Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Так, например, если г(х) =. О, то функция и(х. у) по принципу симметрии будет гармонической в прямоугольнике В = (х, у: 0 < х < '2.г, — е1 < у < О), и, следовательно, функция д(х) должна быть аналитической функцией па, (О, 2 г'. Опишем множество возможных начальных данных, при которых существует решение задачи Коши. Прежде всего отметим, что если функции Д(х) и д(х) допускают аналитическое продолжение в некоторую полосу '1ш х~ < й и продолженные функции ограничены в полосе некоторой константой ЛХ, то существует решение задачи Коши. В самом деле, отыскивая решение уравнения Лапласа в виде и(х, у) —..
~~~ а„(у) ехр(гпх), мы для определения функций а„(у) получим уравнение д ои(ду 2 з а откуда а„(у) =- Аиехр( п~у) В„ехр( —,п~у), А.„.— — Аи, В „.—. В„. Пусть 1(х) = ~~ а„ехр(гггх), д(х) = ~ ~а„ехр(гпх). причем, не ограничивая общности, можно считать, что бо = О. Поэтому би ав(у) =. а„с1лпу ' — сЬ ау. Из предложения 3 33 гл. 4 следует, что ~а„( < ЛХехр( —;гг~Ц, ~(г„~ < < Л4ехр( — ~п~й), и поэтому ряд Ьи и(х, у) =- ~~ ( о„сйпу —, — саину) ехр(гггх) л 335 о 3. Решение некоторых некорректных задач сходится в прямоугольнике В = (х,; 0 ( х ( 2к, 0 ( у < 6) и представляет решение задачи Коши.
Этот результат о существовании решения можно уточнить. В самом деле, формулу (3) можно записать еще в виде 1 Ь„ и(х, у) .—.. — — ~~~ (а„— — ) ехр( — /и~у+ их)т 2 ,п~ Ь, — (ао ч — ) ехр(/и'у+ их). (3') 2 Очевидно, что первая сумма представляет собой гармоническую функцию в полуполосе (х, у; 0 < т, < 2к, 0 < у < оо); для того чтобы вторая сумма представляла собой гармоническую функцию в прямоугольнике В и чтобы то и (х, 4)Нх < оо, о достаточно потребовать, чтобы Ь„з ао х — ехр(2~п)а) < ЛХ . (и и:..
— ж (5) Отсюда понятно, что для существования решения задачи Коши не нужно требоввть аналитичности функций у' и д. Решение задачи Копии существуепц если функции у и д непрерывны а выполняется неравенство (5). Понятно, что зти условия являются и необходимыми, .Из доказанного следует, что решение задачи Коши единственно. Так, если существует гармоническая функция в В, для которой (: — д = О, то очевидно, что условие (5) выполняется автоматически, и, следовательно, и(х, у) .=. О. Поскольку решение задачи Коши в прямоугольнике В существует липп при выполнении условия (5), в котором Н нужно заменить на любое д' < д, то рассмотрение вопроса о непрерывной зависимости решений при произвольной вариации начальных данных не оправданно, Правильная постановка это сравнение двух решений задачи Коши, гармонических в области В и имеющих близкие начальные данные.
К атому вопросу мы и перейдем. Обозначим через о(х., у) сопряженную гармоническую функцию и напомним, что до/дх —. — ди/ду. Константу, с точностью до которой она определена. выберем из уш|овия о(0, 0) —.. О, и тогда 336 Глава 5. Оби)иа саайаглва вычислиглальвых алгоритмов Поэтому для аналитической функции Х(я) = и(х, у)+ !и(х, д) (х = х + 1д) будем иметь неравенство Х(х+ КО) < шах и(х., 0), - 2я гпах ~)ии(х, 0)). ея*<тл ' ' од*<в Предположим, что н и(х, д), ии(х, у) непрерывны в В, и допустим, что выполняются неравенства ~и(х, 0) ! < е,,'ии(х, 0);, < е/(2т), (6) а также неравенства ~~и(х, а)),, < ЛХ, )ии(х, И) ~ < Л1)(2п)., (7) где ЛХ » е —. константа. Отметим, что второе из неравенств (7) в ослаб- ленной форме: ии(х, с~') ~ < СрЛХ, где д' < Ы и, следует из первого нера- венства точно так же, как неравенство ~ и (х, г!') ~ < ЛХ, вытекающее из принципа максимума.
