Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 94
Текст из файла (страница 94)
Гаврил итераций и лесе~оды регагнил некотории задач Вычислив матрицу С = А Ел В 1д 1, мы обнаружили, что ее элементы см имеют порядок — 10, — 11: элементы сы, сы, спн сш — порядка --10, а остальные элементы -- порядка — 11.
Максимальный по модулю элемент сга = 1,746... 10 1е -ь1 7,276... 10 1'. Чаким образом, матрица В весьма с хорошей точностькэ равна обратной к матрице А. Однако, вы шслнв матрицу Р = В бэ А ад 1 мы с некоторым удивлением обнаруживаем, что ее элементы ды имеют порядок от — 8 до — 10 и максимальный по модулю элемонт дээ = 1,234 10 "--1 1.062 10' э, Разумеется столь резкое отличие матриц С и Р нельзя объяснить за счет накопления погрешностей округления.
Используя соотношение (1.1.8),нетрудно подсчитать, что при вычиглении матрицы Р погрешности округления в отдельных элементах могут достигать величины м 10 1е,но ни в коем случае не величины = 10 э. Остается допустнтгч что элементы матрицы С = .4 — 1 будут порядка — 10,и различие элементов матриц В и А может составить величину сопс1 Аб, где -1 о — 10" ~в, как это следует из формулы (12). Учитывая, что с хорошей точностью сопс1. А =;А' .~В~ = 22,8. 32,36 = 737,808, получаем, что элементы матрицы А' вполно могут отличаться от элементов матри- 21 цы В на величины = 10 э —. 10 э, что и приводит к соответствующим величинам элементов матрицы Р. П Злмкчлник 4.
При обращении матрицы А и последующей проверке того, насколько полу.ченная матрица А ' близка к обратной, нужно следить как за числом обусловленности сопд А, так и за нормами матриц А="А 'сЭГиА 'ССАЕ11. 4. Матрицы Гильберта. В 33 гл. 2 мы ввели матрицы Ню именуемые матрицами Рильборта: Н.„( Несложно вычислить в явном виде обратную матрицу. Для этого мы воспользуемся указанным в гл. 2 э 3 способом вычисления определителя матрицы Коши Кв.
Поскольку элементы обратной матрицы выражаются через миноры прямой матрицы, то для матрицы Коп1и мы получаем простой способ вычисления обратной матрицы. Предложение 1. Элементы матрицы Н„' = (и,.)," — целые числа; ил можно вычислить по формуле а, =-( — 1)' дд . е1 и . и е .~1, (19) еде — биномиальные коэффициенты.
,й,— Доказаткльство. Рассмотрим матрицу Коши Ее детерминант опредшчяется по формуле (2.3.22) Элементы матри- $1. Обозна эамечанил а еычиелиггельных задачах алгебры 459 цы Л„г являются отношениями алгебршгческих дополнений к детерми- нанту исходной матрицы. Но миноры матрицы Коши снова образуют матрицу Коши. Воспользуемся этим и применим формулу (2.3.22).
Если К„~ = (Ь,з),", то, производя элементарные выкладки, получим и г Ьгз — — П(аз ч- Ьь)(аь — Ь,) [(аз -ь 6,) П(аз — аь) П(Ь, — Ьь)~ ь=г лаз ьф1 Полагая а, = гч Ь; = г — 1, получим матрицу Гильберта и, делая под- становку в последнюю формулу, вычислим а, — элемент матрицы Н", "1 Таким образом, ,+.
(г -~. и — 1) ) (у е и — 1)! ((г 1)!) [О 1)(,в(п ... г)!(и. 1)!(г у ...1) Учитывая, что т ) пз'. ггг) Ь! (т — Ь) Г Последнюю формулу несложно преобразовать к виду (19). Так как биномиальные коэффициенты при целых т., й также дельте, то ам — целые числа. сз Основываясь на полученных формулах, можно найти людуль максимальяого элемента матрицы Н„. Для этого удобно воспользоваться — 1 формулой (20). Замечая, что (г -Ь и —.
1) .'Гг[[(г -- 1) Ц х (и — г)!] принимает максимальное значение, если г = ~п,гчг2), несложно подсчитать с помощью формулы Стирлинга, что шах~а,з! = (чг2-ь 1)л" (1-~- 0(п )). 1 йьг2 и (21) Предложение 2. Длл чебышевекой нормы (а значи и, и октаэдрической в силу еимме причносгпи матрицы Н„) имсегп место аеимтпотичеекал формула ~Н„, ~ = а з(чгй+ 1) а(1+ 0(п )). (22) Доказательство этого предложения довольно простое: оно основано на формуле Стирлинга. Читатель может провести его сам. Столь быстрый рост числа обусловленности матрицы Гильберта связан самым тесным образом со свойством переполненности степенного базиса: эта матрица встретилась нам в э'3 гл.
2 при изучении вопроса полноты стопенного базиса, когда и было обнаружено его свойство переполненности. 460 Глава 8. Гаврил итврациг1 и лзыпвды рвиинил нвнзжаврыи задач влекут уравнения 1 (зь) л ... Ох '2. — °, - 2,2,...,,2 о 1=1 или / !(1с)ал 'фт, 1=1, 2, 2 и, (23) 1-в 1 —.
