Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Так, считая, что Ьо = О, имеем 2,1 0,48214 2,2 0.48630 2,3 0,48928 2,4 0,49180 2,5 0,49379 2,6 0,49534 2,7 0,49653 304 Глава 4. Теория табулирооаиия и к-энтропия откуда Е1'у(0) .=. (--1) "е ~'у( — И вЂ” — (-1)' Етг( 2)г) ( 1)г — гх( ' ) 121''' Поэтому в и-м столбце будут фигурировать именно этн величины. В нашем случае в столбце для четвертой разности будут находиться величины щ — 4е, 6, — 4...
причем величина 6 будет в той строке, где табличные данные приведены с погрешностью. В таблице эти величины суть 19, -80, 117, -79, 16,и они отличаются от теоретических, поскольку накладывается погрешность округления. Но мы получаем довольно хорошее приближение, взяв три средних члена последовательности 19, — 80, 117, — 79, 16 и приравняв их соответственно — 4. + С, бв+ С., — 4е+ С, где С систематическая погрешность. Мы видим, что с хорошей точностью =- 20, и, гтедовательно, при т, .=- 2,2 значение функции должно быть 0,48610. Читатель может проверить, что после такой корректировки таблица разностей существенным образом исправится.
П 2. Построение таблицы для уравнения Орра-- Зоммерфельда При конструировании численного алгоритма существенное значение имеет тип таблицы, выбираемой для приближенного представления искомого решения. Рассмотрим, как могут бьгть организованы юп орнтмы при использовании табл. 1 3 3. Разберем конкретную задачу спектральную задачу для уравнения Орра -- Зоммерфельда: й у — йгЕЕ(ЕЕЕ.у — 1Е у) — КЛбр = О, (3) где Š— дифференциальный оператор вида б = г12Ег(хг — ог; о; й - вещественные параметры; Л вЂ” спектральный параметр; П вЂ” —. 1 — хг — коэффиписпт. Рассмотрим решение уравнения (3) на отрезке [ — 1, 1), удовлетворяющее граничным головням у[ „, у[ (4) Таким образом, мы имеем дело с решением задачи на собственные значения для несамосопряженного оператора при усиовии, что параметр й велик (й 10 ). Записав уравнение (3) в виде ~г — = р(х; Л) —, — Ч(х; Л)у, дхг ' гЕхг (5) =- р(х)у ~ пр (х)у ' + ~ р (х) — о(х)1у.
е, и п(п -1) о т-гг где р(х; Л) = 2а — ЛЕ1 гаИУ(х), о(х; Л) = о~ Э гоЕРУо -~- го~ЕЕЕЕ + ВЛог, последовательным дифференцированием сразу же получаем, что у б С~':, Ео). Проднфференцировав уравнение (5) п раз, получим 35. Нскоторыс практические вонрось2 работы с таблица,ми 305 Из этого соотношения сразу же следует, что ~уы'~он!~ < А" (и = 4, 5,...), Л вЂ” некоторая константа.
Поэтому у(2) целая функция. Но пас эта грубая опенка не устраивает, поскольку мы нуждаемся в оценке ~р1"'~ при сравнительно небольших и, а тогда существенну2о роль играет величй на ВЛ от которой зависят р и о. Пачожив тпо —.. ~рщ~~ /Я"~~, мы на основании соотношения (б) можем оценить величины гп2ь если получим оценку величин тг (ф = О, 1, 2, 3) и будем знать область, в которой лежит Л.
Мы не будем в деталях излагать способ оценки величин ш„, а лишь отметим следующее. Умножив уравнение (5) на р и проинтегрировав полученное соотношение по х в пределах от — 1 до 1, получим стандартное энергетическое тождество, из которого следует, что (1го Л~ < 1. Мы будем отыскивать собственное значение Л с максимальной вещественной частью и находить то значение Л, для которого Ве Л = 0 (мы рассэштриваем задачу о потере устойчивости течения).
