Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 67
Текст из файла (страница 67)
задачу 30 э'1 гл. 3). Любая функция этого класса имеет все производные Р = Р",', ..., Рн (и1 +... + ъ1 = ~м'), порядок которых и' < (г); эти производные удовлетворяют в метрике Т,р(Р) условию Липшица порядка г — ~ г) с константой ЗХ, Классы периодических функций будем обозначать через ст~,';(ЛХ) и будем рассматривать их в основном интервале 1а .-.
кубе 'х~~ < к, Для того чтобы задача (б) бьша разрешима, необходимо, чтобы (б) у(х)дх =. О. В самом деле, считая, что задача (5) имеет дважды непрерывно диффе- репцируемое решение, имеем тождество з~ Лиих = ~ 1(х)с1х, тъ З 2. Анализ ивквгвврыи выкивлссглвльныт алгвритвлсов 319 а по теореме Остроградского Х ди с1исХл =. / — ав —....
О, дгс гв дгь что следует из периодичности ягас1и. Ясно, что решение задачи (5) не единственно и два решения могут отличаться на константу. В самом деле, если сли = О и функция и дважды непрерывно дифференцируомая периодическая функция, то, вычисляя интеграл 1 (2х)с с3и(ехр(спи)) сХя = О, после интегрирования по частям получим соотношение 1 (си а / (2 г)' — ',/' слсл(ехр(спх))сХх = — ' иссхр(гпл)сХх = О, (2х)с Х и где ~п~ =- пг ."'; ... Е пс. Значит, все коэффициенты Фурье функции и при и ф О равны нулю, и, следовательно, и — -- сопят. Чтобы выделить единственное решение задачи (5), мы потребуем, чтобы Х" и(л)асл = О.
га Обозначим через,Ж," (ЛХ) подкласс класса ХХ," (ЛХ), состоящий из тех функций, для которых выполнено условие (б). Класс Ж'" (ЛХ) — компакт. Для доказательства этого достаточно показать, что он является множеством равномерно ограниченных функций. Пусть Х(л) Е Я'" (ЛХ); рассмотрим функцию Х как функцию переменной тг, зафиксировав значения остальных переменных. Полагая 9(тг) — Х(тм л), где л .=- (тз, ..., тс), по формуле (3.1.33) имеем в л 1 д(тг) — — ( др~ (ач — х)ву~,О (Х)сХх э — ( д(Х)с(Х, т/ ' 2хХ' — т — в где функция Сс,, (Х) определяется соотношением (2.2.8) и ( св:,; (Х)сХХ = 1. ь Отсюда, полагая сс(л) = — ) Х(Х, л)сХХ, получим 9(тс) ЛЮ = / [9' (тг — Х) — 9 ( г)1Ф(.1(Х)сХХ и поэтому ~9(лг) — 6(л)' =- фиг, ж) — 6(л)~ ( — ~Х Х, :'сУ~„~(Х))с1Х =- ЛХу„, ЛХ 32О Глава б. Общие свойстоо, вмчислитслънъас алгоритмов ~(2; и) =- ~~',, = ~~ — ~ ~ехр(гми).
(7) ахи ~=1 о=(ю, .... и1 Предположим, что 1 = 3. Поскольку 1 аио то функция ((2; и) корректно определена и принадлежит пространству Х,я(Тэ), где Тэ — трехмерный тор. Легко видеть, что решение задачи (5) записывается в виде п(и) =- — / Х(С)((2; и — 1)ей, 1 (2я)э / (8) гъ и тем самым оператор А эффективно определен. Дадим иное аналитическое представление для функции Грина задачи (5) — - функции ~(2; и) - и одновременно укажем метод суммирования ряда (7).
Попутно поясним несколько странное обозначение, которое мы ввели для функции Грина. Пусть в —. комплексное число, Кев > й Ряд ~ ехр(спи) 'и!в вви~ аио называется ('-рядом, отвечающим квадратичной форме тэг э ... -'- тг. Этот ряд является аналитической функпией переменной в в полу- плоскости Нев ) 1.
Докажем, что если и ф О, то((в: и) целая функция переменной в. где о = г — (г! и ";, — константа., зависящая только от и. Таким образом, асс < ЛХ";„- тпах~Ь(й)~. Но И(х) принадлежит классу,Ф",(ЛХ) функций от 1 — 1 переменных, и поэтому можно провести индукцию по числу перемепяых й Для этого достаточно получить оценку нормы функции при 1 = 1.
