Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 92
Текст из файла (страница 92)
При определенных значениях параметров у этой системы появляется аттрактор. Появлению аттрактора пред|пествует целый ряд бифуркаций в системе,но на этой интересной и красивой теории мы не можем останавливатыл, а отсылаем читателя к работе (104). сз 3 а д а ч н. 1. Выясните, при каком значении параметра о у системы для! = — (х+ йу т 2ху у ".
ху~), г)у/Й =- о(х 4- у — 2ху — у —: ху ) рождается предельный цикл, и найдите его при значениях параметра о = = 1,1; 1,2; 1,3. 2. В теории вихрей возникает целующая система дифференциальных уравнений: — — 5=1,,...,н, дк» 1 у! (5) д! 2я» хь — В ' ьн ь где зь = зн +»уь, ! = иг:1, -д — неотрицательные константы. Решите задачу Коши на большом временном отрезке, считая, что н —. 3, 1, .ут = уо — 1з = ув— = 1, Качество численного решения проверьте с помощью первых интегралов системы.
В качестве начальных дашгых возьмите «правильное» расположение вихрей в вершинах правнльного о-утольника. Попробуйте взять произвольное расположение вихрей. Зяыкчяник. Система (5) гамильтонова. и ее гамильтопиан имеет вид Н = = 2,' Зк-й!п гм, где гы "- расстояние между вихрями ь и хи Кроче интеграла ьй1 Н = сопя! система (5) владеет еще два интеграла движения центра инерции: / 7" Зохь Д 'у»~ —" сопвц ~ 1ьуь Д' Зь [ = сопя!. ьн »=1 мы ь=1 При п = 3 система (5) кроме указанных трех интегралов, находящихся в инволюции, ичеет еше один интеграл. Поэтому движение будет происходить на компактном двумерном многообразии.
Учтя это, правильно интерпретируйте результаты вычислений. 3 Лля уравнения ду у[(у — 1)' — зх'1 з 3. Несколько зльизчиний о численном рзизсвии зада из Кощ14 447 Рис. 2 20 40 — 20 -40 Рис. 3 где зс -- вещественный парамЕтр, пОстройте интегральную кривую, выходящую из точки с координатами т. = О, р = 1 и идушую в точку с координатами з = Л(. — 1ИЗ% — 1), д = 2Пй-. — Ц,, > й 448 Глава 7, г7ислсннов рсигенис задачи Коши 4.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений: а, с)х)с)! = — р(гс — у — г), с)у,~с2 = — гя — (! — а) у — — — , 'ти, Ь ас с),Гой — — )с(гвя — , '6у — ) + яг, с)и/Ф вЂ” — с(1+ а)и — — с — ту, 6 !6) дс)с)1 = — сй(Ьи+ с) — яж где ат Ь, с, р, 6, ьу гв -- положительные параметры. Покажите, что если выполняется некоторое соотношение между параметрами системы !6), то ее траектории не могут уходить в бесконечность, Принимая а = 1/4, Ь = 1, с = 8г3, Ь =" 1, подберите остальные параметры системы так, чтобы у нее появился аттрактор, в некотОром смысле аналогичный аттрактору ЛорЕнца. 40 0 20 — 40 — 20 Рис.
4 5. Сделав в системе (4) замену переменных я —. Х, у = У, в = Я+ а -!- г, н полагая 11 — Ь(г — г), иолучим систему аХ/дс = — аХ + а1; с) г',Гг)1 = — аХ вЂ” 1' — Х )о обе)а! = — М вЂ” ЬК + ХУ. Полагая сг = 10, 6 —.. 8)3, Л вЂ”.- 294, убедитесь шсленно, выбирая случайные начальные данные, что система 2!оренпа будет иметь лишь два устойчивых Злмкчлник. На рнс, 2, 3, 4 представлены проекции иятсгральной кривой системы 16) нв координатные плоскости (я, у), (я, и), 1у, и) соответствен~о. полученные при р —" 10, гв — 15. Начальные данные: т(0).— —.у(О)=и(0)=ю(0)=0, х10) = 10 ".
33, Несколько замечаний о численном решении задачи Коши 449 предельных цикла (присутствие пары циклов объясняется инвариантностью системы относительно симметрии (Х, 1) К) е-~ ( — Х, — 1, Я)) и не будет иметь никаких других инвариантных притягивающих мнежсств. б. Покажите, что при уменыпении Л этот цикл становится неустойчивым при К = 293,27 и вместо него появляется устойчивый предельный цикл удвоенного периода (происходит бифуркации удвоения периода, о которой шла речь в гл. 2). Т. Рассмотрите систему (6) прн зна еениях параметров о, Ь, с, 1е, указанных в задаче 4, принимая р =- 10. Сохраняя постоянное отношение г(гз — 3, найдите, при каком значенгпе параметра г притягивающее инвариантное множество системы будет состоять только из двух периодических траекторий. ° ГЛАВА 8 Теория итераций и методы решения некоторых задач алгебры й 1.