Поэтому будем считать, что ВеЛ мала. Тем самым границы для функций р(х) и о(х) будут четко определены. Если в уравнении (5) обратить оператор с(~г'с1х~ при граничных условиях (4), то получим интегральное уравнение для р(х), с помощью которого можно пачучить оценки величин тг Ц вЂ” — 1, 2, 3) в предположении, что що = 1. Затем из соотношения (6) мы извлекаем рекуррептные неравенства для вш личин пз, которые можно решать на ЭВМ. Так мы получаем оценки величины т„при сг ( 100. Это отступление нам потребовалось для того, чтобы объяснить чятателю, как получается априорная информация о решении. Поскольку мы имеем дело с аналитическим решением, целесообразно воспользоваться для приолиженного представления решения р(х) оптимальной таблицей (табл.
1 33). Но нам будет удобнее взять не оптимальную таблицы а таблицу примерно в 2 раза длиннее: набор значений функции у(х) в узлах многочлена Чебышева. Использование таблиц такого рода особенно удобно при решении нелинейных задач. Пусть хг = соэ(22 — 1)я/(2п) — нули многочлепа Т„(х), уг = у(х ) (ф = 1, 2, ..., и). Введем фундаментальные многочлены интерполяции Т„(х) (1 — хз)1,(2) (1 — х2) о1(х) Обозначим через б вектор (бц..., 5„)'. Положим 1(х, б) =- ~б,1,,(х), о(х; б) = ~ бго,(х), го(х; 3) = ~~,ий(х). 2=2 2=2 2=2 Интерполяционный многочлен на ш(х: б) является многочленом Эрмита и очевидно удовлетворяет граничным условиям (4). Определим в К" линейный оператор И;,: С с 21 (21 —.- (щ, ..., 0„) ), где с( ш(х; б) дхз Предложение 1.
Оператор И „обратим; если И' '21 = б, то 1 бь = / А (хщ 2) ~~> 21 1 (2)32, й = 1, 2, ,и, — 1 г.-.о где К(х. 2) — функция Грина оператора с(4/с(х~ с грани снымы условиями (4). 306 Глава 4. Тоорил табулированной и е-энтрот л Доклзлткльство. Согласно построению, дсш(х, й) ст и если мы этот многочлен обозначим через т1(х), то э1(х) г— в ) д;1 (х), Поскольку с( ш(гл 6)сс(х = г1(х), то, решая это уравнение при граничных условиях (4), получим 1 ш(х; й) = / К(х, х)г1(г)с1х.
.1 Полагая в этом тождестве х =- хю получим 1 ю(х: В = Се = 1 К(, г)э1(к)с(х. — 1 с2 Перейдем к дискретизации уравнения (3). Положим у(х)=-ш(х; у) 1-г(х),. где у = (уп ..., у ), с (х) — погрешность аппроксимации. Взяв уравнение (3) в форме (5), получим а и;(ги у) аэу ахг(х) дхс ' д,2 дхс =- р(х) — — д(х)у— а рассматривая это уравнение в узлах хь (к .— —. 1, 2...., и) и используя предло- жение (Ц,получим уь = / К(хс, х) 1 (ж д) йз Р рь, й = 1, 2, ..., и, — 1 где С(-; д) — интерполяционный многочлеп, построенный по функции д(х) = =- р(х)с1 у,сЯх — д(х)у, и 1 рс': =- — ~ К(х з) ',Э,'1(х)' (гз)йз — с э=с Поскольку в задаче присутствует большой параметр В, то мы проявим максимальную деликатность при аппроксимации выражения р — ' - ду = 1оРЮ вЂ”; — (2о -'- ЛВ) —,, — д(х)у.
И'у . дау ., Нау с(хз с(ха с(ха "35, Некоторые практические оопросья работы с таблициип 307 Переход от уравнения (5) к соотношениям (7) содержит учет граничных условий. Поэтому мы можем при аппрокснмацпи предыдушего вьяражения пользоваться не интерполяционным многочленом ш(х; д)я а интерполяционными многочленами б(х; д) и о(й 6). Возникает естественный вопрос: почеляу. мы не хотиля пользоваться интерполяционным многочленом ш(х; б)7 Дело здесь в следующем. Уклонение многочлена б(х; у) от ннтерполируемой функции у(х) дается неравенством Дебега !1(х; у) . у(х)! < <(1+ й„)Е (у), причем, согласно теореме 10 3 1 гл. 3, — 1 Ешу) < К; ',!у"! (8) где е выбирается исходя из ляяяшяляальности правой части при условии 1 ( е ( и.