Итак, имеем неравенства Х(х — 10)~ < 2х, , 'Х(х -'. и!) < 2ЛХ. (8) Напомним теорему Адамара о трех кругах. Пусть функция д(С') регулярна, в кольце (~: г~ < )1„< гт) и непрерывна в замкнутом кольце. Допустим, что если Ц = г (Х = 1, 2), то д(с) < ЛХ . Тогда, если ~~ = г (гг < г < га), то ЛХОч — г)цг~ — гО)ЛХ)х — г~)цга — ~ !) (9) )Х( ) < ЛХ, '' "и,'л', в котором ы( ) = е ")твЬ~:-~ ХвЬ вЂ” ".. Учитывая неравенства (8), получим )Х(х)! < 2х"1а)Мы'"1'), откуда и(х „)) < 2:1 )ЛХ~- 1л) Можно не требовать выполнимости второго неравенства (7), а лишь тре- бовать, чтобы )и(х, у) ~ < ЛХ в Х). Тогда нетрудно видеть, что ии(х, д) < < Сл ЛХ, где 0 < гР < гХ, и вместо неравенства (10) будет справедливо несколько более слабое неравенство )и(х, у) < Аих г')Л!' '" 1л), что и составляет содержание теоремы Адамара.
Пусть - = 1 ~!п~ и дЯ вЂ”.. Х(1 ' 1п(). Поскольку Х(х) периодична по Вех — х и регу- лярна в полосе (х: 0 < д < д), то функция д(Д регулярна в кольце ((: а < ~! < 1), где а =. е ~. Неравенство (9) влечет неравенство 337 ь 3. Решение некоторых некорректных задач где ог'(г) = е г1 э1г — "ул)'эЬ вЂ” ". 11з неравенства (11) вытекает вепрерыеная зависимость решения задачи Коши,. если сравнивать между собой функции, пршгадлезкащие одному и тому же классу функций, гармонических в области П и ограниченных некоторой константой.
П С точки зрения доказанного факта известный пример Адамара начальных данных 1(х) =.... О, д„(х) .— — и "~ ейп пт,, дающих решение задачи Коши вида и„(х, у) — — и а ей пувшпх, говорит вовсе не об отсутствии непрерывной зависимости от начальных данных, как его обычно трактувэт, а, о том, что малые изменения начальных данных могут привести к тому, что мы выходим из совокупности начальных данных, для которых существует решение зада ш Коши 1з~.
В связи со сказанным целесообразно ввести понятие о классах корректности задачи Коши для уравнения Лапласа. Пусть С(0, 2к] пространство непрерывных периодических функций, С(0, 2к, 'х С(0, 2к) пространство пар (1, д). Пусть Хь в с С(0, 2к) х С!О, 2г множество пар, для которых выполнено неравенство (5) с константой ЛХ = и, Множество Хз = () Хна будем называть классом корректности задаеи п=г Коши в обласгли 11. Ясна, что множество Хг -- первой категории (см. теорему 10 и.
б 3 1 гл. 2). Именно по этой причине задачу Коши для уравнения Лапласа и следует считать некорректной краевой задачей. Дадим в общем виде определения класса корректности и некорректной задачи. Мы ограничимся замкнутыми отображениями А: К вЂ” ~ С, где Г, С .-. метрические пространства. Напомним, что отображение А называется замкнутьгм, если оно определено на всюду плотном подмножестве пространства г' н если из того, что для последовательности (1„) имеем 1„-.л 1', А1„—.— д„"-~ д, на элементе 1 определено отображение А и А1=д. Максимальное множество Х С К называется классом корректности замкнутого отобро„женил А, если для любого 7' ~ Х определено отображение А. Если множество Х является множеством первой категории, то отображение А называется некорректным. Если множество Х в некотором шаре пространства Е открыто, то такое отображение называется корректньгм Н~.
