Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Если Л вЂ” — — 1+в, то ж +иь1 е с 1 1 — — Л' — уо —, — —: 1Х + ЛИ - ... — , 'ЛХ' еХ т — ЛХ'ее+ 2 2 2 2 +-(ЛХ'м+М"' М)+'-(1 — Л~...—,л -')с. 2 2 Отсюда следует неравенство ,1 ~и 11 1 т т .',-( ъ+ *-+ ) — С,:( < — 'Р" Ь !! " — И1~+ '2 ~~ 2 21 -т т и ' е! (1- т):,, ',-- — '',1+ Л ~ ... + Л -': ()с(!. 2 ' ' 2 ' По формуле конечных приращений ( —.1 -~- е)' —. ( —.1) = — зе(. 1 —; Роз)' где '01 ~ < 1, и позтому и — 1 и — 1 + е ~~ .1( — 1 т йее)1 1=1 1 — ( — 1)и + ~~ у( — 1 —:Ьз)' '. 2 1=1 1-;Л ...—,Л -'=~ ( — 1) Отсюда, переходя к нормам и пользуясь неравенством троутольннка, на- ходим 512 Глава 8, Тоорил итвраний и метода ртавмия изкоторих задач Используя это соотношение, окончательно получим з — 1 Полагая то = ,'е, получим и = 1п ф (1п ~), и, таким образом, ,:[ — (х — х ч,) — б:[ с С И(~~д)~ +,)рв' ,'— ' ~~яв ~), где С, — константа, зависящая от т.
Если возмущение е настолько мало, что полученная погреппюсть излишне мала, то итерации можно прекратить раньше, ориентируясь по стабилизации вектора (хо + х,ее)/2. В этом случае, когда В = Ки, Х вЂ” матрица размером и х и, неслож- Дополнение к таблице 1 э 6 гл. б но проанализировать влияние погрешностей округления на окончательный результат. Мы рекомендуем читателю самостоятельно проделать это исследование. ЗАмечАние.'. В гл. 6 мы рассматривали задачу о вычислении функции, дающей конформное отображение круга на область с гладкой границей Г.
Основным блоком предлагаемого численного алгоритма является блок решения интегральное о уравнения теории потенциала (6.6.19). С этим же уравнением мы имели дело в приведенном выше примере, где рассматривался случай произвольной правой части. Это — уравнение (45). Дискретизация уравнения (6.6.19) приводит к линейной системе (6.6.24), при решении которой применимы евложенные выше результаты. Так, принимая в (6.6.24) и = 72, и = 144, после 20 итераций наблюдаем стабилизацию 9-10 знаков в величинах неизвестных. О точности решения системы (6.6.24) можно судить по тесту, описанному в э 6 гл. 6.
Табл. 1 Э 6 гл. 6 дополним двумя строками. Рассмотрим теперь случай комплексного собственного значения. Вместо (46) получим формулу Хо = Р П ЕЕВ ЛХ яв+ЛХ П - .. ЛХЕЕ+ ЕХ+ '- (р' 'ХХ' ' —: ... —, рП вЂ”: Х)с, (47) Матрица П удовлетворяет уравнению аз -- 2 сов 017+ Х .=. О, и поэтому (хоэ1 --2Рсоэдхо + Р х, .е)(1-- 2 совр — Р )"' —.
е1 — ' ЛХЕЕ+... + ; М зо1 (1 --2рсоэр-', рэ) ' ((р(ХХ 2 соврХ) — Х) с+ ЛХоеХ вЂ” ', т (1 — 2рсоъО)ЬХ" 'с1 л. ЛХ" 'яв — 2рсовОМ" яв р ЛХ' 'яв1. "5 5. Итеращлонные методы решения систем яинейнит уравнений 513 Отсюда следует неравенство , х 1 — 2рсовОх + рвх 1 — - 2р сов О+ рв г' — 1 — 2р сов 0', г 1 — 2рсовО -'- рз И~ -' + т" ' е-2рт", совО! -.'. рати ' 1" 2рсовΠ— . 'ре < [т' '(1 — г) где, как и выше, 0 — решение уравнения (1'). Если оператор 1, не возмущен, то по условию р — —. 1, и из последней формулы видно., что случаи малых углов 0 критический. Если собственныс значения Л и Л хорошо разделены, 1ш Л -- не малая величина, то при возмущении оператора Ь мы получим результаты, аналогичные полученным для простого вощественного собственного значения Л. 8.
Степенной метод. Предыдугцие рассуждения самым тесным образом связаны с так называемыгн степенным методом отыскания собственных значений матрицы. Пусть А — и х и-матрица и ее собственные значения таковы, что , 'Л1, > 1Лв ~ > Лз > ... Дчя простоты предположим, что собственные значения матрицы А полупростые, и тогда существует полная система собственных векторов Ом ..., (а. Если хо — произвольный вектор, то хо = ~, оД, и, образовав последовательность (хь), где л=1 хь = Ахь 1 11 =.
1, 2,...), получим хь = Л,о14, -~ Лзот~,- ь ь Ри х, = ехр1 — ех„), у„т1 = Ах„, ;Уюн где ехР1 — ге а) опРеделаетса из УсловиЯ, что компонента вектоРа х„, мак- симальная по модулю, равна 1. Если таких компонент несколько, то рав- на 1 компонента с наименьшим номером. Тогда х, = ехр1-1р,), Аох где 0' =- 'р1 —, ... -, '~р . Таким образом, . = (Л'~, рЕ-'.ьь)[ ' ', +ОИ® )~, откуда видно, .что преобладающим слагаемым будет Ль~о~~п Чтобы не возникало переполнения, когда Л1~ > 1, или исчезновения показателя, когда Лг < 1, итерации можно вести, используя следующее правило: 514 Глава 3, Творил итвйачий и мвтоди рвшвмил ивкоторив задач и поэтому, если д аргумент максимальной по модулю компоненты вектора о141, то (эйп Л1) ехр(111,) = ехр(1д) + 0((Л1/Лз)').