Отметим, что аналогичное неравенство для многочлена ш(гз у) будет иметь вид !-(аб у) — у(х)! < --'Е-(уп") В нашем случае каждое дифференцирование влечет появление множителя Н Я . Поэтому, если применить оценку (8), то в правой части появится 1/г даполнитальный множитЕль В. и Учитывая, что функции и и д содержат члены с Н, мы получим, что нам надо будет парировать дополнительный коэффицнет Н и = Н, если счи'г — г тать, что и, =. ъ'Н (ьак это и есть в действительности). Но Н~ 10е, и, следовательно, можно добиться малой невязки лишь за счет резкого увеличения и,. Вместе с тем величина и ограничена обьемом памяти машины БЭСМ-6, которая равна 32К слов. Если бы мы не ямели такого жесткого ограничения памяти, вопрос о выборе интерполяционной формулы не возникал бы вовсе, так как ьшлости невязки можно было бы добиться за счет выбора и.
Отсюда видно, что предпочтительнее пользоваться многочленами б(х; б) либо о(х; б). Выражение р — ' — ду = (2о ЛН) — -~ яоНН вЂ”, — д(х) у .1гя,1г 1г дхг ' дхг дхг мы заменим на многочлен д(х) = (2пг+ЛН) ' ' ' +лоВН ' — б(х; дд), ,я г гя яуь = / К(хь, г) д(г) я1 + гл, Й =1, 2, ..., яг, — 1 где гл погрешность аппроксимации. Подставляя вместо д правую часть фор- степень которого не бояяьпяе и — 1, поскольку Н = 1 — х'. Итак, д(х) = д(х) еь -1-р(т; д), где р(гз д) - погрешность аппроксимации.
Поэтому б(х; д) = б(х; д)+ + б(х; р) =- д(х) -'- б(х; р), и, следовательно из формулы (7) получим 308 Глава 4. Теория табулирооаиия и е-эитрои я мулы (9) и интегрируя по частяяй пазу шм соотношение ! да . д' д — з~((2 '+ ЛВ) [ —,К(, )1 (е; д) + из —, гП( )К( ., )) 1(х; д)-- — ! — К(хы е) 1(е! Уу)) е(х.=. гы (е = 1, 2, ..., п. (10) Пусть у = (у!, ..., р„)' и г =. (гг,..., г )' - - векторы столбцы; уравнения (10) можно записать в матричная! виде: (А.
ЛВ)у = г, где А, В суть и х п-матрицы. Их элементы нетрудно выписать. Из соотношения (10) получим задачу на собственньш значения для пюэка матриц, если заменим невязку г нулем. Пусть б приближенное значение у. Тогда уравнение (А- ЛВ)4=0 (12) позволяет найти приближенные значения собственных чисел задачи (3), (4). Чтобы оценить погрешность аппроксимации, заметим, что для решения э!ой задачи выполняется точное соотношение д уь — ([(2о +ЛВ) — К(хь, )х 'д' д' + ео —,Я(е)К(хю е))] у(е) — К(хы е)ду(е(г =.
О, которое получается применением к соотнонеению (5) оператора, обратного к оператору е(~,ее(ха с граничными усаовиями (4), и пошэедующего интегрирования по частям. Вычитая это соотношение из (10), получим ! гь — — — / ((2оа + ЛВ) —,К(хь, х) (и(, у) — д(х)) Р д' дхз — ! д Р гой — (Ь (х) К(ты х)) (1(е' д) — у(а))— — К(хы х)(Г(а! Оу) — 4(х)у( ))~е(э, й = 1, 2, ..., и. (13) Разность Г(х, д) — р(х) уже оценена, аналогично оценивается и разность и(х: у) — у(х). В оценке наилучшего приближения, даваемого формулой (8), величины )у!'! ~ оценивалисгч исходя из оценок последоватееп ности (та), Так, в наших расчетах для достижения погрешности аппроксимации гь = 10 при о = 1,02 мы взяли Н = 6000, и =- 174, и при этом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
