Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 95
Текст из файла (страница 95)
и поэтому они представляются в виде степенных рядов по параметру; Лз(е) .—. Лз —, ~ ~г"рзь, х,(е) .— —. х, — ' ~~ В основе такой простой теории возмущений лежит то, что собственные векторы х, Ц = 1, 2,, и) симметрической матрицы образуют ортонормированный базис, Следующий сравнительно простой класс матриц это матрицы с линейными элементарными делителями; как известно, их собственные векторы образуют базис. В частности, матрицы с различными собственными значениями входят в этот класс. Хотя для данного класса ряды теории возмущений сохраняют указанный выше вид, но практическая ценность этих рядов зависит от свойств базиса собственных векторов варьируемой матрицы А. В этом нам поможет убедиться сведующее Предложение 5 (теорема Гершгорина).
Пусть А = (ац) — произвольная и х п-матрица. Любое ее собственное .значение лежит в однояг из кРУгов Л; = Л: 'Л вЂ” аи) ( 2. )о, ) . Если з из этих кРУгов обРаздзг ют, связную область, то в ней лезюит ровно з собственных значений матрицы А. а 1. Обсяие аамечаиил о оычиелигаельиых оадачаа: алгебры 463 (аи - Ло)х, =. ~ анхо, »фг откуда следует включение Ло е 1г,. Не ограничивая общности, можно считать, что именно круги Лм ..., Л; образуют связную область. Рассмотрим матрицу А, = г)1ая а„+ е(А — е)1а5 а„), где О < е < 1; ясно, что А1 =.
А. Радиусы кругов монотонно убывают при е ' О, и каждый круг Л;(е) (1 .—.— 1, 2, ..., п) при малом е обязательно содержит собственное значение матрицы А . Поскольку. собственные значения матрицы А, непрерывно зависят от е (согласно предложению 3), то при любом е е [О, 1) число собственных значений в объединении ( ) Л (в) не может г::. 1 измениться, поскольку круги Л:(е) (» < о) и Лу(е) (» ) о) не пересекаются при любом е Е (О, 1). Следовательно, и при г =- 1 в объединении кругов ( ) Л ( ) -- лежит ровно о собственных значений. сэ э=1 Возвратимся к нагпей теме теории возмущений.
Пусть матрица А имеет полупростые собственные значения. Тогда А = 11ЛН ', где Л = = г)1ая Л,, В неособая матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А. Рассмотрим матрицу А+ еВ; тогда Н '(А л- еВ)Н = Йаи Л, — еИ ' ВН. Согласно предложению 5, для любого собственного значения Л(е) матрицы А -, еВ найдется такое Л з что ,'Л, — Л(е) — с„(е) < е~ (с,ь(е)~., ь~г где с ь(е) -- элементы матрицы Н 1ВН. Отсюда 'Лу Л(з)1 < Х~л С и( )~' а=1 (27) область, то в ней лежит ровно о собственных значений матрицы А+ В. Для того чтобы это установить, надо повторить заключительную часть доказательства предложения 5. Из неравенства (27) слелует, что )Л(е) — Ла! < (Н 'ВН',, откуда (Л(е) — Л ! < е)В! сопе1 Н. (28) Доклзлтвльство.
Первая часть предложения тривиальна. Пусть Ло --. собственное значение матрицы А и х = (хг....., х„)' . соответствующий собственный вектор. Возьмем максимальную по модулю координату х, собственного вектора х и, сравнивая г-е компоненты равенства Ах = Лох, патучим 464 Глава 3, Теорие итераций и методы регаеяал некоторыт задач В сферической норме аналогичная оценка получается следующим образом.
Имеем е11аи (Л. — Л(я)) + яН ~ВН = = сйай (Л, -- Л(я)) [з -. 'я е(1аи (Лз .— Л(я)) Н' 'ВН, если Л( ) Г' Лз (~ = 1, 2, ..., п). Если Л(я) — собственное значение мат- рицы А ~ яВ, то матрица, стоящая в квадратных скобках, должна быть особенной, и поэтому / с(1ай(Л вЂ” Л( )) Н ВН~ > 1, откуда яшах)(Лз — Л(я)) ) /Н 'ВН~т ) 1 ппп,(Л, — Л(я)) < =-!В!тсо|к1вН. или (29) Для симметрических, э1веитовых или более общих нормальных матриц матрица В унитарная и сопс1зН = 1. Поэтому для таких матриц шш Л(я) — Л ~ < я,Вен Следовательно, для этих классов матриц проблема собственных значений хорошо обусловлена.
Для произвольных матриц с полупростыми собственными значениями хорошая обусловленность зависит от величины сопбаН, которую можно назвать спектральным числом обусловленности по отношению к проблеме собственных значений. Приведем пример матрицы с различными собственными значениями, для которой проблема собственных значений плохо обусловлена. Это матрицы и;го порядка вида и, а О 2 а О 1 Ее собственные значения очевидно равны л, ..., 1; собственные векторы нетрудно выписать, и если их нормировать в какой-либо р-й норме, то нетрудно увидеть, что они будут образовывать базис, в котором ьиежду векторами будут очень малые углы.
