Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Этот дифференциал равен! — ~6/2)Го~ ), и поскольку у матрицы Го большие собственные значения имеют отрицательные вещественные части, то эта матрица будет хорошо обращатьгя даже при условии 6 евах ~Л >> 1. Для решения жестких систем созданы различные методы, может быть и не во всех деталях обоснованные, по зарекомендовавшие себя на практике удовлетворительно )212 — 217]. Если иметь четкую асимптотическую картину поведения траекторий, как в случае системы Ван-дер-Поля, можно дать обоснование чиглешк1го метода с указанием опенки погрешности.
Без этого это сделать трудно. Отметим, что алгоритм, основанный на уравнении (3), хорошо себя зарекомендовал в задачах расчета обтекания тел с учетом химических реакций )19). 2. Интегрирование на очень больших отрезках. Оценки уклонения численного решения задачи Коши от точного решения, полученные в предыдущем параграфе, зависели от длины отрезка интегрирования, и, когда длина отрезка очень велика, эти опенки теряли смысл.
Спрашивается: вообще, возможно ли решать численно задачу Коши на больших отрезках независимой переменной? Условимся независнмую переменную отождествлять с временен и поэтому будем говорить о больших временных отрезках. Описывая в гл. 5 численное решение задачи о неустойчивости Ршсея Тейлора, мы отмечали, что пришлось решать задачу Коши лля системы из 122 дифференциальных уравнений и находить решение на больших временных отрезках. При этом в устойчивом случае не наблюдалось никаких неприятностей Глава 7.
Численное. решение задачи Коши и шум от округления не превосходил предписанных пределов. Качество решения системы для белья«нх отрезков контролировалось гчедующим образом. Задача решалась на отрезке ~0, Т), и затем время обращалось, а задача решалась в обратном направлении. Если при этом в момент 1 = Х мы получали решение с большой погрешностью, возникшей из-за систематической погрешности аппраксимации и шу.ма от округлЕния, тО, воЗвратившись в начальяый момент 1 —.. О, мы получим начальные данные с большой погрешностью. Мы же получали в рассматриваемой задаче начальные данные с большой точностью.
Конечно, это «чудак об ьяснялось свойствами самой нелинейной эволюционной задачи, а дискретизация его не нарушила. Однако чак дело будет обстоять далеко не всегда; если у дифференциального уравнения 1системы) траектории имеют тепденцшо сильно расходиться, то численное интегрирование таких систем на больших временных отрезках будет приводить к большим погрешностям, и, что очень важно, погрешности округления в таких случаях могут забивать все иные погрешности, Особенно это будет заметно в тех случаях, когда интегрирование ведется с очень малым шагом, и поэтому систематическая погрешность настолько мала, что она лежит за пределом точности системы чисел данной ЭВМ; стало быть, приращение величии на шаге будет вызвано только погрешностями округлония.
Пгимег. Классическим примером системы уравнений, все решения которой ограничены, но обладают экспоненциальной неустойчивостью. с ~учкит система уравнений, описывающая движение точки по инерции па компактной поверхности отрицательной кривизны. Под словами экспоненниолоноя неустойчивость мы понимаем такое явление, когда нормальные отклонения межоу геодезическими траекториями, выпун1енных«и из близких точек. растут при движении вдоль одной из них не медленнее экспоненты пройденного пути; показатель экспоненты зависит от величины кривизны. Отметим, что траектории 1геодезические) двигающейся по инерции точки па поверхности отрицательной кривизны обладают рядом замечательных свойств.
Так, почти все они всюду плотны на многообразии уровня энергии, доля времени, которое проводит ч1«аектория в любой области, пропорционачьна объему этой области и т. п. Такие свойства траекторий характеризуются как стохастические — траектория ведет себя так, как если бы точка блуждала случайно.
Приведенный пример далеко пе единствеш«ый. П ПРимеР. В качестве второго примера рассмотрим систему, описывающую движение ««материальных точек (молекул) под действием сил взаимодействия между ними: то«)тобй =- рь, «(рь(й — — -Tьб', й . 1, 2, ..., н, где ть — масса й-й молекулы, рь — ее импульс, ть = 1хю дь, кь) — ее координаты, а ГоП = 1дГ1дхь. дГ)дрь, д1',~доя)'. Силовой потенциал в случае парных взаимодеиствий имеет вид где Š— некоторый потенциал, скажем Леинарда-Джонса. Об общих свойствах этой системы известно очень мало. Вычисления на ЭВМ свидетельствуют, что и в данном слу.чае имеется сильная экспоненциальная неустойчивость.
