Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Однако важно то, что при определенных условиях первые несколько шагов этого итерационного процесса могут существенно уточнить первоначально полученное решение. В самом деле, в силу определения вектора с~ (А+ (оА)„)го .=- г'. Положим В„= А '(оА)гл тогда А(1+ В,)~" = Ь вЂ” Ат', откуда (1+ В,)С~ =- А ~6 —.
и". Но А ' Ь точное решение системы (1), которое мы обозначим через т*. Подставляя в последнюю формулу вместо с" вектор и' ' — и", получим равенство (1 + В,), "+' = " + В,*", а вычитая нз обеих частей равенства вектор (1 — В,)т*,получим (1+ В,)(т'э 2 — и ) = В,(и — и"), Допустим, что (Во; ( а ( 1/2.
Тогда ж т' — и*=(1+В ) 'Во(т„— и'), откуда ~ж +' — ж*~ ( о(1 — а) т хо — ж" = З,т — гв" ., (11) 482 Глава 8. 7«орал и»всраций и л«етоды уси»снил искотор»за задач где,З = о(1 — о) ' < 1. Казалось бы, .из неравенства (11) следует, что последовательность (ло) сходится к точному решению. Но это неверно, так как, строго говоря, неравенство (11) не имеет места. Мы при выводе не учли, что невязка го определяется с погрешностью, и, кроме того, егчи даже х' ~ определяется по формуле о-С о, в арифметике двойной точности, то затем производится округление полученной величины.
Если учесть эти моменты, получим иную формулу вместо неравенства (11). В [118] утверждается,что имеет место неравенство (12) что весьма вероятно. Из полученной выше оценки (9) вытекает достаточное условие «сходимости» итерационного уточнения. Пусть мв = »пах~ам ~,? ~Аь с»з Предложение 4. Если (1 З- Ь)»со (пз + Зп ) ссслзс1 (А) < 112, (13) то процедура итерациоп»сосо уточнения реи»ения «сходится». (Мы взяли в кавычки слово «сходится», учитывая сказанное выше и неравенство (12).) Конечно, лимитирукзщ»зм сомножителем в левой части неравонства (13) является сопй,А, и, когда п невелико,итерационное уточнение действительно улучшает решение, если матрица не очень плохо обусловлена.
Спрапз»звается:когда следует прекратить процесс итераций? О конце итераций можно судить сзо тому, наскшсько велико очередное уточнение с', и если,с" ~ < со, то следует прекратить процесс итераций. Константа сс связана с основной константой с и обычно является некоторылс ее кратным. Для читателя было бы весьма поучительно проследить процесс итерационного уточнения на примере плохо обусловленной матрицы., скажем матрицы Гильберта порядка 7 х 7 илн 8 х 8. Обычно для плохо обусловленных матриц первая итерация резко меняет решение.
Кроме тог(Ь интересно поведение повязки она пс убывает, а к концу процесса может даже возрасти. 3. Ъточиение обратной матрицы, Метод Гаусса, как мы видели, дает возможность определить обратнукз матрицу, но пе точно, а с погрешностью, которая тем значительнее, чем хуже обусловлена матрица .4. Для уточнения матрицы, полученной методом Гаусса, используется итерационное уточнение, основанное на ньютоновском итерационном процессе. Положим Е(Х) = АХ вЂ” 1, где Х вЂ” произвольная и х и-матрица. Найти обратную матрицу А з, это значит решить уравнение Е(Х) = О.
Используя ньютоновские итерации 24. Замечания о решении выролсдвниыа сиате.м уравнений 483 (см. п. 13 з 1 гл. 2), полу сим последовательность Х, 1 — -- Х, — [г~(Х,)] г(Ха), и —.— О, 1,... ° — 1 Однако Е'(Х) =- .4, .'Е'(Х ) —.- А ', и получается как бы заколдованный круг. Но мы можем вместо матрицы А 1 взять ее п1>иближение-- матрипу Х; тогда получим Хоэс=Х +Х (1 — АХ ), м=0. 1,.
