (13) о„— ь где бо — остаточный член формулы прямоугольников: 6з дз б„= — )'(~, у(х)) ~ Полагая 1з„= у„— -„, из соотношений (12), (13) получаем 1з„1 — Ь„1 — "- 26()'(х, у„) — Д(х„, -„)) + би, откуда Ет„о 1 — Л„1 =- 26А„Ли + би, (14) 1 ГДЕ Аи = 1 (О(Хи Зи, Г1ао)Е11 ° ПОСКОЛЬКУ ОЕ ! (Хо и + 11ао) = )у (Хо ° Яи + е -т- ее1и)охи.
Затем к уравнению (14) применим принцип замороженных 1 козффиЦиентов и, положив А = ) Зи(х„, и„+11зо)Ф„полУчиы Разностное е уравнение бго.~1 — 246бг — 11и 1 = б„. (15) ЧтОбЫ Найтн РЕШЕНИЕ ЭТОГО ураВНЕНИя, НайдЕМ КОРНИ Л1, Ло ураннения ЛЯ вЂ” 2АЬЛ вЂ” 1 = О, с штая величину А скалярам. Ясно, что 1„= .,Л", + стЛт, причем слагаемое сяЛ~' = сз( — 1)" ехр(п!и ,'Л !) будет расти, принимая поочередно значения разных знаков. Поскольку ,'Ля~ = 1+~А~6+0(Ат6т), то ехр(п!и Лз/) —..
ехр(А!п6+0(пА~!1Я)) < ехр(/А$(Ь вЂ” а) 0(А~(Ь вЂ” а)6)), и, следовательно, на константы )А' и Ь вЂ” а накладываются жесткие условия ограниченности. Колебания решения с возрастающей амплитудой, Если А > О, то )Л1' > 1, ',Лз( < 1; выше мы уже обсуждали такую ситуацию и нашли ее неопасной. Если же А < О, то ~Л1 < 1„Ля~ > 1, Лз отрицательно. Поскольку в данном случае корни характеристического многочлена удовлетворяют теореме 1.
то в принципе такая ситуация теоретичоски не опасна — сходимость будет. Однако решение однородного уравнения (15) будет иметь вид 438 Гласа 7. Числсииос ршпсиис подачи Коши вызываемые слагаемым сзЛ", на жаргоне, бытуюнгелг среди вычислителей. называются истно-нечетной болгпонкой. Она в достаточной степени неприятна, особенно на фоне, когда решения дифференциальной задачи сближаются. Все это нас заставляет отказаться от повторного использования уравнения (12). П Ситуацию можно исправить, если включить этап коррекции по фор- муле — — -( . — =и) 6 (16) Разумеется, что если формула (16) используется для коррекции, то -„'„., определяется по величине -„.
м которую мы нашли на этапе прогноза по уравнению (12). 3 а д а ч а 3. Применяя принцип замороженных коэффициентов, докажите, что для данного метода решения задачи Коши мы получим разностнае уравнение, корни которого Лс, Лэ таковы, что 'Лс ~ << 1, Ле = 1! А~Ь~+О1АеЬэ). Заметим, что хотя Л > 1. но Л", = 01ехр1пА~ЬЯ)), и если на отрезке )а, 6) укладывается У шагов, то Лт = 01ехр1(6 — а)Ат61, м 1, если АвЬ = 1.
Уравнение (16) замечательно в ряде отношений, и мы исследуем его устойчивость. Считая, что Р7) получим 6 си г — сс =- — (Ас~-~ — Аси) 2 (18) откуда 1+ ЬА12 1. ЬА~2 "' или где 1 единичный оператор. Поскольку операторы числителя и знаменателя перестановочны, то этн дроби понимаются однозначно. Точное решение уравнения (17) равно с = ехр1(т — хв)А)во, и несложный анас г — ьлю ~ лиз показывает, что оператор ) . ) это хорошее приближение 1,~ — ь~1я) к ехр1пЬА). 1 —, ЬА~2 1 — ЬА/2 при условии )АЬ < 2. Если А > О, мы не полу таем ничего нового по сравнению с уже изученными случаями, но если А < О, то ~Л! < 1 независимо от величины АЬ~.
Более того, считая, что А — оператор, можно допустить, что он является неограниченным, неположительно определенным. Тогда формула (18) будет пригодна для решения уравнения (17), и мы получим Э2. Розноетпиьм метподм решмтип задачи Коши 439 4. Формулы типа Милна и их модификация по Хеммипгу. Среди разностных формул, удобных для пользования на этапе прогноза, одни из простейшттх — формулы типа Милна, получаемые, если в (5) положить й = 4, ае = 1, ат = ат = аз = О, Ьв = О.
Решая систему (6) при т = 5, получим формулу у -н — у — з — — а(2у — у — з+2у — т) = Н . 3 (19) Замечательно, .что для этой формулы выполняется условие С > 0; про- верку этого мы предоставляем читателю. Нетрудно подсчитать констан- ту Яа. положив в левой части формулы (19) у(и) = и'., получим Ств =-. = 112т3, и позаому (20) Воспользуемся для коррекции вариантом формулы (о), положив те = 3, ао = 1. Из оставшихся семи параметров два будут свободны.
Решив си- стему (6) при тп = 5, выбор свободных параметров подчиним требованию, чтобы С < О. Одна из возможных формул имеет вид 9 1 35 уп-~-1 уп + уп — э (тА14.1 + 2уп уп 1) = Лп. 8 8 8 (21) Вычисляя. как и выше, константу Яэ, полу титт Яв = — 3, и поэтому Л„= — — уРО(8) 5'. 40 (22) Роет кп-т . а У (ь). 121 ь 00 360 Отсюда 112 — 9 121 ' 1э1 Предлагается и на этапе прогноза, и на этапе коррекции воспользоваться полученными формулами и тем самым учесть главный член погрешно- сти. Для этого полученная по формуле прогноза Рпот -и — з ' '"(2вп зп — з ' 2 псв) 3 Обозначим значение у„т на этапе прогноза через рп и а на этапе коррекции через 1 еп Ес.чи бы мы вычисления по формулам (19), (21) делали с учетом остаточных членов, то полу. чили бы, что рп т = /ептп Но мы отбрасываем остаточные члены аппроксимации, и поэтому в главном члене рпэт — ьп з = Л„ — А ,и, считая, что у а не сильно меняется на 69 интервале (ип з, тп т), получим Глони 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