В определении мы ничего не сказали о свойстве единственности. Мы будем предполагать, что лля рассматриваемых отображений (12) г11ш1гегА ( оо. Заметим, что одно н тоже отображение, рассматриваемое в разных топологиях, может перейти из категории некорректных в категорию корректных. Простейший пример -- это оператор дифференцирования А =- д"/дх'. Пусть Р =- С'1;, С = 1з(1(. Известно, что оператор А = ск/дх' замыкаем в С(1), и мы будем рассматривать замыкание этого оператора, обозначая его тем же самым символом А. Понятно, что множеством корректности отображения А является пространство И'г (1), 338 Глава 5. Общие свойства вычислительных аееоритмов которое, как указывалось в гл.
2, 3, вкладывается в С(1'. Ясно, что и каждое из множеств И'з (и: 1) замкнуто в С;1( и нигде не плотно. Если Г = Сг»'(1(, С = С(1), то отображение А определено на г' и является непрерывным оператором. В 3 1 настоящей главы был гюстроен алгоритм численного дифференцирования и показана его оптимальность, причем мы воспользовались непрерывностью этого оператора в соответствуюпгем пространстве. Пространство непрерывных функций С,12), где  — компакт, целесообразно рассматривать с точки зрения численного анализа как естественное пространство для изучения краевых задач. Поэтому с точки зрения численного анализа следует рассматривать классы корректности как подмножества пространства непрерывных функций. 2.
Уравнение Фредгольма первого рода. Следующий излюбленный пример в теории некорректных задач — это уравнение Фредгольма первого рода (13) К(т,. с)р(сЩ = 1(х). где 1, р б С(1;, р искомая функция, К й С(1 х 1(, 1 =- (и, 6]. В зависимости от свойств ядра К(х, с) мы получаем задачи различной астепени некорректности». Так, если и = О, 6 = 2-г, С(1) пространство непрерывных 2т-периодических функций, а 1 К(Х, С) = — Ебс(Х вЂ” С), где р,(х) = 2,' Уе "сов(кх — — ",') (см. (2.2.8)), то р(х) = Т~"1(х). Таким ь:-1 образом, мы вновь пришли к задаче об операторе дифференцирования.
В следующем примере мы предполомсикг, что 1 К(х, б) = — д(Т: х — с), 2»г где д(Т, г) д-функция, с которой мы уже встречались в п. 3 э 2. Иными словами, ! К(х. 8) = — ~ ехр( — гг Т) сов п(х — р), (14) ее=в где штрих у знака суммы означает, что слагаемое при п .= О берется с коэффициентом 1/2.
Если по р(х) = — + ~ (а„сових+ 6и э1п пх), 2 и=» 339 а 3. Ро>аоиио иь иоторих иокорроктиих оа>1ач то ((х) .=. — + р ехр( — и Т)(оп сових —. (>„э1ппх). оо э п=> (13) Другими словами, ) (х) есть решение в момент 1 .— Т задачи Коши для уравнения теплопроводности ди~'д1 = дан/дх~ в случае 2х-периодических начальных данных и(хь О) = ьр(х). Таким образом, решение уравнения (13) с ядром (14) равносильно решению обратной задачи теплопроводности. Некорректность этой задачи очевидна. Если считать, что ьр и !.э О, 2кэ то класс корректности в этом случае будет иметь вид -'=()'- и:..1 где > х. (ь -т >ъ-...-ьь..ь„,.>, п,=э с>ь, ь,: т '.
р>ьььт>Ь4- ь,*.> ~ *). п=э Многие прикладные задачи сводятся к решению уравнения Фредгольма первого рода,и основное затруднение, которое здесь возникает, состоит в следующем. Правая часть ( уравнения (13) часто определяется опытным путем, и поэтому она содержит погрешности измерения. Тем самым мы сталкиваемся с ситуацией, когда правая часть г не принадлежит классу корректности, и поэтому по чисто формальным причинам решение уравнения с данной правой частьк> отсутствует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
