Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Коэффициент ая запомним с точностью Зе ~(я-(к + 1)): приближенное 2 значение аь обозначим через ааь Расшифровывающий спи оритм таблицы будет алгоритмом вычисления значений многочлена и — г пп — г(7) = ~ ~аьТь(л). э=о Ясно, что на 1о и .л ~У(ш) — р„г(к) ( — — ~ (аь — а'„)Ть(ш)~ < ь=е Зе е Зе хз < — + — —,=Е. язйз 2 яэ 6 э=1 ' < — — ' 2 2 1 < 2ЛЬ " ( 2 Зэг, 2 1 ~ < 3 дя~(й+ 1) ) < 2 з шг~.
(10) Подсчитаем длину таблипы. Мы можем в таблице записывать подряд Ве ай и 1шаь в виде слов соответствующей длины. Пусть минимальные 1, пг определены из условий '2 3. Табулироваиис классов аиолигаичсскох функций 235 Тогда значения Веоы 1сп оь будем записывать как слова вида со21+ 22 2 -' +" 2 Х т = ~!ой 1 — ~!об и, следовательно, длина таблицы элемента Х будет равна 0! !(ТХ) = 2п+ 2~~~!об 1 — ~!ой 1+ 2). ь=о Отсюда ,! 211 !(ТХ) = 2п, !ой + 4 !ои(22 !) — п(п — 1)!ои г -г 4(1 -г д)п, 3' где,д, ,'< 1. Из условия (9) имеем 1 4ЛХ и = 1ой !Ояг е(1 — г )1 и поэтому, используя формулу Стирлинга, получим 2 ЦТХ) = !ои — т О ( !ои — !ок !ои — ) . 1ойг с (12) Следовательно, в силу предложения 1 2 ЛХ ХХ(с; Х(Эс, Хе; ЛХ)) ( !об~ — +0(!оп — !ои!ои — ).
(13) !ой г Установим неравенство противоположного знака. Пусть величины ао,..., о„э таковы, что 2ЛХ ~ аеас, ~ Впал <, г, !с = О, 1, ..., и — 1. ха(/с+ 1)2 Тогда п — 1 р„(х) .—. ~ ~ааТь(х) е А(Э,й ЛХ). (14) где с~ двоичные цифры Перед сионом (11) мы введем еще один разряд знак числа Ке оь(!шов), условившись знак + ( — ) обозначать цифрой 1 (О). Величины 1, т можем не запоминать, так как расшифровывающий алгоритм выдаст эти значения, .определив их по формулам (10).
Длина двух слов (11) равна 2пс — 4. Переходя к логарифмам в неравенствах (10), мы получим Глава 4. Таорттл табулироеатти.а и -эитроп, л В самом деле, легко видеть, что при х = (э + ~)~т2, э = гет, Ть(х) = (ха+ )Х2 (Й = О, 1,...). Поэтому при Е дЭ,. ЗМг ь ь и 6 1 а=о и=о и тем самым включение (14) доказано. Из многочленов вида (14) легко построить в Х(Э,, Хо: ЛХ) Л-различимое множество. В самом доле, полагая» = Ввали т1 = 1щаь в квадрате Пь = (», т1; Я,,:т1~ < — ат( — -т1 г ~). постРоим пРавильпУю сеткУ со стоРоной ячейки д. Тогда число точек сетки в Пь будет равно Беря по узлу из каждого йь (1т = О, 1, ..., и — 1), получим набор коэффициентов, определяющий соответствующий многочлеп вида (14), а совокупность таках многочленов обюзначнм через 9Лб.
Мощность множеа — 1 ства 9Лб Равна ЛХ вЂ” -- П 1тйч откУда а=о ЗЛХг ь ~ э ЛХ 1ой ЛХ = 2 " 1он( 2 ~, ~ +1) = 2и 1ой —. — (и — 1)п, 1ой г+0(п 1п и). ттэ(й Ч. 1)эд д Согласно равенству Парсеваля (см. и. 1 э 3 гл. 2), 2 /' р„(х)т(х та — 1 и поэтому 2~р„~, > ~ ~ а-' . Применяя это неравенство к разности двух и=о произвольных многочленов из множества 9Лб, получим, что оно будет дт4-различимьтэт множеством. Беря д =.. 8 и выбирая и из условия (9), получим, что 9Лэ,. будет 2е-различилтылт множеством, а его мощность удовлетворяет неравенству 1 .,М ЛХ ЛХ 1ойХт' > !ояэ — .- С1ой — 1ой1оя —, С > О.