(14) Положим Л = 1-.АЛ; из формулы (14) легко получить, что В = го~, и, таким образом., итерации, выполняемые по формуле (14), являются ньютоновскими, поскольку из последней формулы следует (1о) и =-- 11о п .—. 1, 2, В качестве матрицы Ло принимают матрицу, полученную с помощью метода Гаусса. Если вычислить Хс по формуле (14), а затем Лм Л;-',, используя при этом арифметику одинарной точности, то никакого эффективного уменьшения невязки, устанавливаемого формулой (15), пе получится. Чтобы был эффект, нужно уточненную матрицу Х, определять таким способом., чтобы невязка 1 — АХ вычислялась с использованием арифметики двойной точности., затем находилась поправка Х (1 -- АЛ ) и прибавлялась к Л,. Имеется еще один простой прием уточнения обратной матрицы. Допустим, что мы имеем хорошее приближение для обратной матрицы.
Вычисляем повязку, используя арифметику двойной точности: ао — -- 1.— АЛо. Отсюда АЛо = 1 —. 8о и, следовательно, .АХо(1 - - йо) 1 = 1. Поэтому = Хо(1 — оо) и хорошим приближением к обратной будет матрица 1' = Хо Я (1 9 бо) ' Чтобы в этом убедиться, достаточно вычислить невязку У ер А Э 1. Для того чтобы такой способ приводил к цели, необходимо, чтобы элементы матрицы невязки 8о, были достаточно хорошо определены, а не представляли собой шум округления. й 4.
Замечания о решении вырожденных систем уравнений 1. Пример. Выше был разобран случай решения системы уравнении (2.1) с вырожденной матрицей А. Этот случай важен, поскольку в приложениях встречаются краевые задачи с индексом, дискретизация которых приводит 484 Глава В. Теория игпераций и методы решения некоторьсх задач к вырожденнъсм, а точнее, почти вырожденным системам линейных уравнений с з. Хорошо известно, что сингулярные интегральные уравнения дают пример простейшего фредгольмова оператора (см. 3 1 гл. 2), индекс которого, вообщо говоря, отличен от нуля. Вот соответствующий пример сингулярного интегрального уравнения: сов хор(0) + в1п хВ р(0) = ((О), где х — целое число, со(0) — сопряженная функция, с которой мы уже встре- чались в 3 1 гл.
3; 2 1 ( К(1) г.,с 2 18 [(! — 0)/2] (2) Левую часть формулы (1) рассмотрим как оператор в вещественном гильбер- товом пространстве Ьг(В' и обозначим через оз' . В п. 9 3 1 гл. 3 отмечалось, что сели р Е Ьр(В~], то иптограл (2) сходится почти вссоду и Эз Е Лр(У] (1 < р ч. оо), если р Е бр[Во], причем » г - '~~эх(0) ~-'40 < -' ~[0(0)~'"д0, о о 3 ад а ч а 1. Покажите сделанные утверждения об индексе оператора Уклзлниг,.
Если ф0) = вга + 2 (аьсовйО + Ьс. в1пйВ), то рассмотрите ь=з в круге К = [»: - ( 11 степенной ряд Ф(») = — + ~з (аь — гбь)» 2 и аналогичный ряд для правой части Е(») = —" ). Е(сзг — гдь)»" 2 ь:::з где сь, дь -- коэффипиенты Фурье функции 1: — — с. ~ (сь сов ЕВ + Нь ейп й0), 2 ь-:з и равенство будет выполняться тогда н только тогда, когда равен нулю нулевой коэффициент ряда Фурье функции эз. Поэтому оператор лз ограничен в бг[5 ]. Если .с > О, то с)1ш(сего»'„= 2х, с1ппсо1сеглг =- О, а если х ( О, то с!пп!сего» = О, с1ппсо1сеггд. = — 2х. Поэтому уравнение (1) всегда разрешимо при и > О и разрешимо лишь прн выполнении — 2х условий, если х ( О. С теорией сингулярных гснтегра»сс пых уравнений читатель может познакомиться по работе [81].
34. Замечания о региеиии вь!рооюйекимт сосшем уравнений 435 Покажите, что соотношение (1) эквивалентно уравненню Ке1!с' Ф(х) . Е(х)) =- О, в В дЛ. Самая простая дискретизация уравнения (1) (и самая оптимальная) состоит в замене фВ) интерполяционным полиномом г р.(В; р) =, ):В,В„(В -О,), '+ !=а где В! =- 2к«(2н+ 1) (1 = О. 1, ..., 2п), Ээ! = Ээ(0!), Р„(0) — ядро Дирихле. Подставляя вместо ээ в уравнекие (1) полипом р„(0; э!) и беря ограничение получившегося равенства на множество узлов (Вз), придем к системе уравнен!пй 2 з1п .сВ! Э!!совмдз+ ' ) З,„(В! — В!)!р! — Л+гэ, ! = О, 1....., 2п, 2л -' 1 !=а где «1 = «(Вэ), г! — погрешность аппроксимапии, Вв — сопряженное ядро Дирихле.
