Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 56
Текст из файла (страница 56)
ч а3й 3=1 3 (19) й, а й Г (63 — ,'С() дои(хй -- 1Э; ) ~-63 / 8, дхо 3 1 3 й 3 Выражение для Щ, называется остаточным членом аттроксимацигч / и легко видеть, что Лй = 0( '3 63 . В этом случае говорят, что остаточ- 3:.1 ный член имеет второй порядок.маоосгпи. Формулу (19) можно записать для любого узла х", лежащего внутри 1. Для граничных узлов имеем ий = у(х~) =,рй, хй е. В1. (20) Отбрасывая в (19) остаточный член аппроксимации, получим систему Потребуем, чтобы функции а (х) и ц(х) были гладкими, скажем из Соо(1), и, кроме того, шЕ и,(х) > 0 (23 = 1, 2,..., 1), д(х) > 0 (х Е 1). ясг Мы рассматриваем задачу в интервале 1 исключительно ради простоты, чтобы сделать изложение компактным.
Допустим, что решение и С 11;",,(ЛХ; 1), причем 3 = (г, ..., г). Если т > 4, то обычный ход рассуждений при разностном методе решения задачи следующий: вводим в 1 сетку с шагами 63, ... „6п и аппроксимируем уравнение (18), производя переход от дифференциальных операторов к разностным, используя для этого значение решения в узлах. Пусть узлы сетки имеют вид хй = (аг+ 6363, ..., а3 - 636|), где 6 = (63, ...., 63) . — ъультии33декс, 6 = (6, — ао)3п3 (3 = 1, ...., и). Обозначим через е, мультииндексы следующего вида: е, = (О....., О, 1, О...., 0), причем единица расположена на у-м месте.
Введем обозначения ий = и(хй), 1й = 1(хй), аэй = ау(хй). Используя формулу (2.2), имеем 266 Глава Я. Элементы теории ириблиясений линейных алгебраических уравнений на множестве внутренних узлов: — ~ —., (оь+,, — 2оь+иь,,)+уьиь = (ь, х 6 1п1 1; (21) , Ьз уравнения (20) дадут необходимые граничные условия; (22) Докажем, что система (21), (22) имеет единственное решение. Пусть Х = (х": х" 6 1) -- множество узлов. На множестве узлов Х будем рассматривать функции уи Х К, уп х" ~ — ~ фь, которые будем называть сеточными функциями. На множестве сеточных функций введем отображение .У, которое переводит сеточную функцию в сеточную же функцию, но определенную на внутренних узлах: .У: ф г д.
Это отображение строится по правилу если х -- внутренний узел. Предложение 6. Если (.Уи)ь < О, х" 6 1пг 1, то неотрицатпельный максимум функции и Оостигается в граничных узлах. Доь азагкльство. Допустим противное, и пусть неотрицательный максимум достигается во внутреннем узле х"'. Рассмотрим неравенство (Уи)ь < О. поскольку пь,е,, < оь, (~ = 1, ..., 1), то (.Уи)ь > О, причем знак равенства достигается., если оь, = оь, и (1 = 1, 2,1) чь, =- = О. Но тогда., рассматривая неравенство (2'и)ь, < О в узлах х""еец либо придем к противоречию, либо мощность множества тех узлов, где о =- иь„увеличится. Повторяя вто рассуждение, получим либо противоречие, либо ои, —. сопв1, ди, =- О. В первом случае получим неравенство пь < шах иь, которое сохраняет силу н в том случае, если оь .—..
сопви Б греет Предложение Т, Для ртиения системы (21), (22) имеет, место неравенство ,12 иь~ (~ шах ~уь + — шах (23) *сваг 2А *~ежи ' где д — диаметр области 1, А —.. ппп 2 а ь. хгегу — г Доклза гнльство. Пусть щ сеточная функция: км х" ~ ~ (И ц — ст)г, 267 З 7, Онесскп поперечоикоо (У(п + ы))„— — (ь + (Упу)ь — — (ь + Л(Ксо)а — (УВ)ь. с Но легко видеть, что (Ысо)а = — 2 2,' а ь -ь сСасоы Поэтоксу с=с (У(сс — ь~))„— сь — 2Л Х ась — с4ь(Лось — В). Пусть ЛХ = шах (ь > О: положим Л = с11/(2А), В = Л снах ос.
Тогда (.хо(сс+ ооес + 1!)) „< О и. согласно предложению 6, пь — ' ь в < шах (ссь + Лись ~ — В, иоеос н, подставляя в левую часть ф —. Лас — В, мы видим, что константа В пропадает и получается неравенство сз пь < шах сь —, — шах и'еас 2А кеес и с Умножая систему (21), (22) на — 1 и применяя подобное рассуждение к функции — п~:„получим для пь неравенство противоположного знака, а тем самым неравенство (23).
П Следствие 1. Если и 6 Х; (М, 1) (т — (4, ..., 4)), то погрешность на сетке приближенного решении задачи (18) оиениоаетси следдсонсилс образом: < " у с о=с (24) Доказательство. Положим иь -- мь = ыь„вычтем из соотношений (19), (20) соответственно соотношения (21), (22). Тогда получим (Ысо)ь = — Ка, м~ к Ы!; ось = О, м~ с д1. (25) Оценивая правую часть и применяя предложение 7, получим неравенство (24). П где с = (сс, ..., сс) е 1. Введем сеточную функцию ссУ = лш — В, где Л, В - константы, которые будут уточнены в процессе доказательства. Пу.сть со = и -!- и; тогда Глава оц Элементы теории прволиокений Допустим, что и Е И'" (ЛХ; 1), где г = (г, ..., г)., причем г > 4.