1ойт г е Эта оценка в силу теоремы 2 9 2 и оценки (1З) влечет следующую теорему. Теорема 2. Длл -энтропии компакта Х(З,э Хо, ЛХ) имеет,местно формула 1 , М т М ЛХх П(е; Х(Э„, Хо, ЛХ)) = 1о9 — +0(1о9 — 1о91ой — ). (15) 1ояг е е е 287 'з 3. Твбулирввот««в классов аивлитпичвскит фут«к««ий Злмвчлнив. Если рассмотреть подкласс функции класса А(Э,; «т«), состоящий из функций, принимающих вещественные значения, то длина оптимальной таблнпы будет в лва раза меньше. Следовательно, для этого класса в оценке (15) 1ок т нужно заменить на 2 !ой т (см.
]36]). 2. арабу««ирование функций Бесселя. Изложенный метод табулирования аналитических функций широко используется в вычислительной практике для табулирования различных специальных функций. В и. 6 33 гл. 2 бегло рассмотрен обширный класс гипергеометрических функций. ь1астнь«к«случаем этого класса являются функции Бесселя. Из свойств общей гипергеометрической функции рГд вытекает целый ряд результатов о функциях Бесселя. Эти же результаты можно вывести и непосредственно, отталкиваясь от дифференциального уравнения, которому удовлетворяют функции Бесселя, либо используя их интогральные представления.
Если чигатель знаком именно с таким аспектом теории этих функций, он может не обращаться к вопросам, связанным с более общим классом гипергеометрических функций. Огромное число таблиц функций Бесселя и их интегралов имеется в [73] Все эти таблицы такого же типа, как рассмотренные выше. Мы приведем таблицы для двух функций —. 7о и Ио.
Функция л 1,(х) целая и определяется рядом э «4)ь х~'--~«г(~-, +ц' ь=о Для этой функции известны коэффициенты разложения в ряд по много- членам Чебышева 3 (ах) — — ( — 'Я) ~а„Т„(х), т Е 7о, и=о «де е„( — 1)" (а««4) " ]'1«2+ и; а '«] и! Г(п, «« -у 1) «1+ 2п., «'+ 1+ п~ 4 / Здесь;„= 1, если и .— —. О, и е„= 2, если п > О. Функция «Ез была определена нами формулой (2.3.70). Характер убывания коэффициентов а„соответствует тому, что,у,,(«г)л ' целая функпия.
Функции 1' (щ) имеют особенность прн щ =- О; мы рассмотрим только функцию Уо(щ). Известно, что Ио(т) = — (; — 1«« -' ],7о(щ) — -И'о(т), к ' 2 «« где у — постоянная Эйлера, Ио(л) целая функция, степенной ряд для которой мы не выписываем. Отметим, что 2 т аяэ 1о(ащ) = — ~ у + 1п — 1.7о(««х) - ~ ~биТз„(к), О < т < 1, к ' 2" э=о 288 Глава 4. Теория табряирооаиия и е-энтропия где 2еи(а/4)оо( — 1)о+~ с ( — 1)ь(асс2)~а(п + 1/2)вбита я(п!)з (и+1)а(2п — '. 1)ь)с) Ьо —... О, йа —.
2 у ~, если а ) О. Здесь (гс)а -- сдвинутый факториал, э=с определенный в и. 6 8 3 гл. 2 (см. 173)). При больших значениях х можно построить аналогичные формулы для разложения по многочленам Чебышева от х Подробности можно найти в )731, а здесь приведем окончательную таблицу (табл. Ц. Таблица 1 Коэффициенты разложения в ряд по многочлепам Чебышева функций уо(х) = ~ а,.Тэ ('— ), Уо(х) .— —. — (н+1в — ),Уо(х) .. ~ 1ы7~„( — ) ° =о =о п аси — 8(х(8 Ь, 0<э<8 Глядя на эту таблицу, испытываешь огромное удовлетворение от того факта, насколько компактно представлена информация об этих функциях.
