Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Состоит он в следующем: область определения функции и:  — э В., В Г. 1ь~ делят на более мелкие непересекающиеся т подобласти .Вп ..., В,„так, что  — -- ( ) В . у=1 Спявг1н-фрнкцией называется такая функция Х Е С(1Х, для которой ее сужение на В (1 = 1, 2, ..., т) является многочленом. ПРимем обозначение Х =. Х, ;О .—" 1, 2...., гп); если Хг Е фшо то мы будем говорить, что задан сплайн сшепсни т. Можно рагсматривать сплайн-функции, составленные из многочленов, принадлежащих подпространству гг„.
Ясно, что достаточно богатый набор сплайп-функций Х е С(Ху), отличных от многочленов, существует лишь при очень жестких ограничениях на структуру областей В (1 = 1, 2,...,т). 24О Глава Я. Элементы теории приближений рг("ь че) =бь ~=й — И2, й — ! I2)+1, ",у+ ~'!Т. (1) если г -- нечетное число и ~гС2' < с < и — ~г/2,: рг(хь:, ьс) =б;, Й = с — (г,С2), з' — (гсс2) си1, ..., 1'+ (гсс2) — 1, (2) если г — четное число и (г,С2) < е' < п — г,с2' + 1.
Если же е < ~г/2) или с > п — (г/2) в случае нечетного г либо с > п — ~гсс2) ч 1 в слУчао четного г, то УсловиЯ (1). (2) видоизменЯютсЯ. Они принимают следующий вид: р,(хгб () — ",ы 1с — -- О, 1, ..., г — 1, если О < 1 < ~гсс21 — 1: р (хьс ~) — - ~ь, /с = и --г — 1, и — 'г+ 2, ..., и, (4) если и, — (г/2) < у < и, при нечетном г и п — (г(2) ч- 1 < с < и, при четнолс г. Лигранжее сплайн Г(х; Я) определиъс соотношениями С),! рг(х: 'С): 7 — "" 1 (б) где 1 =- (х ..
м х 1 По построению ь(х; че) С СЯ; этот сплайн можно назвать одномерным. Р!еренесем эту конструкцию на 1-мерный случай. Возьмем интервал У = (х й В.'; и < х.; ( Ьг, 1 = 1, 2,..., 1). ПостРоим в пем пРавильнУю систему узлов, получающихся в результате пересечения гиперплоскостеи: :,, = хс', 1с = О, 1....., ьм а = хо ( х~~ <... < хи ' = д, с="1,2, ...,1. В ряде задач необходима повышенная гладкость сплайн-функций и требуется, чтобы 1 ~ С" (Р) (г > 1). В дальнейшем сплайн-функции мы будем именовать просто сплайнами.
Сплайны дают не только удобный аппарат при конструировании численных алгоритмов, по и естественным образом возникают в различного 1юда экстремальпсях задачах теории приближений как экстремальные элементы. Вначале опипюм одну тривиальную конструкцию сплайп-функций, которые мы будем ниже именовать лагранжевыми сплайнамп. Пусть Р =- 1 .=- (о, б) с Н., и на отрезке 1 выборем произвольным образом узлы хо, ..., х„так, .что а =- хо < хс « ... х„—... 6. Пусть Х =- .—... (хо, ..., х„) —.
множество узлов. На множестве узлов Х определим функцию с: Х ч Н, с; х„ьч с,. Впрочем, природа величин сг несущественна -- они могу.т быть элементами произвольного линейного пространства над полем вещественных чисел. Зададилсся целым числом г > 1 и условимся обозначать через р.(х; С) интерполяционный многочлен Лагранжа, удовлетворяющий условиям 'З 6, Сплайн-интсрполнцил Если и = (11, ...., Й~) .. мультииндекс, то через х" будем обозначать узел (х ', ..., х '). Всего мы получим п узлов, где а = и (и + 1). =г Построение лагранжева сплайна произведем индукцией по размерности интервала.
