Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 88
Текст из файла (страница 88)
2, ... уже вычислены на предыдущих шагах. Если расчет по мотоду Адамса и производится, то он организован так, что вычисление нового значения -1 ведется в два этапа. Вначале по формуле (1) делается прогноз вычисляется предварительное значоние решения -1. Затем 33О Глава 7.
Чвслевное равенне задача Кшав это решение корректируется с помощью аналогичной процедуры: интер- поляционный многочлен выстраивается по узлам х „+щ ..., т,, причем в узле х1 его значение равно 7(хы х1) =. рп Интерполяционный много- член имеет тот же самый вид; (2) и скорректированное значение хд вычисляется по формуле ~1 — о = э~р(х: РМх хь которая после замены переменных принимает вид х1 ев ~ х си уьФ1 (3) в=в где (х — 1)х.... (х+ и — 2) с„= Их, р! о Вот первые пять констант с: св = 1, с1 = — э, ся — -- --1ю сз = — зя, 1э с1 = — —,.
Сравнивая вычисленные значения х, и х„мы можем судить о точности счета и принять решение о достаточности щам, с которым мы считаем. В действительности вопрос выбора шага более тонкий, и мы скажем об этом позже. При принятой схеме счета нам приходится дважды вычислять правую часть.
Может быть, это излишне, и достаточно вести вычисления лишь по формуле (1)? Ведь в отличие от метода Эйлера вычисление по формуле (3) не увеличивает порядок точности. Мы ответим на этот вопрос ниже. Для того чтобы вести регулярные вычисления по формулам (Ц, (3), необходимо иметь значения х „.м ..., вв, В тот момент, когда мы начинаем расчет, у нас будут лишь начальные даияые — значение решения в начальной точке. Метод Адамса (как н все разностные методы) требует допшзнительных данных. Это понятно, поскольку формула (1) есть разностное уравнение л-го порядка (и > 1), и, естественно, для определения решения требуется натохсить и условий.
Исходное дифференциальное уравнение имеет первьпй порядок, и поэтому требуемое решение отбирается одним условием. Такая ситуация возникает всегда, когда мы повышаем порядок разностного уравнения по сравнению с порядком дифференциального. В данном случае выход из положения прост: пользуясь каким-либо иным методом численного интегрирования, скажем методом Рунге — Кутта, вначале определяют с нужным порядком точности величины - „+~, ..., хв, а затем организуют регулярный счет, В случае же 52. Ритоетянме меанодет решмшя задачи Коши 431 2. Требования точности и устойчивости. Формулы Адамса являются одной из разновидностей ревностных 6-шаговых формул для решения обыкновенных дифференциальнььх уравнений. Эти формулы имеют вид й й У а у„— 6У Ь у'„з=д ю у' =)(' й1 — У -1 — з').
(5) з=в з=в Здесь и далее штрих обозначает производную по х. Требуется, чтобы при отбрасывании остаточного члена Лай формула была точна на многочленах М максимально высокой степени пь Иногда предпочитают фиксировать степень мпогочленов, на которых формула точна, и получать формулу с некоторым числом свободных параметров. Ряд требований, которые необходимо выполнитги накладывают на коэффициенты а„Ь довольно жесткие ограничения. Будем считать, что ов = 1. Потребуем, чтобы нри отбрасывании остаточного члена Вой формула (5) былаточнана оя (т < 26+1).
Полагая Уайд з = '((п+1 — у)6~ у„' = г((п+ 1 — з)6~, нетрудно проворить, что система для определения коэффициентов аз, Ь. примет вид азд'" — т ~~~ Ьздт ' =О, т =О 1...., т — 1. (б) Пусть В„й .—. Я, когда у .=- иш, 6 =- 1. На отрезке ~ — (6 — 1) 6, 6~ запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано: л ( й)т — 1 у(х) = р(и) - ~ ут ~(е) ете, (тп -1)! - (й - цл (7) где р(х) Е от'ог Поскольку уо з =. У((п + 1 — з)6), то, считая п = О и подставляя (7) в (5), получим -1й-Цл (6(1 — «) -Л) ' " (6(1 — г) — 1)' '' (ш -- 1)! з (тп . 2)! з=о уравнений в частных производных эта проблема становится труднейшей проблемой построения разностных схем, устойчивых с учетом граничных условий.
432 Глони 7. Чиолоииоо рмаоиис оодоч»» Коши Если у = то', то в силу определения константы 0 т! С(1)о11 = 0„,6"'. — (а — Оь Когда С(1) > 0 (< 0), то по теореме о среднем (т1(ьо) В. = 0 6,"'. т! (8) При т < 26+ 1 в нашем распоряжении имеется 26+ 1 — т свободных параметров, и ими пытаются распорядиться так, чтобы выполнялось условие С(о) > О (< О).
В ряде важных практических случаев это удается сделать. Если не выполнено последнее неравенство, формула для остаточного члена уже не будет верна, и мы будем иметь лишь оценку сверху. Минимизировать остаточный член в этом случае не удается.
Следующее требование это требование устойчивости. Предположнм вначале, что наше дифференциальное уравнение линейно. т. е. 1(а, у) =-. = Ау, где А константа. Тогда однородное уравнение (5) примет вид (а — А66 )у„» 1 = О, н решение этого уравнения в соответствии с теорией разностных уравне- ний, изложенной в з 4 гл. 2, имеет вид уь — -- ~с~Л»~, где Л» -- корни уравнения Е(а, — А661)ль ' = О. »=о (10) (6А)о Л = ~~, - 0((6А)™) = ехр(6А) -, 0((6А)™). =о Если Л» кратный корень, то нужно в формулу (9) внести соответствующие изменения, как сказано в З4 гл. 2. Набор коэффициентов а и Ь» нашей аппроксимации может оказаться неудачным, и уравнение (10) будет иметь такой корень Л, что ~Л' > 1, причем ьпо неравенство остается в силе и при 6 = О. Такая разностная схема должна быть забракована. Нужно потребовать, чтобы уравнение (10) при 6 = 0 имело корни, лежашие в круте,Л~ < 1, причем корень Л =- 1, который всегда имеется, а также иные корни, для которых 'Л( =.
