Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 107
Текст из файла (страница 107)
1(ак уже знает читатель, корни ортогональных многочленов приходится отыскивать в связи с построением квадратурных формул. Рассмотренный пример должен внушить опасение; существуют ли конфигурации корней уравнения, когда корни хорошо обусловлены? Особый интерес прецставляет расположение корней на отрезке )О. 1,~ вещественной прямой, поскольку спектральные задачи для самосопряженных операторов после дискретизации приводят к задаче на собственные значения вида (1 — ЛА)х = О. Поэтому характеристический полипом матрицы А будет иметь корни Л (д = 1, 2, ..., и), сгу.щающиеся к нулю. — 1 Возможно, что когда корни полинома быстро убывают, то такая конфигурация корней влечет их хорошую обусловленность. Во всяком случае, примеры подтверждают это предположение.
3 ад ач а. 4. Пусть многочлен р(г) имеет корни г, = 2 ' О =- 1, 2,, и), Рассмотрите вопрос об относительном возмущении корней этого многочлсна при вариации й-го коэффициента. Примите п = 20. Если корни многочлена комплексны, легко указать примеры конфигураций, когда каждый корень хорошо обусловлен. Простейший пример — многочлен г" — 1, для которого мера обугдп>вленности каждого корня есть о = п 2. Динамика рациональных отображений. Прежде чем обсуждагь итерационные методы решения а.шебраических уравнений, рассмотрим математические аспекты теории итераций рациональных функций.
В пп. 4-7 34 гл. 2 мы изучали орбиты 1Г" (ха)), Ги = Г о Га >, Г~ = Г, Гв = 1, где 1 — тождественное отображение, а Е дифференцируемое отображение Г:  — В. В том случае, когда В расширенная комплексная плоскость С, а Г = В, где Гы г ь В(г) — рациональная функция, поведение последовательности (0) обнаруживает ряд замечательных свойств. Рассмотрим результаты, полученные в )134, 137), не приводя доказательств. Основные факты, касающиеся поведения последовательно- 'Эб, Ръъэеъив вааиивъгвык ураьвьвий и оиотъм урааиевъя 321 сти (9), полезно знать вычислителю, ибо ньютоновские итерации решения уравнения р(-) = 0 (р Е Я„1) приводят к итерациям рациональяой функции частного вида Т(-) =- г - р(г)~Хр'(г) Напомним некоторые определения.
Если ы =. Л(-), то будем называть ш преемником, а г предшественником ы. Если Л" (го) = го, Лг(го) У': го пРи Х < и, то скажем, что гв -- неподвиоюнол точка или цикл порядка и. Напомним, что неподвижные точки мы классифицировали по ~(Л")'(го)~ и назвали их притлгива1оиъими, отталкивающими или нейтральными в соответствии с тем, каков из соотношений /(Л") ( о)! < 1, !(Лъ)'(го)! ) '1, /(Л")'(хо)! = 1 имеет место. Если (Л")'(.е) =-. ехр(2к1р/у), гле р. 9 —.
целые числа, (р, у) =- 1, то цикл назовем рационально нейтральным. Чтобы охарактеризовать свойства последовательности (9), воспользуемся понятием нормального семейства мероморфных функций. Бесконечное семейство (Х (-)) функций, мероморфных в области Р с С, называется нормальным в Р, если из каждой последовательности этого семейства можно выделить подпоследовательностъь равномерно сходящуюся внутри Р к регулярной функции или ос. Семейство называется нормалънмм о точке -о, если оно нормально в некоторой окрестности этой точки. Понятно, что осли -о — притягивающая неподвижная точка, то семейство (9) нормально в пей.
Для случая ньютоновских итерапнй можно легко проверить, что каждый нуль многочлена р(г) является притягивающей точкой. Точку -о расшвренной плоскости С отнесем к множеству 8 или У в соответствии с тем, будет ли в ней последовательность (9) нормальна или нет. Множество 8 называется мноаюеством Фату, а множество г множеством Жюлиа. Будем говорить, что множество М с С инвариантно относительно функции Л, если Л(ЛХ) = ЛХ, где Л(ЛХ) = (ы: ы = Л(г), - Е ЛХ). Множество ЛХ вполне инвариантно, если Л 1(М) = Л(М) =- М, где Л 1(ЛХ) .— — (г: " =. Л (ы), ы й М), Л" (ш) полный прообраз точки ы. Понятно, что множества 8 и Я вполне инвариантны. Изучению их структуры и посвящены работы (134, 1371 Если исключить тривиальный случай Л(-) = (аг -ъ 6)(се+ д) ~, то справедливо Предложение 4. Множество 8и не пусто и сооери енно. Если оно имеет внутренние точки, то 8и = С.
Заметим, что последняя возможность автоматически отпадает для последовательности ( .())„-. (10) где Т(г) —.. г — р(-) ~р'(г), и поэтому мы будем предполаъатъь что 8 не пусто. Пусть г е 8. Обозначим через Ръ максимальную связную область нормальности, содержащую точку -. Понятно, что множество 8 состоит из объединения не более чем счетного числа таких областей: 8 — -- УР. Рассмотрим более подробно их структуру.