Допустим, что мы уже построили сплайны для произвольного интервала размерности 1 — 1 по заданным узлам и заданному вектору (гг...., г~ г) с целочисленными координатами. Этот сплайн является ку.сочно полиномиальной функцией, причем, рассматривая его как функцию переменной х, при фиксированных остальных переменных, мы получим одномерный лагранжев сплайн, построенный с помощью полиномов степени яе больше г. — 1. На множестве узлов Х вЂ” — (хь) зададим функцию С: х" ыг Сь. Рассмотрим сечение 1сч интервала 1 гиперплоскостью хз — —. х,'; 1вч будет ь~ 1-- 1-мерным интервалом. Положим х = (хм..., х~ ~),.
и — —. (/«и ..., )«,,), * = (х, х ), й = (й, 1-,), хй = (хг', ..., х~','). В интервале 1ь, лежат узлы (хь, х~'), и на множестве узлов определена функция «1м: (х х~ ) 11ь,юр В 1ь, по вектору (гг, ..., г~ г) и функции ць, построим сплайн Ьь,(х; йг,) (Й~ = О, 1, ..., п~) такой, что степени многочленов по переменной х, будут не больше г — 1 О = 1, 2, ..., 1 — 1).
Пусть хо -- произвольная точка в проекции 1 на гиперплоскость х~ = О. Прямая х = хо пересекает гиперплоскость (х: х~ =. х~') ()и = О, 1, ..., п~) в точках (х, х~'), и поэтому на интервале (х, хЫ х = хо, оа < хз < б~) мы имеем ги + 1 точек, в каждой из которых нам задана величина 1~,,(хо, йм) — —. — -- ьь, (Йг — О, 1,..., гн), Задавая целое число и и используя приведенную выше одномерную конструкцию, построим сплайны 1(хб ~), где С =- = (Ьо, ..., ~„,). В силу произвольности точки хо мы построили кусочно полиномиальпую ф1л«кцию 1(х; ~) = 1(хб (), ~ = (1о(х; йо) -, бт(х; цт)), (6) которая непрерывна.
принимает в узлах предписаннгие значения и на кажДом частичном интеРвале (х: х.' < хг < хн, (1 .— —. 1, 2, ..., 1) является многочленом, принадлежащим пространству многочлеяов си„(г = (гг, ° ьз)). Докажем несколько простых теорем об уклонении лагранжева сплайна от интерполируемой функции. Предположим, что узлы, по котов,~'-1 ь, рым будем строить лагранжев сплайн, равноотстоящие, т. е. х ' — х.' = = 61 (1 = 1, 2, ..., 1).
Рассмотрим вначале случай 1 = 1, когда 1 = (х: а < т, < 6). Пусть 1 Е И",(ЛХ: 1). Непосредственным следствием теоремы 5 ЗЗ является следующее Предложение 1. Пусть 1 ~ И" (М; 1) и хг —— а+ 6 1 (1 = О, 1, ..., и), где 6 = Я вЂ” а)(п. Каков 6ы ни был вектор с = (бо, ...,,«„) Глава Я. Элементы теории приблихсений для О < з < и для х б 1 выполняется неравенство причем, если з ф О и х = х под Е О(х;,«) можно понимать любую из величин 1пп В~О(х; с), 1пп Х ОО(х; «).
а„' ае Доклзлткльство. Нужно рассмотреть разность Х(х) — Цх; С) на частичном отрезке 1 = [хз ы х ' и воспользоваться теоремой 5 33. Поскольку многочлен Ь(х; «), строится по г узлам, то в неравенстве (3.36) в нужно положить и = г, б — а = (г — 1)Л, и мы получим неравенство (7). сз Перейдем к общему случьпо, Пусть Л = (0 — а )и О = 1, 2...., 1). Предложение 2. Если 1 е И" (М: 1), то для х е 1 (Х(х) — Цх; «)~ < ЛХ~ Л,....
ЛоЬ,'и-, (га — 1)"' га ! +ЛХ Л Л Л"'+ + $1 Лпм + Лс, Л,, гаахфх~) — «а~. (8) Доклзлтьльствсь Проведем его индукцией по размерности интервала. В том случае, когда с1цп1 = 1, неравенство (8) вытекает из (7) при з = О. Допустим, что (8) справедливо, .когда 1 = 1 — 1. Согласно предположению индукции, ~~(х, х,') — Хлз(х; йа)~ < ЛХ,, Л„,...Лп .Ла+... а, —,, (" 1) ' ( -- 1)"-' Из (7) в силу (6) следует неравенство ,1(х) —.ь(х; (), ,'< ЛХ~ Ь,' Е Л~«пах',Х(х, х,,') — Ха,(х; «1а,)~, откуда в силу (9) вытекает неравенство (8).