Тогда 11е ограничивая общности, будем считать, что длины сторон интервала 1 соизмеримы; поэтому можно выбрать шаги сетки равными 61 = ... = = 1О = 6. Тогда 6' ' д' Вь =-. — — ~ ~а ь( л) —:а(6-), и если ввести сеточную функцию ~, являющуюся репзением системы де (.У~)ь = ',~ аоь ( ) , х" й 1пе Г; ~ь = О, х е д1, (26) 1=1 о то, как это следует из предложения 7, 6з иь — пь = — Се+о(6 ). 12 Заметим, что если г > 6, то система (26) может быть получена как дискретизация краевой задачи де де а -Еш= У а л, ш=-О, х Гд1, 'дх 'дхй' ,=1 о о=1 (27) Следствие 2. Ривностнмй метод реиееиия краевой задачи (18) насьпоаем О ~~. Хотя наш анализ относится к конкретной краевой задаче, но утверждение о насыщаемости справедливо для разностных методов решения с правой частью из Сч[Г, где а > '2.
Решение краевой задачи (27). как известно, существует и четырежды непрерывно дифференцируемо в 1, за исключением вершин интервала, В этих вершинах вторая производная ео может уже иметь особенность, характер которой мы опишем позже, в главе о разностных методах, а сейчас только отметим, что, несмотря на эти особенности, при разностной дискретизации задачи (27) мы получим остаточный член порядка о(1), Поэтому ~ь =.- ш(хь) + о(1), и, следовательно, аь — пь .— — !о(х ) -'- 0(6 ), х е 1пс 1, 6 12 Таким образом, мы установили, что погрешность на сетке приближенного решения имеет главный член. Л отсюда вытекает важное 289 З 7, Опенки поперечников краевых задач самых разных типов. Нас ы щ а е м о с т ь — эт о большой дефект разностных методов.
Возвратимся к оценке (24). Из сказанного следует. что она не завышена. Если мы обозначим через е погрешность приближенного решения, то = 6~. С другой стороны, функция и е 1т;"„(ЛХ; 1) при г = (4, ..., 4) требует для приближенного представления с точностью е число узлов па — ]1]]6 а)би = 1 6 (28) С другой стороны, решение и получено с точностью е на сетке с числом узлов п=П(',"+1) = " ' о=1 азь(иь е, 2иь иь — е,)+6 чьоь =" 6 Б -Е г=1 иь.— ' ь л бд1. ь л" б1пс1; Эту систему мы будем решать на ЭВМ, и поэтому сразу же возникает вопрос: с какой (абсолютной) погренгностью нужно находить решение? Если точное значение оь получает приращение бил, то в силу случайного выбора знаков этих приращений правая часть изменится на величину ~ауь(]биь+е,] + 2]див] ' див — е,]) + 6 Чь]биь ° Но правую часть мы вправе изменить па величину О(6ч), ибо иначе нарушится оценка ]24) Таким образом, складывается противоречивая ситуация: приблигсенное решение определлет точное региение с погрешностью О(6г), но само приблиокенное решение лен оынузсдены опредеалть с точносшью О(6ч).
Сравнивая необходимое число узлов с фактическим, мы видики что и х п~~. Такигл образом, в разностпых методах имеется колоссальное превышение фактического числа узлов нвд необходимым из соображений точности. Это же можно сказать и иначе: величина погрешности, получаемая при разностном методе решения задачи. не соответствует объему сетки. Указанные два недостатка сильно снижают ценность разностных методов и объясняют ту тенденцию, что вычислители стремятся работать с разностными схемами высокого порядка точности, когда указанные дефекты сглаживаются (но не исчезают). Например, точность 6~ получена в ]228, 242]. Рассмотрим еще один аспект изучаемой проблемы. Когда 6з .=-... = — 1н = 6, уравнение ]21) можно еще записать в виде 270 Глава Х Элелееитм теории ирибливееиий Таблица 1 Номер узла но Х1 Разноствое решение Точное решение Интерполяция 1,62 1,67 1,71 1,75 1,63 1,68 1,72 1,76 1,81 1 59 1,64 1,68 1.,73 1,77 41 42 43 44 45 0,5 2,50 2,64 2,78 2,93 3,07 2,63 2,77 2,92 3,06 3,21 2„60 2,74 2,89 3,03 3,16 41 42 43 44 0,75 3,81 4,17 4 58 5,02 5 50 4,04 4,52 5,03 5 53 6,04 41 42 43 44 45 415 4,о7 5,00 5,48 6,00 0,9 41 42 43 44 45 5,18 5.,83 б,о9 7,48 5,15 5,80 6,55 7,43 8,44 4,94 5,94 6,98 8,05 9,12 Таким образом, если мы будем выводить на печать таблицу решения, нужно его правильно округлить.
Спрашивается, можно ли распорядиться той лишней информацией, которая содержится в таблице приближенного решения оь? Если можно построить две геометрически подобные сетки и получить решения па каждой нз них, скажем ив и иь, то пожив но взять подходящую линейную комбинацию величин иь — ив~ и иь — иь, исключить главный член погрешности и тем самым получить решение с большей точностью. Но в криволинейных областях построение подобных сеток не всегда возможно. И наконец, последнее замечание. Ввиду несоответствия между числом узлов и величиной погреепности приближенного решения таблица величин иь, избыточна. Достаточно значения этих величин иметь на более редкой сетке объема ЯЬ '~г узлов и затем с помощью интерполяции восстановить таблицу на исходной сетке, если это необходимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