Допустим, что го —. неподвижная притягивающая точка отображения и Р.-ъ максимальная связная область нормальности точки гв, Тогда 522 Глава 8, Теория итераций и методы ресаспия некоторых задач обозначим ее через А*(го) и назовем непосредственным притягивающим множеством. Притягивающим множеством точки ге назовем множество А(га) =- (% 1шг В (г) = ге).
н ж Пусть (ге, ..., г„г) -- притягивающий цикл порядка п. Непосредственным притягивающим, множеством цикла назовем множеи — г ство А'(( о, ..., гп .~)) = () Вчг. Притягивающим множеством цика=о ла (ге, ..., г„г) назовем множество А((го, ..., г, г)) — -- (-: (го,, .. ..., г„~ ) -- производное множество для (9) ). Множества А(го) н А((го,, г„~ )) вполне инвариантны. Сравпителыю несложно доказать, что дА(го) —.... агй, но свидетельствует о довольно сложной структуре множества А(го) Отметим следующее интересное свойство: непосредственное притягивающее множество А" (ге) либо одаосвязно, либо имсе.'а бесконечную сеязношпь. Сколько существует притягивающих множеств различных циклов? В случае отображения 'Г; г е Т(г), когда мпогочлен р(г) = = г" —,а~ г" ' =...
имеет п различных корней гг, ..., г„, каждому корню отвечают непосредственное притягивающее множество А*(г ) и ипвариантное множество А(,) 7 А*(;) О = 1, 2, ..., и). По индукции несложно доказать, что Т (г) = рм(г)(г (г), где у,(г) = ?1, = и"(и — 1)' '. Поэтому уравнение Т,(г1 = г имеет, вообще говоря, и' различных корней, так как у,(г) — гг (г) = (о, -- В ) " а о, — В ф 0 при о = 1, '2,... Таким образом, периодических орбит отобраягения Т: С --.
С существует бесконечное количество. Сколько из них устойчивых? Имеют место следующие замечательные факты. Назовем точку ы криеаичсской точкой функции В"'(г), если уравнение В'(-) = щ имеет кратные корни. Структура множества критических точек, отвечающих значениям о =- 1, 2,..., играет существенную роль в вопросах строения множеств е' и У. Имеет место следующий фундаментальный факт: если (го, ..., г„з) — притягивающий цика порядка п ) 1, то в множестве А*((го, ..., г„~)) лежит хотя бы одпа критическая точка функции В з(г), Так, для последовательности (10) критические точки Т г(г) совпадают с корнями уравнения р(-)ра(г), Следовательно, оюбраэсевис Т имеет нс более. и " 2 устойчивых предельных циклов.
Остальные циклы либо отталкивающие, либо нейтральные. Если мы имеем рационально нейтральную точку (цикл), то, как показано в замечании в п. 5 З 4 гл. 2, последовательность (10) не будет в ней нормальной, т.е. го й Я. Рассмотрим объединение областей нормальности поспедовательности (9), для которых точка ге принадлежит пх границе. Оказывается, что в этом обеединснии лежит по крайней мере одна критическая точка функции В г(г), Вообще. число нейтральных неподвижных точек (циклов) конечно. Пусть Ы -- объединение конечного числа притягивающих множеств А((го, ..., г„г)), отвечающих различным притягнва- 'Зб, рсьььсььис ь*слвнсьпьых уравнсний и систсм уравнений 523 ющим циклам.
Для последовательности (10) важно знать, будет лп выполнено равенство 11 = 8 или нет. Ответ -- отрицательный. Рассмотрим произвольную максимальную область нормальности Р. Если имеется подпоследовательность (Л" (г) ), сходящаяся к константе а па каждом компакте С с Р, и а ф У, то точка а определяет притягивающий цикл (а, Л(а), ..., Льо ь(а)) порядка ть и, стало быть, Р с 11.
Если в Р последовательность (9) имеет конечное число предельных функций,. то каждая из этих функций -- константа, определяющая некоторый цикл. Если среди этих циклов имеется притягивающий, то Р с 11; все они отталкивающими быть не могут, и среди них нет нейтральных. Поэтому остается случай, когда последовательность (9) имеет в Р бесконечное число предььлыьььх фуь!кций, Предположим, что существует подпоследовательность (Л' (г) ), сходящаяся на каждом компакте из Р к некоторой функции Д(г), отличной от константы. Одновременно с областью Р рассмотрим области Ргь —" —...
Ль(Р) (Й вЂ”.. 1, 2,...), являющиеся, как нетрудно видеть, максимальными областями нормальности. Можно показать, что найдется такое у, что Р—" )(Р), и найдется такое 1, что Л! отображает Р однолистно на себя. Область ЯР) называется сингулярной областью. То, что может существовать механизм возникновения сингулярных областей, вытекает из теоремы Зшеля, приведенной в замечании и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
