Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Из формулы (4) следует, что эти условия имеют вид 2 Р = ~~ «э ехр( — )ир„) =.-О, и = п, — и+ 1, и — м4-2, ..., и. (11) 2п, з-1 з=о Поскольку 1т Р(О, б) = О, то из формулы (10) следует, что 1шАс .—. О. Поэтому решение системы (3) б, = Ые(х, Р(з,; «) 4- х, 11(ъ,) 4-1Ск ), « = О, 1, ..., 2хг., А,в"+'-'-" — 1 (; «) =- С, (12) ' ~ Аьвьф ь= — )ш, 1 Отсюда следует, что при и, ( (и+ 1)«2 С.= — 1шРа, УеРе = О, Гн =...
= ГВ, ~ =-О, 1шГ, =-О, (13) причем последнее равенство вытекает из того, что 1ш Ао =- О. Таким образом, должно быть выполнено 2~м' условий совместности. Из формулы (12) находим ~,=Не~(",Р(х,:«) , '~ (Аь -Аь.;' " '')~, «=О 1,...,2п. Ь=а — ~. ~еь Таким образом, решение зависит от ~м~ комплексных констштт А„ ..., А„. Имеется существенное различие между условиями совместности (11) и (13). НапОмним, что квадратурная формула прямОугОльникОв для вычислЕния коэффициентов Фурье функции «(О) имеет вид с, = — / «(д) ехр( — ЫО)ЙО 1 « 2я,/ о 2 э «(91) р( ~ Рз) = . ~ Л р( 'ирз): з=е з=о и поэтому условия (11), (13) являются дискретизацией соответственно условий и =- и.
— (и -~- П п — ~м~+ 2,..., п, (14) с, = О, и = 1, 2, ..., )и, '— 1, !пз с~ ~ = О. (15) с =О, Не со — О, Иогда «б С"(Я~', то с = 0(п" '), как мы это уже установили ранее. Поэтому Г = 0(и ') при и = и —,м~ -~- 1, ..., п, и, следовательно, условия (П) зависит от произвольных постоянных Ае, См Ам ..., А ...и т.е. зависит от 2м вещественных произвольных постоянных, Если и < О, то соотношение (9) можно записать в виде 488 Глава В.
Теория игаераций и методы решения иекогаормя,задач почти выполнены. Что же касается условий (13), то они являются жесткими ограничениями на функцию 7. Постоянные Л„,,э„... з Л, от которых зависит решение при м ( О, должны стремиться к нулю, когда и — оо. Поэтому в пределе при п — сю решение уравнения (1) определяется однозначно. Рассмотрим вместо уравнения (1) более общее у.равненне (лу.
ВИВ)+ — ~К(0, 0)за(0)00= ((О), о (16) т.е. рассмотрим возмущение оператора лу- компактным оператором; будем считать, .по ядро К гладкое. Пусть (Хр)(0) = — ~ К(0, 0);(0)00. о Если оператор уе' имеет малую норму, то для оператора лз, М остаются в силе утверждения об индексе. Для произвольного компактного Х можно лишь утверждать, что 1пс)(л7 + Я') = йхс Это следует из теоремы Нетер (81).
Днскрез изацию задачи (16) проделаем так же, как для уравнения (1). Положим К з =- К(0, Вз); тогда вместо системы (3) полу шм систему уравнений го го 2эшмВ, — 2 41 сое мВ, ) 7эо(0, Вз)б, +, ) уз,газ — У„ з=о э=о 0 =- Оз 1, ..., 2п,. (17) Строго говоря, эта система уже ие вырождена, н ранг матрицы системы отличен от 2п, + 1 — 2',ге!. Однако если м > О, то очевидно, что если изменить К з на величину 0(п"' ), т. е. в пределах той точности, с которой они определены, то система (17) будет вырождена и ее ранг будет равен 2п+ 1 —.
2~к~. В самом деле, для этого достаточно в силу соотношений (11) добиться, чтобы 2 К з ехр(-- зиВ,) = О, и = и -. к -)- 1, и - и -~- 2,..., п, 2п+ 1 э=о 1=-0, 1, ...,2п, (18) а поскольку для ядра К(0, О) б С'~Я' х Я') гп У КН ехр( — ерВ ) = 0(п '), и = и — ге+1, п — ге-У 2, ..., гз, 2п. — 1 '-' э=о то, чтобы выполнялись условия (18), нужно изменить К.з на величину 0(п ").
Если ге < О, факт близости системы (17) к вырожденной менее очевиден, и мы за недостатком места не будем его обсуждать, хотя система (17) и близка к вырожденной. Итак, мы разобрали, как проявляется при дискретизации наличие индекса у интегрального уравнения. Хотя в обоих случаях система получилась вырожденной, но условия совместности и надпространство решений однородной системы в обоих случаях резко отличаются друг от друга. 24. Замечания о рви|внии оыролсденныв систем уравнений 489 2.
Ранг вырожденной системы. Если система (2.1) вырождена, то, как мы видели при точном выпш|нении арифметических операпий, можно точно определить как ранг системы, так и базиг подпространства решений однородной системы и найти частное решение неоднородной системы. Однако при выло-шенин операций па машине погрешности округления ма| ут сильно изменить картину. Кроме того, как мы только сейчас виделн, матрица системы при переходе к дискретное задаче может быть не в точности вырожденной. Кроме того, само машинное представление матр|щы вносит существенные возмущения. Поэтому важно рассмотреть задачу о возмущениях вырожденных матриц и рассмотрет|н кал влияют возмущения на ЬГ-разложение матрицы.
