Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 104
Текст из файла (страница 104)
(Ах, х) — 2(а, х), где А — симметрическая, положительно определенная матрица, постройте последовательность итераций (х,) наискорейшего спуска и докажите, что Злмвчлнив. Сравните результаты задач а и 6. 6. Спектрально-эквивалентные операторы. Возвратимся к нтерационпому процессу первого порядка, определяемому формулой (14). Так же как и выше, легко показать, что х = хе--Р э(А)ге.
(35) В самом деле, х„= х„— ел,г, = хе+ Р 1(А)ге+о ~ге — АР— э(А)ге]: и поэтому (36) — 4 —. хе — 4 — АР д(А)(хо — ~) откуда Ли(Л) = 1 -- ЛР .э(Л), Из формулы (36) вытекает связь между. многочленами погрешности: Л э (Л) = (1 — ьЛ)Л,(Л), (37) откуда (38) Формула (38) позволяет легко решить экстремальную задачу: выбрать величины о и так, чтобы на данном 5-м шаге величина погрешности была минимальной, если принять в качестве меры погрешности величину (27).
Для .этого достаточно обеспечить равенство Лв(Л) = 1т(Л), где 4ь(Л) -- мпогочлен, определенный в предложении 2. Поскольку. нули многочлена 1ь(Л) совпадают с нулями многочлепа Ть~~~ 1 ), то множество (ое, ..., оь д) очевидно должно совпадать со множеством (( л- гоъ я); у — -- 1, 2, ..., Й~. (39) Такой способ построения итерационного процесса предложен Л. Ричардсоном (см. также (241; 232, гл. 3, 33 и 4)).
Однако остается нерешенным вопрос: каким способом нужно отождествить элементы этих Р,(Л) — - о, + (1 — о,Л)Р,. (Л), и поскольку соотношение (Зо) имеет место ври р — -- 1, то оно справедливо для лэобого т Вычислим многочлены погрешности. Поскольку с .—. с Э- Р„-э(А) (а — Ас), то, вычитая последнее тождество из (35), по- лучим 508 Глава 8, Теория итераций и методы решения некоторых задач Вх =Вх 1, о„.т,, и=1,2,..,, 140) В2хх =с г,-д ВЬх, 1, и=1,2...., 141) где  — некоторая симметрическая, положительно определенная матрица.
Эти итерационные процессы легко свести к уже изученным с помощью элементар- ного преобразования. Напомним, что произвольная симметрическая матрица В представима в виде В = О'КО, где О -- ортогональная матрица, Л = г)1ай 1Л )" 1. Если В положительно определенная матрица, то Л ) О. Квадратным корнем из матрицы В называется матрица В112 = О с)1ао 1гЛ1~2) О ~42) где берутся положительные значения квадратных корней. Легко проверить, что 1В~12) —... В, Положим в уравнениях 140), 141) В~12х„= у ,.
С вЂ”... В 1У2АВ 112. Тогда уравнения 140), 141) переходят в соотношения 114), 116), в которых вместо матрипы А нужно взять матрицу С,. а вместо вектора и — вектор В и, естественно, что и векторы х„ — 1,12 нужно заменить на векторы у . Мы видели, что быстрота сходимости итераций существенным образом зависит от отношения Л .,~Л,„, где Л, Л;„— максил1альное и минимальное собственные значения матрицы, т. е. от числа обусловленности матрицы. В данном случае сопс)2С может оказаться много меньше, чем сопс12А, если удастся так подобрать матрицу В.
Неравенства 133), 113) можно записать в виде )х„— С, < ( У 1) ~х — С!щ, о ~Х ч'эээ ( ) ХО ч2~ 133') 113') где ог = сопд2А. Таким образом, если для матрицы В система уравнений Бх = у" решается легко и если сопс)21В 112АВ112) « гопс12А, то целесообразно итерационный процесс вести по формулам 140) либо 141) с учетом сделанных замечаний о выбора величин оо, с„, до. '1'акой метод итераций назьгвается игпграйионным методом с использованием спектралы1о-эквивалентных операторов.
множеств, чтобы погрешности округления не исказили существенным образом итерационного процесса? Реально такая опасность имеет место, поскольку среди величин 139) будут большие, когда у — Л. Мы не будем задерживаться на этом вопросе, а отметим, что имеются способы отождествления элементов множества 139) с элемегггами множества 1оо, ..., оь 1). Злмвчянии. Помимо итерационных процессов 114), 116) можно рассмотреть внешне более общие итерационные процессы вида "2 5.
Итсрсиионные. методы решения систем линейных уравнений 509 Пгимкг. Пусть à — гладкая замкнутая кривая в плоскости Рея, ориентированная обычным образом: в качестве параметра на Г выберем длину дуги а Рассмотрим потенциал двойного слоя 1 1 д 1 и(х, у) =- — / а(е) — 1п — с!с, т/ дп г г (43) 2 2 1е2 где г = ((х — х(с)) + (у — д(с)) ] расстояние от точки (х, у) до текущей точки (х(1), у(!)) кривой Г, п — внешняя нормаль к кривой Г. Функция и(х, у) — гармоническая функция в области, ограниченной кривой Г.