Если матрицу А возмутить, добавив я к элементу в позиции (и, 1), то характеристическое уравнение примет вид в П(в. — Л) = я( — 1)ва" ь=з 31, Общие гамечаиил о вичислительных задачах алгебры 465 еуг Вяг Л,(е) =Л, — ' ' е-ргг+.„, уг хг жг(е) ..- жг+е~гдаж +е г еглжь+ ел ь и найдите формулу, из которой определяются величины Вя, (31) (32) 11оскольку Лд(е) = у — рг,е - 0( ~), то ца -г егаи- г (и — Я)0 — 1)" Если п = 20 и а = 20, то наименьшее и наибольшее значения величины 1г г суть соответственно ум = 20~э,г'19! = 4,31 . 10', ум г = 20~э,г'(10! 9) ) ) = 3,98.
10~э. Таким образом, для рассмотренной матрицы проблема собственных значений плохо обу.словлена, хотя для различных собственных значений мы имеем различную степень обусловленности. Рассмотренный пример взят из (!10). Злмкчянип. В 3 15 гл. 4 мы рассказали о спектральной задаче Орра" Зоммерфельдаг произвели ее дискретизацию и свели задачу к вычислению собственных значений пучка матриц, определяемого формулой (4.5.12), или, что эквивалентно, к вычислению собственных:значений матрицы А" В. Вычисления показали, что у матрицы А ~В все собственные значения различны (мы пользовались одной из стандартных программ решения полной проблемы собственных значений матриц с комплексными коэффициентами), Представив матрицу А гВ в виде А 'В = НЛН ~, где Л =" бйай Л,, мы подсчитали соне) „Н.
Для матрицы А ~В размером 87 х 87 получим сопе1 Н - 10~; это неплохо, если учесть, что мы имеем дело с задачей, содержащей большой параметр "- .шсло Рейнольдса Н = 10~. Кстатгц этот результат о порядке сове), Н объясняет тот успех, который мы имеем в решении трудной спектральной задачи для несамосопряженпого дифференциального оператора, какой является задача Орра - Зоммерфельда.
Приводимые примеры плохо обусловленных спектральных задач являются в известном смысле экзотическими, Реальная спектральная задача для несамосопряженного дифференциального оператора приводит при правильной дискретизации к конечномерной задаче, для которой невозможны патологии вроде примера, описанного выше. Пусть А матрица, имеющая различные собственные значения Л (» = 1, 2, ..., и), а ж, ее нормированные собственные векторы.
Обозначим через у, собственпыи вектор транспонированной матрицы А', или, как говорят. левый собственный вектор матрицы А: уА=Л,у,. (30) Векторы у (г = 1, 2....., и) элементы сопряженного пространства: мы их будем считать нормированными. 3 в д в ч а 7. Пусть Лг 0 = 1, 2, ..., и) - собственные значения, яг(е) Ц = 1, 2, ..., и) — собствегпеые векторы возмущенной матрицы А+ В. Докажите. что илееют место соотношения 466 Гласа 8. Теорие итераций и методи реиеенил некоторых задач Заьсвчлнив.
Поскольку векторы х, ум нормированные, то хорошая обусловленность задачи на собственные значениЯ зависит от величин У; хз (У = — 1, 2,, и), Если совсЕН велика, то векторы у, х почти ортогопалызы и величины у х малы. Если у песимметрической матрицы элементарные делители нелинейные. то ее собственные векторы не образуют базис, и теория возмущений довольно сильно осложняется. В данном случае Л. ( ) будут ветвями аналитической функции от ., имеющей, к счастью, только алгебраические особенности. Вместо ряда (31) будем илзеть ряд по дробным степеням параметра е -- это так называемый рлд Пьюизе.
К чему это может ззривести реально, разберем на конкретном элементарном примере. Рассмотрим возмущение собственных значений матрицы А из и. 3, т.е. возмущение жордановой клетки. Пусть В -- матрица, элементы которой нули, за исключением элемента в позиции (и, 1), равного 1. Тогда собственные значения матрицы А — В будем определять из уравнения (3, 1)" ( 1)"еан-' = О, ~33) откуда зс оп(о — зпо оо 1 2 и где у -- корень уравнения па — ( — 1)" .†... О. Если возьмем о =- 1,12, то тем самым получим матрицу, хорошо обусловленную по отношению к решению системы линейных уравнений, но плохо обусловленную по отношению к задаче на собственные значения. Соотношение (33) подтверждает точность неравенства (23) в теореме Островского.
Взяв е =- 10 зз (что соответствует минимальной относительной точности ьсшнины БЭСМ-6), и = 13, полУчим Л = 1+ з1з 10 2 и, следовательно, Л -. 1, ) 0,0о27, что нельзя назвать даже посредственным результатом. Матрицы с нелинейнымн элементарными делителями, да еще с большими размерами жордановых клеток — это исключительное явление.
В общем случае мы, как правило, имеем дело с матрицами с различными собственными значениями, и поэтому практически наиболее ваэкный случай плохой обусловленности связан с большой величиной сопс)зН. 3 2. Решение линейных алгебраических уравнений методом исключения; вычисление определителей и обратных матриц 1.
Метод Гаусса. Существует большое число методов решения систем линейных уравнений для матриц общего вида, а также для матриц специального вида трехдиагоналызых, ленточных и др. В любой развитой системе математического обеспечения читатель найдет самые разнообразные программы для решения систем линейных уравне- 5 2, Решение линейных, алгебраических уравнений 467 ний и может ими воспользоваться. Но, как показывает опыт, такое использование готовых стандартных программ бывает продуктивным, если пользователь четко знает и понимает тс принципы, на которых зти программы строятся, Нозтому мы рекомендуем читателю поглубже вникнуть в общие теоретические вопросы вычислительных методов линейной алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