Но если 1 = 1, то Х(т1) = фи1), Ь =-. О„и предылугцее неравенство дает ~Х < ОыЛХ. Поэтому в общем случае ~Х < ЛХОсь Краевая задача определяет отображение А: Х вЂ” 1, где Х=Угс,(ЛХ), а 1' = А(Х), А: Х е и. Из общей теории краевых задач вытекает, что А — компактный оператор. Но по самой постановке задачи нам дан не оператор А, а обратный оператор А ', поэтому обычно при дискретизации краевых задач производится дискретизация оператора А . Что отсюда следует, мы видели в п. 4 3 7 гл. 3, когда рассматривали задачу Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. В исследуемом случае реализуется редкая возможность, когда для оператора А могкно дать эффективное представление.
Положим З 2. Аналиг некоторих вичисл««гпелъннх алгоритмов 321 Предложение 1. Если х у1 О, 'х < 2к —, где е - любая малая величина, то при Кев < 1 имеет место сяедуюгцее представление: Г((! — г) гг2) Дг; х) —.. 21 «тйг ', ' х,""' + го(гг х), Г(ггг2) где рр(к х) как дгункция х бесконечно дифференцируема в кубе ф. < < 21г — ".
Доклзагкльство. Обозначим через б(г: х) тета-ряд: б(й х) = Ь Секр( — пс~п',пх)р п си' который абсолютно сходится, если Вес > О. Напомним известное функциональное уравнение для В-рядов [111), которое мы сформулируем в общем случае: д(1; х) =! г~г ~ ~ехр( — ) =! ~хд(1 ~; х)« 4кс пЕХ' где д(й х) —.
2 ехр( — — '~2кп -'; х"-). пЕЕ' Легко видеть, что при йе г > 1 .«12 Дг, х) - г( '(Г1(г: х) — 1~)!'12 1дй Г(гг'2) г' о Интервал (0«сю) разобьем на два интервала: (О, !'„(1, оо), а интеграл на сумму двух интегралов. В первом ицтеграае сделаем замену переменных ъ"'~, предварительно воспользовавшись функциональным уравнением для б-рядов. Тогда г,'(в: х) .— -- ~ / д(1: х)г«1 022 ' й+ ~ 0(1: х)г«12 1аг — — 'р. Полученные интегралы сходятся при любом г, и мы тем самым получили аналитглческое продолжение функции С(г; гс) на всю комплексную плоскость.
Первый интеграл можно преобразовать следующим образом: ~2 г;*)рр "~и '«=) р(- ~ р ру' ')г' 'ор 4«Г 1 1 )( [д(р х) ехр( *~ )1111 — «1/~ — 1д! о 322 Глава 5. Обисис свойства вычислитслвиых аагоритмов Второй интеграл является ограниченной, бесконечно д~фференцируемой функцией х, а первьш интеграл можно преобразовать так; ~ха ехр( — ' ' 1 18 'ч~ г(1 = йя 1 ~хР ехр( — ' ' 1'(г' "~~ г(1 4я в Таким образом, при Ве ь < / 2~ 'яь аГ((1 — в)(2) ь(в; х) =, х~ +ф(в: х), Г(в~2) где р(в; х) как функция х бесконечно дифференцируема в кубе ~х~ < < 2я — г.
Мы построили аналитическое продоллсение функции Цв; х), первоначально определенной при Вел > Е Нам остается только дока- зать, что функция Ц(2; х) будет иметь в качестве коэффициентов Фурье — в величины ~н; . Доказательство этого фа,кта мы предоставляем читате- лю, П Злмичлние. Если 1 — — 2, то главный член теряет смысл, и мы должны заменить Г((1- в)/2);х ' ' при 1 = 2, в = 2 на 21п(1Ях~). Ниже будем считать, что 1 > 2, но заметим, что полученные результаты сохранят силу и при 1 = 2. Это предложение фактически позволяет корректно определить Д2; х) в общем случае (а не только при ( < 3) и тем самым обосновать формулу (8) для любых (.