Вопрос стоит гак; насколько надежно у возмущенной матрицы можно выделить минор максимального ранга г х |, который является хорошо обусловленным (поскольку он должен быть близок к минору невозмущенной матрицы), и насколько надежно можно получить в представлении (2.5) элементы а," (|, ! > г 4 1) Р> малыми? Что значит, что эти элементы малы? Какой критерий малости нужно принять? На вопросы такого рода должна дать ответ теория возмущений, но, к сожалению, автору неизвестно, где в общем виде такая теория построена.
Рассмотрим случаи, когда ранг матрицы системы равен и — 1. Предполоягиы, что у невозмущепной матрицы строки и столбы уже перегтавлены так, чтобы алгоритм исключения проходил без запинки и — 1 шагов. Пусть А .=. ЬГ, где Ь = (1, )" (1, †. О, | > |. 1„ = 1), Г =. (и, )" (и,,> = О, | > |, и„ ~ О, | = 1, '2, ..., .и, — 1, и †.- 0). Таким образом, для невозмущенной матрипы имеем обычное разложение, определяемое гауссовскиы исключеяием. Рассмотрим соответствующее разложение для возмущенной матрицы А —: оВ. Положим 1+ вВ = ЬеЬ':, (19) где нижняя и верхняя треугольные матрицы Ь и Г. имея>т вид Ь.
= !. -1 гй> е>Ь> Р.,,, Г, =- Ь'.1 сГ| 1-г>Г>...,.; (20) будем считать, что диагональные элементы матрицы !. равны 1. Покажем, что если ранг А равен п — 1, то можно отыскивать матрицы Ь, и Ь'. в виде рядов по целым степеням о. Если же ранг А не превьппает п — 2, то !.г, Ь!г не являются регулярными функциями е в окрестности точки х = О, и разложение нужно искать по дробным степеням е. Это очень неприятное обстоятельство, поскольку оно означает, что более жесткие условия близости накладываются иа матрицы А и А + сВ, если ранг А меш ше п — 1.
Правда, на множестве вырожденных п х и-матриц ситуапия, когда ранг меньше и — 1, не является ситуацией общего положения, но мы видели, что задачи математической физики могут приводить к вырожденным системам с рангом„ меньшим п, — 1. Подставляя ряды (20) в соотношение (19) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях сй получим соотношения (21) ЬГ| -~Ь>à — —.
В, ЬГ>+Ь>à —:Ь|Г| = О, Ясно, что если из первого уравнения можно найти треугольные матрицы Г| = = (и|о) . где и,' = 0 при | > >, и !.| = (1|,), где 1,', = 0 при !' > |, то из последу|ощих уравнений находятся матрицы Ь'з, Ьз, Ьг|, Ьз п т. д. Рассмотрим первое уравнение (21). Умножив его слева на матрицу Ь получим уравнение Г +Ь '! Г = !. 'В. (22) 490 Глава д.
Теорол испарений и методы решения некоторых задач Пустьб1ь1 — —.еи, =-(1,),,где), =-Опри1>д, ь 1В=С=(с,з) Из уравнения (22) находим, что ! т-пВ 1ь*,и,з —.- сь„г =-1, 2,, й — 1, й — 1 иь. — - сь, — ~ ~1г„ипо у .—" й, й -' 1, ..., и. =1 (23) Если й =- и, то в системе (23) но участвует элемент и„, и тот факт. что и„=- О, не оказывает влияния на разрешимость системы (23), поскольку и р' 0 0 = 1, 2, ..., и, — 1). Обозначим через Ра матрицу порядка йхй, образованную вз первых й строк и й столбцов матрицы В: р пса ° ° пег 1ь = се 1'ь (25) и поэтому !)е! < ~сю.
! Ре,!п (26) Пусть еоь, = (им,..., ие ц,)' (у =. й, й+ 1, ..., и) — вектор-столбец. Делая подстановку (25) в (24), получим и„; = сь, — 1ьые,, у' = й, й-1,..., п. 1 (27) Таким образом, матрицы Сг и Га однозначно определены, и, стало быть, раз- ложения (20) имеют силу. Из форму;пя (27) следует неравенство шах )и;,.:( ~ (швх 'сьз' -1 шах )е) азез е, 1 й<з< ь<з< й<з( из которого в силу (26) шах )иьз( ( пих !са )~1-г !")еь ! шах '<оьз,'е]. ь<з< г<1< ' й<з< Поскольку С = А 'В, то шах~газ, '(,В ~ шах;Ь, ,', -1 (26) и, следовательно, учитывая очевидное неравенство шах )еое ~1 < ~С ц полуь<з< чим шах(ие ! < )А ' ее[1+ шах !")ь '), )Гд) шах(Ьаз .
(29) е<е< — 1 цз Пусть )ь = ()ь„..., )е ь,) — вектор-строка. Систему (23) можно записать в виде 1е")'ь .= сю А = 2, 3, ..., и, где се .— — (сы, ..., сь, а 1) — вектор-строка. Отсюда 3'5, Отерацттоттные мешос»ьт рстаенпл сисшсм линейных тптавнстсит» 491 Вспомнив, что Вт = т,.'х.'т, получим шах~1т. ~ ( Л, шах,1ь~ ь.т ' ' тл откуда в силу неравенств (26), (28) будем иметь птах(1т. ( ( сопс»...В шзх ('тст ') тпах ~Ььт(. ь,, т т<т< -т т ь,т (30) 3 5. Итерационные методы решения систем линейных уравнений 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
