Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 93
Текст из файла (страница 93)
С другой стороны, а = Ах, и поэтому )а(р < (А)р,х'р. х гдг разом: ~~А(~ = ~ агз(~ ~ . (Покажите, что для этой нормы справедливо норавенство (9).) 454 Глава 8. Георил итераций и летазды реиювил некоторых задач Перемножая два последних неравенства, получим (12) Число обусловленности или мера обусловленности матрицы А обозначается через сопс1 .4 и определяется как произведение сопйрА А~р~А 1 р.
Заметим, что в формулах (10), (11) возможно выполнение равенства при подходящем выборе векторов х и ба, и поэтому равенство возможно и в формуле (12), что свидетельствует о точности оценки, даваемой ею. Ясно, что сопе1рА > 1, причем равенство при р = 2 достигается на ортогонвльных матрицах; неравенство следует из тождества АА — -- Е --1 и неравенства (9). Понятно, что, чем меньше сопе1рА, тем лучше с точки зрения решения системы уравнений, но большое значение числа обусловленности матрицы еще не характеризует матрицу полностью даже в таком вопросе, как решение, систем линейных уравнений. Матрицы, для которых сопбрА относительно мало, будам называть хорошо обусловленными (по отношению к решению системы линейных уравнений).
Если сопс1рА относительно велико, то матрица называется плохо обусловленной. Эти определения будут уточнены при рассмотрении задачи о решении системы уравнений, полученной при дискретизации краевой задачи. Легко определить число обусловленности при р = 2. В самом деле, из формулы, определяющей норму [.,э, следует, что со~и$зА — — дг!да, где д1 и дэ -- соответственно наибольшее и наименьшее сингулярные числа матрицы А. Замкчлний 3.
Если А — симметрическая поотрицательнвя матрица, то ее собственные значения Л совпадают с сингулярными числами, и поэтому соЫэА = Л1/Ли где Лг и ˄— соответственно наибольшее и наименьшее собственныв числа матрицы А. Рассмотрим вопрос о вариации решения линейной системы при малой вариации козффипиентов системы в предположении, что сопе1р.4 < < сю. Пусть х =- А а. х -р бх =-. (А ч- 6А) ' а, и тогда бх = [(А + бА) " ' — А г а. Воспользовавшись тождеством С ' — В ' = В '( — С)С ', справед- ливым для произвольных неособых матриц В, С, получцм дх =-.
— А 16А(А+ дА) а — "- — А 6А(х+ бх). Переходя к нормам, получим бх[р < А ' р бА~р~х + дх[р, 51, Обигие замечания е оьшисли ~ельиььх гаггачах елгебрьг 455 или А = ГЛХ); (15) где ХХ, И -. ортогональные матрицы, а знак штрих означает транспонирование. Коли д = 1Д ( ~ —.. 1, 2, ..., и), то с(ес А =- 1ггп (, согы)зА .= и. Поэтому при сколь-нибудь значительном и детерминант очень мал, а число обусловленности не очень велико, и систему линейных уравнений с матрицей А можно надежно решить на ЭВМ существующими методами. 3 а д а ч и.
1. Докагкыте, что имеют месго неравенства 1 — А(г ~ ((А(ь ( ьгп~А(г. 2. Докажите, что сопд А сопйьА ( 4 А (16) 3. Докажите формулу (15). 4. Пусть р -- спектральный радиус мат1ыгцы А, равный, как известно, наиболыпему из молулей собственных чисел. Докажите, что, как бы нн определялась норма матрицы А, выполняется неравенство р ( ~АО 3. два примера. рассмотрим два примера матриц и вычислим их числа обусповленности.
Пусть А —. жорданова клетка размером п х п: 0 1 а < сопс)„А (14) Отношение ~5.4~„Хг(А~„в правой части последнего неравенства можно истолковать как меру относительной неопределенности в задании коэффициентов системы, а отношение в левой части — как меру неопределенности в решении, вызванной неопределенностью коэффициентов. И здесь сонг)рА ограничивает сверху неопределенность в решении по отношению к неопределенности коэффициентов; аналогично в соотношении (12) сопс(,А оценивало неопределенность в решении по отношению к неопределенности правой части.
Неопределенность в коэффициентах и правой части может возникнуть нз-за того, что прп вводе в ЭВМ величины берутся с округлением. Далее погрешности округления. возникающие в процессе решения задачи, можно интерпретировать как факт решения системы с близкими коэффициентами. Поэтому с этой точки зрения величина числа обусловленности играет существенную роль. Скажем несколько слов о связи между детерминантам матрицы и ее числом обусловленности.
