Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Таким образом, по существу, мы имеем дело с одним методом приближения, пригодным для всей совокупности компактов (Ху) ез, причем ограничение этого метода на компакт Хз порождает метод приближения (р, ),еи Допустим, что существует такой индокс Зо Е .1, что метод 2РО Глава Я. Элементы теории прибливюений приближения (ее~%ее имеет погрешность б,(1), т.е. соответствующая величина сг" (т) удовлетворяет соотношениям (35), (36). в которых вместо б(е) нУжно подставить бг,(е).
ЧеРез Хом обозначим соответствУющий тривиальный класс, определяемый соотношением (36). Будем говорить, что метод приближения (р~е),ег насьгщаем,. если для любого у1 ~,У, 7о М 71 в компакте Ху' найдется хотя бы один элемент к й Хг', для которого выполняется соотношение л 6 Хм 1 Хо . Компакт Хте будем называть компактом наеыщепил, а погрешность б „(1) погрешностью насьещенил. Понятно, что насьпцаемость метода это болыпой его дефект, так как погрешность приближения не уменьшается с улучшением аппроьсиматпвных свойств компакта.
Приведем примеры насыщаемых методов. Рассмотрим приближение компакта УР" (М: Е) =. Ж'" (М) Ш (т' й С(У); 'ьД < Ц. Теоремой 9 з 1 опредолен метод приближения, оптимальный на классе Ф" (М). Допустим, что г — четное и существует функция /о, для которой уо —./ 1 — — о(п ). Из формул (1.33), (1.34) вытекает, что если ./о(к) =- — + ~ (аасовйт+Ььыпйк). 2 а=1 то ае : '. = — /!Ь( ) — 1'„л( ),:, Ьд . к / Аналогичная формула имеет место для й-го синус-коэффициента Ьеп если в интеграле заменить сов йт на вш Йк.
Учитывая, что .=. О при четном г, мы из формулы (34) получим 1ш1 и" у„'ь = 2й" ~ ~(--1)ы~(21) ые Поэтому аь = Ьл = О при й = 1, 2....., и, следовательно, Уо = тао/2. 2я 11о компакт 'Ф" (М; ь) з 'й' (С„, „М; Г)., где С, ' = — ' /' ~еее(е) ~дС, при о произвольном т ) г. Таким образом, этот наилучший метпод приблиоесенил по классу оказыеаетсл наеыщаемым, Классом насыщения служит класс тг'", а погрешность насыщения определяется величиной и Если г --. нечетное, то предположение д — е-„" о — —. о(п " з) влечет /о = сопв~,. Таким образом, и в этом слу еае наилучший метод приблиоесенил по классу окавыоаетел наеыщаемым.
Мы предлагаем доказать это читателю. 211 Ь 3. Интерполяция 3 3. Интерполяция 1. Алгебраическая интерполяция. В и, 4 Э 1 настоящей главы были введены интерполяциояные многочлепы Лагранжа для интерполирования функций одной переменной. Формулы (1.13) и (1.16) определяют эти многочлены в случае интерполяций алгебраическими и тригонометрическими многочленами. Как указывалось выше, этими же многочленами определяются проекторы Р: С;"а, Ь' и,У„, и Т„: С(Я1„' — и Хии причем Р„: /' —. р(х; г) и Т„:,Г -и «(х, «). Построение теории лагранжевой интерполяции производится совершенно одинаково как для интерполяции алгебраическими многочленами,.
так и для интерполяции тригонометрическими многочленами. Поэтому рассмотрим вначале интерполяцию алгебраическими многочленами. При практическом использовании лагранжевой интерполяции огромное значение имеет зависимость нормы оператора Р„от и. Предложение 1. Норма оператора Р„мооюет бьипь вычислена по формуле ~'Р ' = шах ~(«й(х) . (1) а<а<6 1= — 1 Доклзатвльотво. Из формулы (1.13) вытекает, что 'и и р(Х: «)( < 1иаХ~ЯХ«)~ ~)«ай(Х) < )Д ~(«„й(Х)!. й .1 й=1 11оэтому Ьр(: ф),.
< 1пах ~ /«„й(х)!. а<а<6 й:-.1 (2) п и Р(х ' .Го) = ~~' «й(х )Хо(хй) = ~ !«й(т )/ й=1 й=1 откуда !р(.; Уой > шах ~,«„й(х) . ,:„«О', . а<а<6 6.—.1 Сравнивая это неравенство с (2), получим (1). С другой стороны, пусть х, е [а, Ь) — точка, где достигается максимум функции 2 «ий(х)~. Пусть ей = вйп«„й(х,) (Й = 1, 2, ..., и); 1=1 построим функцию «о ~ С(а. Ь) такую, что Д(хй) = вяп «ай(х,) (Ь = 1, 2, ..., и) и Ь«оае = 1.
Тогда Глава Я. Элементы теории приблиаееиий Норма ]]Р„' называется еще. константой Лебега и обозначается через Л„. Понятно, что константа Лебега не зависит от длины отрезка интерполирования,а, 6], а зависит лишь от относительного расположения узлов на пель В самом деле, полагая х = о+(6 — а)(у —,1)!'2 (у й ] 1 1]): х!,.
= а + (6 — а)(уь + 1)/2 (Й = 1, 2, ..., и), получим щах ~ ,'! ь(х)] = шах ~]!иь(у)], ь=1 ь=1 б = п1ах ~~~ ве!пь(х) ь<и<Ь ь=! Если допустить, что ,'еь' -- е (й = 1, 2, ..., а), то при соответствующем неблагоприятном сочетании знаков величин еь мы получим, что зто дополнительная погре|пность б = еЛи. (3) Через константу Лебега оценивается н норма уклонения функции от ее иптерполяциопного многочлена.