Если вектор х, уже стабилизировался, то, чтобы получить собственное значение (приближенно), нужно у вектора Ат„взять ту компоненту., которая равна 1 у вектора л,. Сам вектор а„является (приближенно) собственным вектором матрицы А. Если матрица А ве1цествеппая и Л1 — комплексное собственное значение, то Л1 — собственное значение с тем же модулем. Построим последовательность (м,), используя соотношения и, 11 = .4л„ аи~ 1 = ои 11~уи11~з (и = О, 1,...). Тогда, если то = о1а1- . 111111+озбо+ -1 +... где векторы б1, 111 образуют базис в инвариантном подпространстве У, отвечающем собственным значениям Л1, Л1, получим, что л, = (р'У'Г-~-онл,",~з+...))р'У'Г+ о Л бэ+...),, ГДЕ Ь =.
О1Ч1 Ч. АЗ!1, Р = ~Л1О С7 —. матрица, определенная в п. 7. Чтобы найти собственное значение и базис в подпространстве У, поступим следующим образом. Положим з = ,'Ая нь Тогда „э Зио1виЖ~.~-2 = '1 'ли. з,х„.,1 = Ат„, Заметим, что *. —. !г ~( П" ~/, '+ О()Л,1Л, ) = 1, - О( Л,7Л, ), Поэтому Аая = рзоз! +0(~Л 1Л1 ), Ао1, = р!1й +0( Лэ/Л1~ ).
Но векторы рз11'абаи, рой, Ф линейно зависимы, поскольку матрица все- гда удовлетворяет своему характеристическому уравнению, т. е. р'(7э — ррП --. 11 =-- О. Таким образом, чтобы получить р,, 11, приближенные значения р, 11, нам нужно решить систему уравнений Зи.~.1вияиЭЭ вЂ” РЗ ти.~.1 ГГХ = О. Х!ы имеем два неизвестных р, 11 и п уравнений. Решим эту систему методом наименьших квадратов; будем искать минимум формы ~ з э1в я эз— з — рзижив 1+ дяии~ КаК фуНКцнн р И д. ДИффЕрЕНцИруя ПО р И д И Прнравнивая производные, получим систему двух линейных уравнений ( ) ! ((р Ч) =з-,1з ((тээ тэ1) (тэ т)). с Ви '"(ли~ Ш~ 1) 1 ли Ж Э1)аи 'З' 5.
И>перациониые метады решенил сиспхлл лине>В>ых ураансний 515 Решая эту систему, получим приближенные значения р, с>„. Отметим, что р = Я, Ке Л> = р,>2., 1>п Л> = (й — р-',>4)'>-'. Мы на формальном уровне рассмотрели задачу об отыскании собственного вектора н собственного значения матрицы А. Совершенно ясно, что если собственное значение Л> хорошо отделено от остальных собственных значений, то рассмотренная процедура численно устойчива,.
Пусть вектор х„уже стабилк>ировался; на машине вычисление вектора х,, > будет производиться по формуле х >.> = А =:с, О е,, из которой следует, что е„х„». = (А г 5Аи)х„где элементы матрицы 5А, можно посчитать по формуле (8), учитывая при этом делание на е„. Таким образом, хи будет собственным вектором не матрицы А., а возмущенной матрицы А 4 5А, и если собственное значение Л> матрицы А хорошо обусловлено (см.
и. 4 З 1)., то погрепшость в определении собственного значения будет, по существу, определяться константой пе, где е = 6»>>2, 1 — величина разрядной сетки. В случае кратных собственных значений и в случае пары комплексно-сопряженных значений сделанный вылив вывод остается в силе, если собственные векторы хорошо обусловлены, т. е, если правые и левые собственные векторы матрицы А, отвечающие рассматриваемому собственному значению, образуют угол, заметно отличающийся от х,>2 (см. (1.31), (1.32)). Если собственные значения Л> и Лэ близки по хюдулю, то предлагаемый способ итераций может оказаться крайне невыгодным.
Чтобы устранить этот дефект, разработаны различные методы ускорения сходимости. Если отыскивается собственное значение не с максимальным модулем, то используют те же итерации, что и выше, но применительно к матрице А — >т1, где и соответствующим образом подобранный параметр. Во многих случаях требуется найти несколько максимальных по модулю собственных значений. В таком случае можно применить следующую процедуру. Если х> . — правый собственный вектор матрицы А, 15 — левый собственный вектор, Л> — соответствующее собственное значение и векторы х>, и> нормированы условием у> х> .=- 1, то мы образуем матрицу А> — -- А -- Л>х> З у>, где х> х: у> = (х,р,,)," „х> =.- (х>,..., хн), у> = (й>,,,,, й„).
Так как собственные векторы х О = 2, 3, ..., и) матрицы А ортогональнь> вектору у>, то А>х> = Л,ху — Л>х>д,>, где да> — символ 1(ронекера,, Поэтому Ла будет собственным значением матрицы А> с максимальным модулем. Х!ь> не можем рекомендовать этот метод для широкого использования., но для матриц, полученных в результате дискретизации задачи на собственные значения для дифференциальных операторов, его можно использовать для нахождения 3-5 собственных векторов и собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