Малые уклонения двух решений растут со скоростью м ехр11~т), где т << 1. з тй ХХест;,олька замечаний о чигленнолт решштни задачи Катни 445 Понятно, что как в первом, так и во втором примере бессмысленно ставить тк>ттрос о вычислении решения на отрезке (О, 1о), где 1о » т, поскольку самые скромные требования по то.птости решения приводят к непомерным требованиям относительно величины разрядной сетки.
В задаче о движении молекул иас интересуют болыпне и (хотя бы 10з — 10 ), а это еще больше усугубляет критичность ситуации. Конечно, егзи бы не экспоненциальная расходнмость траекторий в задаче о движении п ьтолекул, мы могли бы численно проследить за траекторией, а затем произвести усреднение по времени и получить сущш ственные сведения о термодннамических свойствах системы. Особенно это интересно в таких задачах, как зада та о поведении жидкости у твердой стенки., в задачах о фазовых переходах и т. и.
Пока же прямой численный эксперимент с моделированием движетшя большого числа молекул приводит к очень скромным рсзультатам. С) Однако существует класс уравнений и класс задач, где численное интегрирование иа больших временных отрезках осмысленно и может принести большую пользу при исследовании этих задач. Будем рассматривать системы дифференциальных уравнений, заданных во всем пространстве В.. Векторное поле на й. (система дифференпиальных т уравнений) определяет однопараметрическую группу лт диффеоморфизлюв, т. е.
дифференцируемое по х селтейство (этт) диффеттморфизмов и, удовлетворяющее условию,рт, +тт =-.,ттт о гатт для любых Хт. 1з б Н. Если л Е Ы вЂ” произвольная точка, то тат(л) получается как решение задачи Коши в момент 1 для начальных данных т в момент 1 =. О. Общие свойства нашей динамической системы сун1ественньтм образом определяют особенности численных алгоритмов, которые строятся для решетшя задачи Коштл.
Так, например, если бы мы знали для уравнений химической кинетики (1) характер инвариантных множеств, нх свойства устойчивости илн неустойчивости и т. и., то могли бы при конструировании чиг.ленного алгоритма все это учесть. Напоьтттивт, что множество ЛХ С Н (замкнутое) называется иивариаитвым, еглти лт(ЛХ) с ЛХ (1 В), Простейшие инвариантные множества -- это неподвижные точки (стационарные точки системы) и периодические ретпення.
Существуют штвариантные множества, природа которых отлична от инвариантных множЕств, упОмянутых выше, и мы уже с ними встречалиеь в гл. 2 при изучении итераштй нелинейных отображений. Если инвариантное множество притягивающее, то его называют аттрактварала Бсютее точно, замкнутое инвариантное множество Л называется аштттрактором, егли любая его точка неблуждатощая и если существует окрестность Лт > Л такая, что этт(тт') лт (О ( х ( оо). если динамическая система имеет аттрактор и ее траектории не уходят на бесконечность, то решение задачи Коши с начальными данными ха, утт(яа) будет себя вести так, что точка тт(ло) будет стремиться к аттрактору при 1 — со.
И хотя траектории соседних точек, взятых в качестве натальных данных, могут неограниченно расходиться, они все равно стрелтятся к аттрактору. При чис-теином ретпении задачи Коши точки лтнть жества (л„), получаемые в процессе решения, при больших п, будут близки к аттрактору, и, хотя наше численнОЕ рсшение нЕ у'титывает начальных данных, оно несет информацию об аттракторе.
Таким образом, можно будет на основании численных расчетов составить себе представление о структуре аттрактора. Именно таким способом был открыт класс аттракторов, называемых отправными. Глава 7. Численное решение задачи Коши Пгимкг. Рассмотрим систему уравнений в В.: з дх/Ю = — ох+ оу, ду/дх —...
гх — у — хх, д»,1д! = — Ьх — ' ху, (4) где о, г, 5 — некоторые параметры. Эта система, называемая системой зуореица, обладает рядом замечательных свойств (в частности, ее траектории не уходят на бесконечность), и если взять множество Го малого обьема и затем проследить за эволюцией множества уи(1о) (О < ! ( оо), то нетрудно усмотреть, что объем множества Эо~(1»о) стрегоитея к нулю при 1 оо. Последнее свойство имеет место только для неконсерватнвных систем, к которым очевидно принадлежит и система (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