В действительности эти характеристики слабо связаны. Так, например, если д .- сингулярные числа матрицы А (~ .— — 1, 2, ..., и), ЛХ вЂ” -- с(1аи (р )" м т.е. ЛХ -- диагональная матрица с элементами рм ..., ди на главной диагонали, то, как известно, 456 Глаза 3. Тоорил итераций и ААтподы рои2тшл покоторит задач Несложно убедиться, что решение системы уравнений Аж =Т', где л = (т12 ..., т,)'2 у = ((1, ..., дп)'2 имеет вид (17) (18) тп — Уп Ап — 1 — .2п — 1 О1п Отсюда мы видим, что если Гп задано с погрешностью, то погрешность в определении т! будет равна( — 1)п 'ап 1е, и, скажем, прин = 20, а = 5 эта погрешность будет равна — 101з ае. Таким образом, при решении системы (17) на ЭВМ БЭСМ-6 мы рискуем не иметь в решении ни одного верного знака. Правда, эта ситуация может быть предсказана, если обратиться к такой характеристике матрицы, как число обусловленности. Из формул (18) следует, что 1 — а аа — а а а А а22 — 1 — п — 1 А 1 — а 1 Поэтому о.— А.-.
~ норма строк и столбцов которой будет изменяться в пределах от а до 1 + а '. Ясно,что сопб В = сон!1 А, г.е.матрица В плохо обусловлена, но ее собственные значения отнюдь не малы. Конечно, ~о виду матрицы А !южно было бы без всяких выю1адок сказать, что мы находимся в экстремальной ситуации, .и предсказать потерю точности при решении системы линейных уравнений. Однако если вместо матрицы А взять матрицу В = Р 'АР, где Р— матрица с малым числом обусловленности, то вся картина будет завуалирована, и мы при решении системы (и обращении матрицы В) обнаружим, что систему решить нс в состоянии.
Мера обусловленности может быть велика, если матрица А — вариация вырожденной матрицы. Возвратимся к примеру матрицы (15) и предположим,что121,...20 1=Бра=0. ап сон!1,А = (1 - а) а — 1 н для взятых параметров соп21 А = 1,43 10!о. Этот пример иллюстрирует приведенное выше высказывание о точности неравенства (12). Еще одно следствие, которое можно извлечь из этого примера, состоит в том, что большое число обусловленности нормированной ь|атрицы нельзя связывать с близостью к вырожденности и наличию малого собственного значения. Можно пронормировать матрицу А, разделив ее на а. Тогда мы получим матрицу 81, Обигис ламечаиил о оычислитсльиых аасгачах алгебггы 457 Введя матрицу в ЭВМ, мы получим матрицу А, и для нее сингулярные числа ггм ..., ра ь будут близки к числам дм ..., ра и а р„, вообще говоря, не равно нулю, так что матрица А станет неособенной с большим числом обусловленности.
Однако это не будет говорить о плохих свойствах системы линейных уравнений. Если нам априори известно, что система Ах = г' получена в результате возмущения вырожденной системы, то мы можем с помощью алгоритма Гаусса выяснить, является ли сисгема приближенно совместной, найти решение однородной системы, предварительно регуляризовав систему, и найти решение неоднородной системы с погрешностью, величину которой можно установить после некоторого анализа. Если же таких априорных сведений у нас нет, то приходится принимать волевое решение. Загяетим, что существуют классы краевых задач, которые приводят к вырожденным системам линейных уравнений, совместных либю несовместных; в последнем ыучае требуется установить условия совместности.
Это -- задачи с индексом и прежде всего задача Римана -Гильберта. Такая априорная информация очень важна, поскольку она позволяет правильно организовывать алгоритмы решения систем линейных уравнений. Пгимнг. Приведем численный пример, который можно рассматривать как иллюстрацию к и. 2. Рассмотрим две матрицы третьего порядка А = (аы), В = (Ьы) с комплексными элементами. Элемент ам= Ве ам+ — г1гпам (Ьм = Бобы + г1пьЬьг) будем записывать в виде пары следующих друг за другом чисел Йеаьн 1шЬм, представляя их в формате одинарной то гности БЭСМ-6. Для удобства не будем указывать нулевые порядки элементов.
Все вычис'тения мы делали на БЭСМ-.6. Ниже приводятся матрицы А и В. Матрица А 7.,862500000003, .-8,812499999995 10 ; -1,127902432572 10, 1,650856754484; 3,479024325748, — 2,408567а44821 10 — 5.,639512162852, 2,550713962073 10 ;9,602012162868, — 3,095356414656.10 — 3 899999999972, 2 178569810344 10 1,739512162882,9.,742860379367 10 ; — 3,8999999999?2, — 5,703569810366 10 2,222987837151, 4.516064146264 10 Матрица В 6,572685707470, -1,3404673о2618; 1,255757532864 10 ., -3,737783352462, 1,141763967328, — 5,210169837861; 6,181158952175, 5,193765706571 10 ;1,237708020072 10 ., — 8,614284161295 10 1,190229521232 10', — 2,377627909187; 5,676108320658, 2,322585357811, 1,202214323441 10', 3,7945813331396; 1,282310006204 10', 2,198598626859 458 Глава д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