1 о и мы получаем плохо обусловленную систему уравнений, которую трудно решить на ЭВМ даже при небольших и .— — 8 —: 10. Для того чтобы удовлетворительно разлить задачу о среднеквадратичном приближении, очевидно, нужно воспользоваться базисом из полиномов Ложандра, приведенных к отрезку (О, 1). Что же касается самой системы (23), то неизбежнью погрешности в коэффициентах системы при ее машинном представлении приводят к огромным погрешностям как в самой обратной матрице, так и в решении системы уравноний. Например, возьмем матрицу 1'ильберта размером 6 х 6 и ее машинное представление Й с точностью до 10 э и найдем обратную матрицу Н 1, используя лля этого итерационное уточнение обратной матрицы, т.е,найдем точную обратную матрицу к Н. Результат вычислений представлен в виде матрицы Н 1 — Н вЂ” 43,97 1211 81 — 8012,98 20501,66 †203,19 8719,56 47299 -1321,99 8753 50 20348219 24355,06 — 9500.73 —.
2,59 71,47 473, 18 1211,8о — 1321,99 516,11 --18,15 516,11 — 3409,96 8719,56 "9500,73 3705.59 0,09 — 2,59 17,15 — 43,97 47,99 — 18,15 17,1о — 473,18 3130,55 — 8012298 8753,50 — 3409,96 Для ориентировки приведем максимальный элемент матрицы Н 1: аао — —. 3969000,00. Столь огромную погрешность в элементах обратной матрицы, вогнанную неточностью машинного представления2 можно было бы предсказать, исходя из следующей простой выкладки.
Положим Н = Н -1- 5', где А* — матрица с малыми элементами, не превосходящими 910 о. Поскольку ~Н зе'~ << 1,тоЙ ' = (1 — Н 1с2)Н 1, и,разлагая Если сделать ошибку, о которой предупреждался читатель в 3 3 гл. 2, и пытаться построить наилучшее квадратичное приближение в 7,1[0, Ц заданной функции !(т) алгебраическим многочленом, то мы получим линейную задачу с матрицей Гильберта.
В самом деле, условия минимума функционала З1. Общие замечания о оычислителитс задачак алгебры 461 матрицу (1 — Н ~8) ~ в степенной ряд, получим — Н вЂ” г ~(Н вЂ” гб)ьН вЂ” 1 ь-. г (24) Слагаемое Н ~6Н определяет основную поправку к элементам матрицы Н, и если провести грубый расчет, считая, что в среднем элементы матрицы Н ' равны 5.
10', а элементы 8 в среднем равны 5. 10 э, то погрешность в определеяии элемента а, матрицы Н составит 5 10з х хб 10 эао —..- 25 10 ган = 2,5 10 ~ао, *ыо примерно мы и наблюдаем в приведенной матрице Н ~ — Н ', построенной с помощью таблиц, содержащихся в [118[.
Разобранный пример наводит на мысль, что при работе с плохо обусловленными матрицами основной источник погрешностей может корениться в неточности их машияного представления. Конечно, матрица Гильберта уникальна в том отношении, что ее число обусловленности зкспоненциально растет с ее порядком. Матрицы, возникающие при решении краевых задач, также могут быть плохо обусловлены (скажем, при разностной дискретизации), но для них число обусловленности растет степенным образом в зависимости от порядка матрицы, и при решении систем с такими матрицами вопрос о неточности машинного представления не стоит столь остро.
Тем не менее читателю в своей практической деятельности нужно учитывать сделанное замечание. 5. Алгебраическая проблема собственных значений. Один из основных вопросов этот вопрос о том, как сильно меняются собственные значения матрицы при вариапии ее элементов. Предложение 3 (А. М. Островский). Пусть две и х и-мапгрицы Л .— — (а, ), В =. (Ь, ) удовлепгвоуяют условиям а, [ < 1, [5~~, < 1.
Тогда собственные значения Л и Л(з) матриц Л и Л -' В можно привести во взаимно однозначное соответствие так, что [Л(е) — Л ( 2(п+ 1)а(ггз )г~ь (25) п п (Л (е) — Л) (г~ ~ ~5,. з=г ьз=1 (26) К сожалению, неравенство (25) на классе всех квадратных матриц точно в том смьпле, что множитель ~~" должен неизбежно присутствовать. Таким образом, хотя теоретически задача на собственные значения корректна, практически оценка (25) налагает на непомерные условия малости, и задача практически может оказаться некорректной. Если ограничить класс допустимых матриц, то можно получить более обнадеживающий результат. Предложение 4 [136[. Если матрицы Л и В симметрические и если собственные значения Л и Л(е) матриц Л и Л+ В расположить в неубывающем порядке, то 462 Глава 8, Теория итераций и лзетоды решения некоторых задач 3 ад ач и. 5. Пусть А — произвольная матрица размером п х п и Лы ..., Ло — ее собственные значения.
Положим В = (А+ А')/2, С = (А— — А*)/2. Докажите, что в этом случае )Лз) ( )А), ~~, КеЛз)г ( )гВ) з, ~ ~)1шЛ )~ ( ) С) з=1 н.- ! з=1 и равенства достигаются одновременно, причем в том и только том случае, когда А — нормальная матрица. Указании. Воспользуйтесь теоремой Шура — Теплица. Теорема 2 (Шура — Теплица).
Любая квадратная матрица унитарно подобна верхней треугольной матрице, 6. Пусть о. = (1/2) шах 'а,ь — оа, Докажите, что тогда для любого собственного значения Л„матрицы А выполнено неравенство ) Пп Л,, '( о.(п,(п— - )/2)"' Теория возмущений конечномерных операторов лежит в основе анализа устойчивости и роста погрешностей округления в практических методах решения задачи на собственные значения. С ней читатель может ознакомиться по работе )53). Особенно проста теория возмущений для симметрических и эрмитовых гяатриц. В данном случае собственные значения Лз ( ) матрицы А-'еВ и собственные векторы хз(е) являются аналитическими функциями параметра " при е = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