Предложение 2 (о ядре). Пусть Е с .У(В, С) — линейное отображение, где В, С вЂ” бана еовм пространства и ]] ~, ]];й — пореем в них; пусть Л! 'нег Е. Тогда длл любого х б В ],Ех 1 ( ]]Е] 1и! ]]х — у'. гем Доклзл гкдьство. Если у с Л! с нег Е, то Е(т — у) —. Ет.. Позтому ] Ех]]1 ( ] Е]] ',:г — у]], сакуда в силу произвольности у и получим неравенство (3). Б Следствие (неравенство Лебега). Если (' й С[а, 6], гпо У вЂ” р(.;Х)] < (1+Л )В„Ф. (б) Доклзлтйльство. Пусть В = С = С]а, 6]. Рассмотрим оператор Е = ! — Р; очевидно, что,",!.]] ( 1+ Л„, а ]гег! = ог„, Из (4) следует неравенство (5).
Ц где 1„ь = Ц ,=1 "' гиь Если мы используем интерполяционный многочлен р(х; !) в качестве приближенного выражения для функции (, то помимо той погрешности, которая возникает от замены фу нкции интерполяционным многочленом. возникнет еще погрешность от того, что значения в узлах интерполируемой функции берутся неточно. Пусть в узле хь зта погрешность будет равна ее. Поэтому суммарная дополнительная погрешность равна 213 'з 3. Интерполяции Если рассматривать интерполяцию тригонох1етрическил1и полиномами, то очевидно, что 2п — 1 ',Т„= шах ~ 1тьь1х) ~.
В <х<2х 1=1 16) Эту норму мы будем называть также константой Лебега и обозначать через Лгв..1. Иеравенство Лебегв теперь примет вид 1 — 2(: 1)! < 11 — Ля„,)Е„,,~У). ,'р~ < Л„шах~р1ль)~. 17) Это неравенство может быть полезно в некоторых вопросах численного анализа. 2. Задача об оптимальных узлах интерполиционной формулы. Соотношение 13) и неравенства 15), 15') приводят к задаче об оптимальных узлах интерполяционной формулы, т. е. о таких узлах, для которых константа Лебега Л„минимальна. Для малых размерностей и = .— -- 2, 3, зту задачу нетрудно решить, и, в частности, при п — -- 3 мы получим, что оптимальные узлы имеют вид л1 .=- —.б, ля =- О, лз .= б, где С произвольное число из отрезка ф81'3, Ц. Отметим, что оптимальное значение константы Лебега Лг = 5/4.
Если узлы совпадают с нулями многочлена Тз(л), то соответствующая константа Лебега равна 5/3. Проблема о выборе оптимальных узлов поставлена С. Н. Бернштейном 129]. Приведем некоторые факты в связи с втой проблетиой, Несколько изменим постановку задачи и предположил1, что узлы расположены на 1а, 6), причеьи для удобства узлы обозначим через ~ь 1к .—. 1, 2, ..., и). Будем считать, что а = С1 < 52 « ...
С„= 6. Это требование повлечет единственность зкстремальных узлов. Рассмотрим открытый симплекс О=(антс '4=Ы2) . ° Ги — 1)~ П<(2< . <бн — 1<6). 1(онстанту Лебега интерполяционного многочлена с узлами Сь 16 = 1. '2, ..., п) обозначим через Лс и положим Л,1С) —.- шах ~~1„61л), 1.— -- 2, 3, ..., и. а-~ц*й« 'Ги 1 Заметим, что отображение;р; Я вЂ” К" 1, р: С 1 1Л,®) гладкое.
Имеется еще одно важное приложение интерполяционпого многочлеца н Лагрантка. Пусть 1 = р < <ив. Тогда р1л) = 2 1„ьр1хь), откуда 6=1 Глава Я. Элементы теории приблиоиений В (29) предпологкено, что ЛЕ минимально, когда выполнены соотношения (8) а П. Эрдеш дополнительно предположил, что имеется единственная точка с, и Я, для которой выполнены соотношения (8), и такая, что для всех С справедливо ппп Лг(С) < 1ггЕ Лч. чев В последнее время проблема Бернштейна решена; подробности пгтатель может найти в (127), В частности, было доказано, что если Ле = 1п1 Л4, то соотношения (8) вьгполггяются прп С = С„, т.е.
установлшга 4ея теорема, дающая положительный ответ на гипотезу, обратную к гипотезе Бершптейна. Далее, было доказано, что отображение уп Я вЂ” Но"'г, инг С о — 1 (Л,~.г(с) — Лг(с)), является гомеомор4гизмом 5 на Н" "". В частности, имеется единственная точка С, С Я, для которой выполняются соотношения (8), и, следовательяо, Лй = ш(ЛгБ тем самым гипотеза вез Бершптейна доказана. Гипотеза Эрдегпа следует из того, что неравенства (9) Л®<Л(г1), г=2,3,...,п, влекгт С = гь Для интерполяции тригонометрическими многочлеиами доказаны аналогичные фактьг, в частности установлено„что равномерное распределение узлов оптимально. Для интерполяции алгебраическими многочленами оптимальные узлы неизвестны. Заъгетнм, что наложенные выше условия а = Сг, .Ь = С„ несущественны, гак как 1п1 Л~~) не может измениться, если их снять.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