Отбрасывая погрешность аппроксимации и обозначая через В приближенное значение э!„получим систему 3 созмВ ! ~ У (В' — ' О!)с! = «! « — О 1 .. 2п. (3) йп+ 1 !=о 3 ад а ч а 2. Взяв и = 20 н ',и~ = 2, решите численно систему (3), выбрав по собственному вкусу правые части. Выведите матрицу А О' ! и правые части, полученные в результате прямого хода метода Гаусса. Рассмотрите случаи и = = 2 и и = — 2 и объясните полученные резу.чьтаты. Система (3) замечательна тем, что она в точности наследует свойства оператора аК . Докажем это, Пусть р(0; 4) — интерполяционный полипом указанного выше вида, принимаю!цпй в узле Вэ, значение Вэ, а р(0; б) —.
сопряженный тригонометрический папином. Через р(0; «) обозначим аналогичный полипом, прицимаюший в узле В! значение «! (« = О, 1...., 2п). Несложно подсчитать, что гв а р„(0; б) 4 !р„(0; В) = ~0! ~ — —. вохр( — ги0 )я з = !=о А„я' .=. Р(я: б), (4) =о где в =. ехр(!0). В самом деле, подставляя вместо ядер Л и 12 их выражения соответственно через сумму косинусов и сумму синусов, а затем применяя Формулу Эйлера, получим последнее соотношение. Аналогично эь 11 р„(В; «) .~. гр„(В: «) = ~ « ~ — В ~схр( — гмВэ) "~ .=- э=о о — —. ~ Г„я' =- Р(а:, «).
(Л') .-! 486 Глава д. Теория игпераций и мегподы решения некогпорыт задач Положим Я( ) = х Р(з: б) — Р(х; 7). Нетрудно проверить, что систему. (3) можно записать в виде Ке се(ко) = О, зэ = ехр(гВ, ), 1 — -- О, 1, ..., '2п. Допустим, что х > О. Заметим, что рациональная дробь -1 (Авва — Аьа ~~ ) = 17(х) ь=о при - = ехр(1В) принимает чисто мнимые значения. Очевидно, что уравнения (5) можно записать в виде Ко[с)(я;) — 77(ео)~ = О, у = О, 1,..., 2п.
(6) Поскольку Я(г) — Л( ) при з = ехр(дд) — тригонометрический полинам степени не выше п, то из соотношений (6) следует, что Ке[® ) — й(х)1 =- О, з = ехр(гВ). Но Я(я) — й(х) есть многочлен от х степени не выше и; поэтому (7) се(я) — К(г) = 1С, где С -- вещественная конотопов Если х < О, то помимо многочлена Р(х; б) рассмотрим многочлен — !. ~ Р,(я; 6) = ~ ~Аьяь — ~ Аье ь= — ~ «~эо и заметим, что Ке(к Р(г,; б)) =- Ке(я, Р (ьП ~)), 2 —" О, 1, ..., 2пп (8) где в, = ехр(1В,). Легко видеть, что функция 1ез ( ) — Р( .е) ~ (А — Ш э1 — ь1 — А (э зе — ьы. ) Р( г) ь= -~- ~--1 является многочленом от е степени не выше п и, следовательно, тригонометрическим многочленом степени не вып1е и прн а = ехр(гд).
Из соогношений (3), (8) следует, что Ке Ц1(яо) = О (д = О, 1, ..., 2п), и поэтому Ке г?1(ехр(1В)) г— н О, а это соотношение влечет тождество (9) Я~(-) — гС, где С вЂ” вещественная константа. Соотношения (7), (9) позволяют определить решение системы (3). Пусть х > О; тогда (1О) 34. Замечании о рглиеиии еыромсдспных сисшем ррлепений 4В7 Поскольку в этой формуле слева стоит многочлен степени и, то это возможно, если и старших кгвффипиентов функции Р(-, «) равны нулю — это условия совместности системы (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