1, должны быть однократными. Если учесть вид системы (б), нетрудно показать, что один из корней уравнения (10) будет иметь вид "а 2. Разноегнньш методы решенно задачи Коши 433 Если А > О, то (Л, '> 1, но нашу разностную схему на этом основании нельзя забраковать, при условии что она не имеет других корней, по модулю больших 1. В самом деле, решение задачи Коши в этом случае будет р = ра ехр(А(х — ха)). Вместе с тем решение однородного разностного уравнения имеет вид ь з„= 2, с1Л1", и если Л1 максимальный по модулю корень, то ь-1 ь -„= с1Л1 ' Л1 ~ ~с1~ — ) л и поэтому =н 'с,11~.«р(- ~ь)ось ь а )1 ~ Š— "'1 — ') 1. р(ха+ н11) с1 Л1 Следовательно., погрешности в начальных данных или единичные погрешности (скажем, от округления) пе будут расти с болыпей скоростью, чем решение, и, ш1едовательно, они не будут портить численного решения.
Таким образом, от решений разностных уравнений нужно требовать лишь относительной устойчивости, определив ее как скорость роста погрешности по отношению к росту. решения. Если А с О, то Л1 —.. ехр1 — 6!А )(1-ехр111!А,)0((6А) )), Л" = ехр1 — н6$А,')(1+ ехр(6 /А,;)0((6А) )) будет правильно передавать характер убывания решения, сели гьехр(6(А~)0(()1А)н') (( 1. Для этого необходимо, чтобы выполнялось неравенство 'А!6, «1, где 6 постоянная длина шага. (Условия для переменного шага см. в [232, гл.
3, З11).) Но кроме корня Л1 имеются и другие корни хан рактеристического уравнения, и сумма ~ с1Л1 хотя и будет убывать, но 1с Я может неправильно передавать характер убывания решения. Однако это не считается дефектом. Мы провели исследование устойчивости при постоянной длине шага 6, на примере линейного уравнения с постоянными коэффициентами, однако из этого исследования можно сделать общие заключения. Г!режде всего определим понятие устойчивости разностпых уравнений, аппроксимирующих данное дифференциальное уравнение.
Пусть имеются разностное уравнение а в„ 1 д — 6 ~~ 6 ~(хнт1 , ьн 1 ) = О, н = О, 1,..., (5') Глава 7. Чивлвииов рвшвиив задачи Ко~ив и для него задача Коши: найти решение этих уравнений по начальным данным с1 ю ..., -э. Поскольку мы повысили порядок системы, то будем считать, что начальные данные не произвольные, а принадлежат области допустимых начальных значений. Мы будем говорить, что задача Коши устойчива, если ее решение существует и ,'с„~ < Секр(АпЬ) (п < (Ь вЂ” а)/й — Ь т 1), где константы А, С определяются дифференциальным уравнением, для которого предполагается, что решение задачи Коши существует на ~а., Ь~ на определенном множестве начальных данных.
В пояснении нуждаются слова об области допустимых начальных данных. В самом деле, мы знаем, что величины я1 ги ..., -в не произвольны, а должны быть определены в соответствии с решением дифференциальной задачи. Поэтому величина -1 ь должна выбираться из области допустимых значений дифференциальной задачи, а хв ы ..., -э должны лежать в г-окрестности г1 ь, где с функция Ь, определяемая в соответствии с разностной аппроксимацией (5'). Коли схема неявная, т. е. Ьэ ф О, то мы предполагаем, что уравнение (5') разрешимо относительно -а и для чего в соответствии с теоремой о неявной функции достаточно потребоватгч чтобы ао — ЬЬа)и(т. Р) г'. -О ((оь у) й г').
Последнее условие выполняется, если вместо условия (11) потребовать выполнения условия Ь у„(оп р) ~ «1, (т, р) й Вь (11') Таким образом, из уравнения (о') мы полу. чаем, что -и.и =<рв( -1 Ги ...,, яв; 6), и = О, 1,. Исследование последовательности (-„), когда 7'(т, р) — произвольное отображение некоторой области 11 из К х В в В, где В линейное нормированное пространство. эго очень трудная задача, особенно когда оператор Д„(тэ, ув) неограничен. А реально такая задача возникает в теории задачи Коши для эволюционных дифференциальных уравнений. Поэтому мы нуждаемся в простых необходимых либо достаточных критериях для того, чтобы судить об устойчивости.
Один нз подходов состоит в нзучении последовательности линейных отображений, получаемых линеаризацией уравнения (5'). Рассмотрим наряду с (5') уравнение (5), которое удовлетворяется решением задачи Коши дифференциального уравнения. Обозначал А„= уа . аа и вычитая (5') нз (5), получим ь ь Е а,АвЭ,-, — Ь~Ь1АвдА .~1-д = Ваш (5о) 1=0 1 где .4ау — -- )~о(л„..г,, с„-ь.., —,1Л„+~. т)Ж, в соответствии с формулами о (2.1.34), (2.1.35). Ясно, что А„линейный оператор, Авэ:  — В. Будем исследовать разностную задачу Коши на малом отрезке изменения 435 "г 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