Общие замечания о вычислительных задачах алгебры 1. Нормы векторов и матриц. "!'раднционно к задачам алгебры относят задачи о нахождении корней многочленов, рошонин систелс линейных уравнений, решении систем полиномиальных уравнений, о наХОждЕнии СОбСтВЕннЫХ ЗНаЧЕний МатрицЫ И ЕЕ СОбетВЕнвЫХ ВЕКтОрОВ. Заметим, что в последнее время в связи с развитием ЭВМ бурно развиваются вычислительные методы в теории конечных грусш, в алгебраической теории чисел, теории простых чисел и т, ц., но эти разделы численной лсатематики пе принято представлять в обычных учебных руководствах, а даются Онн лишь В специальных монографиях, и мы поступим то 1но так же.
Вычислительные задачи алгебры обладают обманчивой простотой, поскольку мы по самой постановке вопроса имеем дело с конечно- мерными объектами -- многочленами, векторами, матрицами. Здесь не приходится заниматься тонкими и глубокими вопросами дискретизации и, казалось бы, имеется алгоритм — бери и решай числешсо задачу, Но эта простота чисто внешняя, и прн численном решении задач алгебры мы сталкиваемся с трудными ситуацияллн, так что во многих слу.чаях вычислителю приходится проявлять подлинное искусство, а не холодную рутинную выучку. Мы ниже будем использовать стандартную терминологию и факты, известные читателю из курсов общей алл ебры и линейной алгебры, и поэтому не приводим никаких общих сведений о многочленах, матрицах, векторах и т.
п. Исключение сделаем лишь в вопросе о нормах векторов и матриц и в определении нижней сверхней) треугольной матрицы. Матрица А = (аг)," 1 называется нижней Сверхней) треугольной лсатрицей', если а, —. О (1 < у < и, 1' —. 1, 2, ..., и) (а, —.. О, у < 1 < п, у —. 1, 2, ..., Н), Неособенные нижние (верхние) треугольные матрицы образуют группу — подгруппу общей линейной группы СЕ(п, С). Поясним лишь тот факт, что операция обращения ллатрнцы не выводит за пределы совокупности нижних (верхних) треугольных матриц.
В самом деле, элементы матрицы А =. (а,' ) подсчитываются по формулам — 1 -1 лг а,.с —... А1,ССс)ее А, где А л — алгебраическое дополнение элемента а, . Но если 1 < 1 < и, то Аз, = О, поскольку на главную диагональ определителя А, попадшот пулевые элементы. ь1. Об!лис гамачаиил о оычислииггльиых задачах алггбрь! 451 Теперь остановимся на таком элементарном вопросе, как нормы векторов и нормы матриц в Ки. Аффинное пространство К" люжно превратить в льетрическое, введя норму вектора х — — (хь, ..., х„)' следующим образом; а Хьуг г=! )х( .—.. шах (хг !<!<а 2) сферическая а !ге (2) 3) октаэдрическая (3) Эти три нормы связаны соотношениями 1 †(а!)! < 'х( < опь, (х( .
< ,'х г < ь/й(х( и '~х~! < (х! < )х !. (4) Из этих неравенств нуждается в пояснении первое левое неравенство. Оно получается с помощью неравенства Буняковского Наличие в неравенствах(4) сомножителей типа п ~!~, пьбь, и ! приводит к тому, что при больших и лишь теоретически эти нормы эквивалентны. Рассматривая К" как метрическое пространство с некоторой нормой ~ . „, мы можем определить и нормы матриц, задаюших в естественном базисе линейный оператор в Кл.
Если .4 — и х п-матрица, то в соответствии с общим определением нормы линейного оператора (см. п. 5 з 1 гл. 2) (А'„= эпр Ахи (5) При различных р в силу конечномерности пространства все эти нормы эквивалентны, но в известном смысле это высказывание при больших и носит чисто теоретический характер.
Среди этих норы наиболее обгцеупотребимыми являются следующие три нормы: 1) чебышевская, отвечающая значеншо р =- оо, а 1. Обгдиа аамачаггил а аыииалиагальиых задачах алгабры 453 Пусть шах ~ ~а ~„,~ =- ~ ~а ь; возьмем вектор х~=-(0,...,Ог1,0,...,О), з=г 3=! где 1 стоит на 1с-м месте. Тогда и (Ахен = ~ гадь„! < .4(~.'х~! = ~А)ы з=1 откуда следует, что ~АЧ = шах~ ~а ь~.
ь з=1 (8) Ясно,что ,'А,'г = А' ., где А' — транспонированная матрица. Отметим, что для любой нормы матрицы выполняется соотношение (АВ)р < )А „В:р, (9) ЗАмечаниг 1. 1у4ы рассматривали матрицы с веществепнымя элементами. Для матриц с комплскснымя элементами определение введенных яорм остается в силе, нужно только вместо пространства Ки рассматривать комплексное пространство С" я пря определения эвклидовой нормы рассматривать вместо матрицы А'.4 матрицу А'А, где А* — эрмитово сопряженная матрица.
ЗАмечАние 2. В некоторых вопросах играет роль норма матрицы А =. (а, )", которую, отступая от общего правила, вводят следующим об- 2. Число обусловленности. Важной характеристикой квадратной матрицы А является ее число обусловленности. К этой характеристике мы естественно приходим, рассматривая задачу о вариации решения системы линейных уравнений цри вариации правой части. Пусть мы имеем систему с невырожденной матрицей А: Если правукг часть изменить на ба, то решение измонятся на бх: А(х —, бх) =- а + ба: откуда бх = А 'ба,и, следовательно, )бх)р < (А '(р бар.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