Устремляя в формуле (43) точку (х, у) к точке (х(в). у(е)), лежащей на Г, в силу классической теоремы теории потенциала получим 1 Г д 1 — а(я) -'- — / а(4) — !и — с!с = и(х(с), у(с)). .г,/ дп г г Полагая и(х(е), у(а)) .— —. — !(а), получим интегральное уравнение для плотности потенциала 1 Г д 1 се(в) — — / о (!) — !и — й = 2'(в), г/ дп г г (44) решив которое, мы можем найти плотность а, а затем и функцию и(х. у). Тем самым мы решим задачу Дирпхле. Положим 1 д 1 сока 1 сир К(о, 1) =- — — — 1п — = + хдп г ' хг х с!!' где о — угол между нормалью к Г, восстановленной в точке с координатой с и радиус-вектором, идущим из точки (х(о), у(о)) в точку (х(с), у(г)), а р -- угол между положительным направлением касательной в точке (х(е), у(е)) и упомянутым радиус-вектором.
Таким образом, Т. Собственное значение единичного модуля. Возвратимся к вопросу о решении уравнения (1') методом простой итерации. Если оператор Тл В -е В, где  —. вещественное банахово пространство, имеет собственные значения на окружности (Л; Л~ = 1), то в силу теоремы ! простые итерации не будут сходиться. Однако если это собственное значение простое и Л ф 1, то данное положение легко исправить, переходя от последовательности (2) к некоторой усредненной последовательности. Если Л веществеппюе, то в силу предположения Л =- — 1, а если Л комплексное, т.е, Л вЂ” собственное значение оператора Х, рассматриваемого в комплексификации В, пространства В, то имеется комплексно сопряженное собственное значение Л. То, что такая ситуация не надуманная, показывает следующий пример.
510 Глава 3, Творил итсврачий и мгтвди ртавмил ивкатврит задач формулу (44) можно записать в виде (45) т(з) = — ХС(з, К)п(К)сКК+ Х(з). г Известно [66], что интегральный оператор с ядром — Хс имеет простое собственное значение Л =- — 1, причем остальные собственные значения уже лежат в круге (Л; 'Л < г < 1), где г определяется контуром Г, сз Возвратимся к общему случаю и рассмотрим последовательность (3); х — "-Вх, с+Ь, м=1,2,... Поскольку нам нужно рассмотреть возмущенный оператор (в случае матриц возмущение может возникнуть из-за машинного представления матрицы), то будем считать, что, вообще говоря, собствешсое число оператора Л не равяо —.1.
Пусть ср — соответствукзщий собственяый вектор, У с В одномерное подпространство, натянутое на вектор,р, и л подпространство, дополнительное к подпространству У: В = У сй л. Поскольку подцространство л инвариантно относительно оператора Х, и оператор М = Х, я имеет спектр сг(ЛХ) = сг(Х )'1[Л], то спектральный радиус подчиняется условию р(ЛХ) < 1, Будем считать, что ]ЛХ]]=с<1, Если Л вЂ” комплексное собственное значение оператора Х, (в комплексификации В,), то У будет двумерным подпространством, натянутым на векторы срм срз б В такие, что ь(срс — Ксрз) — — Л(срс + ссра).
Если Л =- — — рехр(сО), уо — — ссссзс — сзсрэ е В, то Хуо —. рХ, уо, где Х созй сйпд1 КХуо = (Ссрс+ гКфз), (6, у)' = [ .,вл ',оэКС/ (см сэ) (със. замечание к доказательству теоремы 1). Пусть Л вещественное, хо = уо яо, где уо е У, яо е л, и Ь = с+ сК, где с ~ У, сК ~ л. Тогда по индукции легко доказать, что х, =Л'уо, ЛХ"яо+ЛХ" 'сК+...-ЛХсК+сК+(Л '+..+Л+1)с. (46) В самом деле, покажем, что эта формула верна для х „н Делая вычис пения, пояс чим х„с = Л ~уо+Х(ЛХ"яо+ЛХ ссК вЂ”...— МсК-~- сК)+(Л вЂ”,...+Л)с+с-, сК и, учитывая, что выражение, стоящее в фигурных скобках, есть эле- мент л, будем иметь х эс = Л' с до + ЛХ'л хо + М сК +...
+ ЛХсК сК + (Л' +... + Л + 1) с. "5 5. Итероииоииие метиоди решения систем лииейиих уравнений 511 Пусть Л = — 1; из последних формул вытекает соотношение — (ж, Л ииз1) — -- — р Н вЂ”; Ме1з-...-~ М' Н вЂ” М еХ+ — (ЛХ"хе+ М' яе), 2 2 2 2 а если учесть, что решение ~ уравнения (1') имеет вид 1 4 = — с - е1 + ЛХ е1 - ... 1'иХ" еХ вЂ”... 2 то получим 1 1 1 -(ж +ж,т1)- 4=- — ЛХ"еХ- ~ ЛХ'еХ-;-(ЛХ хе+ЛХ т1хе). 2 2 2 з=г .1.1 1 ! 1 1 т и 1 + т и 2 : — (х„- т„,1) — ~ ~ < — ' т" еХ '+ т''5хе 21 — т' ' 2 и, таким образом, теоретически все обстоит благополучно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