243 'З 6. Сала!1н-иитграаллиил Следствие. Если Дх) 6 И" (ЛХ: 1) и Д(х") = 0 во всех рзлах х ', то ~У, < Ат ~ И;Ь,". где константа А, зависит только от г. Доказя гкльсгно. Полагая б = 0 и обозначая через А„максимальную из величин (г1 1) Ъ (гз 1) (г — 1) ' г» о ! »» ! получил! из (8) неравенство (10). Замечания. Построенный сплайн зависит от того порядка, в котором мы рассматривали оси,г,п ...., х!.
Ко»!ечг!о, »!онаго посгроить сплайн., который будет инвариантен относительно произвольных перестановок осей х!,, х!. Для этого нужно построить сплайны, отвечающие всевозможным перестановкам, и затем их усредпить по всем перестановкам осей, Предложение 1 будет играть существенную роль в вопросах численного дифференцирования, а предложение 2 будет использовано при оценке поперечников сверху. 2. Общие полиномиальные сплайны степени»п дефекта к, В-сплайны, Перейдем к рассмотрению некоторых теоретических вопросов традиционной теории сплайнов. Само слово»сг!лайн» английского происхождения и означает длинную тонкую гибкую рейку, с помощью которой раньше чертежники проводили плавные кривые, проходяпще через заданные точки.
В период, когда ЭВМ еще не получили широкого распространения, этот способ построения плавных обводов различного рода тел, таких, например, как корабль, фюзелягк самолета, крыло самолета и т.п., был широко распространен в практике кораблестроения, самолетостроения и т.п. Появление ЭВМ и нх широкое распространение позволили перейти к новой прогрессивной технологии, отказавшись от плазвво-шаблонного метода, когда форма конструируеъкжо обгекта задавалась с помощью набора его очень точно изготовленных сечений плазов. Теперь форму изделия можно описать аналитически с помон!ью сравнительно простых интерполяционных формул, и мы можем восстановить его облик с помощью такого аналитического описания.
При обработке изделия на станке такое аналитическое описание позволяет управлять движением режущего инструмента и очень точно его изготовлять. Ясно., что такое аналитическое описание внешних контуров предметов (это сводится к заданию двумерных поверхностей в Й. ) должно быть очень экономным. Поэтому обычно поступают так: задают координаты небольшого числа опорных точек, легкащих на поверхнос*и предмета, и через эти точки проводят плавные поверхности.
Именно так поступает конструктор при проектировании изделия, и в этом процессе имеется неформализуемый момент. Глава Х Элел«еитм теории ириблиоте»1ий Обьгчно под «плавными поверхностяхш» подразумевают поверхности, удовлетворяющие тем либо иныл« эстетическим требованиям, которые сутубо индивидуальны. Процесс конструирования, как легко понять, является процессом итерационным, и, остановившись па некотором варианте, конструктор получит четкое аналитическое описание внешних обводов. Указанную задачу построения кривых и поверхностей решают сплайпы.
Использование лагранжева сплайна на редкой сетке нецелесообразно, так как мы получим ребристые поверхности. и поэтому глечует использовать сплайпы, удовлетворяющие дополнительным условиям гладкости. Такое уеловие гладкости возникает и в процессе дискретизации краевых задач, решаемых вариационными методами, когда пространство допустимых функций состоит из функций соответствующей гладкости.
Пусть ! = [а, 6[, хо ... х„— узлы па 1, причем а = хо < х1 < «... х„= 6. Функцию ов,(х) назовем полиномиальимм сплойнол«степени т дефекта lс, ес»и»' (т)[, и ее т1, 11 = [х1 1, х1), 1 = 1, 2, ..., и, и и если от(х) й С "[а, 6[. Понятно, что сплайн зависит от выбранных узлов, и мы в дальнейшем зафиксируем узлы и не будем упоминать о зависимости от них. Множество сплайиов степени не больше т и дефекта й будем обозначать через Ь ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