Раньше таблицы функций Бесселя строились по тому же принципу, что и таблицы тригонометрических функций, и они занимали больше моста при значительно меньшей точности. При самом грубом подсчете точность приведенных таблиц можно определить воличипой 2.10 зо, если с необходимой точностью определять функции Ть(х). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1о 16 17 0,15772 — 0,00872 0,26517 — 0,37009 0,15806 --0.,03489 0,.00481 — 0,00046 0,00003 — 0.,00000 0,00000 --0,00000 0,00000 — 0,00000 0,.00000 — 0,00000 0,00000 — 0,.00000 79714 74890 11956 34423 52852 22129 96132 03336 80987 49938 72649 77903 71023 32097 26128 37694 11408 88516 9!800 69467 60450 06261 66206 27505 24603 28821 00508 17619 46907 76215 00760 81635 92419 00026 79253 53056 00000 78486 96311 00000 01943 83469 0001Ю 00041 25321 00000 00000 75885 00000 00000 01222 00000 00000 00017 — 0,02150 -0,27511 0,19860 0,23125 — 0,16563 0,04462 — 0,00693 0,00071 — 0,.00005 0,00000 — 0,00000 0.00000 — 0,000<Ю 0,00000 — 0,00000 0,1ЮООΠ— 0,00000 0,00000 51114 49657 55061 81330 43518 79146 56347 02554 15556 27461 09021 80210 59817 13650 41312 13795 40669 28217 22862 91523 18829 91174 03752 30309 39250 79722 93939 30764 93288 10848 01384 57181 23009 00050 51054 36909 00001 52582 85043 00000 03882 86747 00000 00084 42875 00000 00001 58748 00000 00000 02608 00000 00000 00038 290 Глаза 4.
Тготт табулирооанал п г-энтропия 3. Табулирование периодических функций. Рассмотрим вопросы табулирования еще одного важного класса аналитических функшш, состоящего из 2х-периодических функций вещественной переменной х, допуская>щих аналитическое продолжение на полосу = х + 1у, у~ < Ь, — оо < х < ж) и ограниченных в пей константой М.
Обозначим зтот класс через УХ'(У: ЛХ, Ь) либо просто через УХ'(ЛХ, Ь). В качестве метрики на классе 1г'(ЛХ, Ь) введем величину »( Х, у) = шах,' Х(х) — у(х)' =, Х вЂ” у~, Х, у е УУ(М, Ь). 0<к<эк Полученный компакт будем рассматривать как подмножество пространства М' (У). Произвольную функцию Х Е 'Я'(ЛХ, Ь) можно разложить в ряд Фурье: Х(х) = 2 а„ехр(1пх).
Один из методов табулирования а=— этого класса основан на следующем предложении. Предложение 3. Если Х е 1У(ЛХ, Ь), то длл ноэффициентоо ее рлда Фурье и ест место оценка а,: < ЛХ ехр( — (и, Ь) . (18) Доклзлтвльство. Еыи и > О, то по теореме 1(оши 1 1 а = — / Х(х)ехр(--гпх)дх= — / Х(х - тй)ехр( — гпх — пЬ)дх. Теорема 3.
Длл е-энтропии компакта УХт(о>; ЛХ, Ь) имеет место формула 2 ЛХ ЛХ ЛХ Н(в; М'(о~; ЛХ, Ь)) = 1ой~:+ О(1о8 — 1о81о8:). (19) Ь1ояе г Совертаепно ясно, что если брать в качестве таблицы функции набор ое прибли>конных значений в узлах *>кд хз =- о+ 2 — 1 > = О, 1, ..., 2п — 2, Отсюда ~а,„~ < ЛХехр( — пЬ), и аналогичное неравенство с заменой п на ~п~ будет иметь место и при п < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