Оно помогает установить структурные свойства множества решений. В силу периодичности подынтегральной функции в интеграле (8) область интегрирования допускает произвольный сдвиг. Если Во — произвольный дифференциальный оператор порядка и = = (г), то ( (Г1о ()(в)Г(2 1)11 то В самом деле, сравнивая коэффициенты Фурье правой и левой частей, мы получим это соотношение и одновременно обоснуем законность применения оператора Пв к и(х), ибо правая часть — непрерывная периодическая функция. Но предложению 1 сй 1 Г Ви(х) = — ил / (1Э"1)(с),, — / (1Э"~)(1)~р(2; х — С)М, ,'1- *~~ ' (2 )г,/ то то 'З' 2. Анализ некоторых оычагллнпгльаых а морптмов 323 где огг = 2г зк 'гхГ((( — 2)~2), а если1 = 2, то появится ядро 1п(1 г х — 1,). Допустим, что ~'х < к — в; тогда 17,(11 ( )) =- = -(( — 2) г (1(11 1)(1) ' ', дс — ~(п 1)(с)вдр(2; х — с)д1. )С вЂ” х~' (2я)' Х то Первый интеграл - - интеграл со слабой особенностью, и по известной теореме [79] он непрерывно дифференцируем, а любая его частная производная удовлетворяет условию Липшица порядка г — ~г) с константой С,ЛХ.
Ксли и лежит в 1о, но вне куба х < к — в, то, сдвигая область интегрирования, получим аналогичный результат лля произвольного и й Хо. Отсюда следует включение и, ~ М'" ~(С,ЛХ), и, следовательно, У ~ У~'+я(СгЛХ). С другой стороны, если и и Уг'"'гя(1 'ЛХ), то Ьи е Уг" (М). Поэтому Угзс-и(1 — 'ЛХ) С Ус' 2(С.ЛХ) (9) Предложение 2.
Пусть комггакт Х вЂ”. Уг ",(М) рассматривается как подмножество пространства С<Т'<. Тогда П(г; Х) = (ЛХ/ )' ". Доклзаз ильствсь Поскольку имеет место очевидное вложение М" (ЛХ) Г И'" (М, 1о), где т —.- (г, ..., г), М .—.. (Л1, ..., ЛХ), то в силу результата задачи 4 4 4 гл. 4 Н(; Х) < А„(ЛХ/ )'1". Модифицируем конструкцию куба 1" ~, построенного при доказательстве предложения 2 З 7 гл. 3. В интервале 1о выберем два подынтервала 1ы Хз, стороны которых меньше и и симметричны относительно точки х = О. Рассмотрим на Хг множество функций, построенное при доказательстве предложения 2 3 7 гл. 3.
Это множество имеет вид и -~- з х ',гхн:~г, ~ —, »=ьг,..., +~). * и, ог) 2' иы причем теперь, .как и ранее, соотпопп"ние между в и и, имеет вид п ы (ЛХ~ )~Д',,Хз<. Пользуясь симметрией относительно начала, перенесем на Хг сетку с интервала Хг и построим множество функций, аналогичное (10), но только в 1х Будем считать, что оно имеет вид < и — гл.():фг„,'~-, =1,2,..., +1), 2' где р„(х) определяется точно так же, как и уго(х), но только по симметричному узлу. Каждое из этих множеств гомеоморфно кубу 1"+г с ре- 324 Глава 5. Обище сооястоа аычис,литсльиых алгоритмоо бром с. Пусть о ' огас(т), о=! и — 2. с.
с.(*), 1(т: с) =- ж Е 1м и Е 1э, 11(в. Л) еэ с 'е(еу1 ~ )г1с Из этого предложения и соотношений (9) следует, что (1'; ж) =. 41Х" 1'" о'. 4. Один из простейших алгоритмов решения задачи Дирихле. Опишем один из простейших алгоритмов решения задачи (5) и оценим его временную сложность, т, е, число арифметических операций, требуемых для получения оптимальной таблицы решения и(и). Допустим, что правая часть задана таблицей своих коэффициентов Фурье; тогда ((и) = ~ ~а егхр(1мх), пе = О, и(х) = — ~ ~ехр(1мх). осl' о и' Приближенное решение задачи (б) можно взять в виде й(х) = — ~~, ехр(гмт), ,'сг(з )ы )<и где а -- округленные значения коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
