Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Й Скорость убывания к нулю последовательности (Ь„(Х, С 'Р1) ) дает характеристику эффективности рассматриваемого способа приближения компакта. 3. Поперечник Колмогорова. При решении краевой задачи (1.1,5) мы встретились г проблемой аппроксимации элементов компакта с помощью элементов конечномерного подпространгтва. Этой задаче был посвящен э'1 настоящей главы, в том слу.чае когда в качестве подпространств выбираются подпространства ого, и Тг„п Улге простые примеры показывают, что, несмотря на те огромные преимущества, которые имеет способ приближения с помощью алгебраических многочленов, выбор .'У„в качестве аппроксимирующего подпространства далеко не самый лучший. 2ОО Глава о.
Элементы теории приблиоюоиий В самом деле, .пусть Х е И;" (ЛХ, :1в), Хв = ( — 1, 1'. Рассмотрим следующий способ пРиближениЯ. ПостРоим многочлен Р Е !Р„эч по УсловиЯм ХЫ( — 1) — рб>( — 1) . ХЫ(1) — рб)(1), о ... 6, 1...,, — 1, (1п) Если положить р(х) = 2 цьх", го очевидно, что Х~" ~( — 1) — г!о„= о::1 = Х4г В(1) +г!о„, откуда ~ХС.— ~(1) Х~ — ~( 1)~ Х ~йй(х)4т — 1;- — 1 1 Г 2 2 / и, значит, что г! ог~ < ЛХ.
Используя равенства (15), последовательно при Х = г — 2, г — 3.... вычислим все коэффициенты ыногочлена р. Очевидно, что функция принадлежит классу "Ф'", и поэтому по теореме 7 найдется такой тригонометрический полипом Х й 'ля ~, что у — 1~ . < Е,„ЛХи ". Полагая и = 2о — 1+ г — 1, из последнего неравенства заключаем, что 2, 2 Х(х) — р(х) — — 1(тх)~ < 2( — ) ХиХК„(п+2 — о)"'".
(16) Понятно, что р(х) -;- 2я '1(хх) определяется п 1 1 параметрами, и если и > г, то оценка (16) при г ) 2 много лу ппе оценки (1.46), которая в силу (1.48) не улутшаема, если рассматривать приближения алгебраическими многочлепами. Заметим, что оценка (16), грубо говоря, в два раза хуже наилучшей возможной. Хпгя оценка (16) и лучше оценки (1.46), огличие ыежду ними состоит лишь в константах, а порядок малости, определяемый величиной ЛХп один и тот же.
В численном анализе цри дискретизации задач вряд лн это различие может иметь существенное значение, но возможны случаи, когда приближение алгебраическими многочленами будет давать погрешность, отличающуюся по порядку от наилучшей. Это обстоятельство нужно учитывать.
и поэтому мы вынуждены рассмотреть вопрос о наилучшем выборе аппроксимирующего линепного подпространства или линейного многообразия. Так мы приходим к поперечнику Колмогорова. Пусть В банахово пространство, ЛХ" его и-мерное многообразие.
Допустим, что Х с В компакт. В и, 2 з 1 гяы ввели пояятие о наилучшем приближении элемента х е В с поыощью конечпомерного многообразия М" и обозначили наилучшее приближение через еи(х. ЛХа), Приближение произвольного элемента компакта Х характеризуется величиной е„(х, Ма) .=- впр е„(х, М") .=- впр шХ ~х — у ~. аех ое "г 201 Э 2. Поперек|шип камиактаое Поперечник Колмогорова определяется по формуле рш(Х, В) = шЕ эпр шЕ !!х — у ,'. ех рею" Это — исходное определение колмогоровского поперечника. Дадим иное, эквивалентное определение колмогоровскому поперечнику, показывающее его связь с поперечниками иных типов. Допустим, что В строго нормированное пространство.
Тогда для любого х элемент наилучшего приближения единственный., и мы его обозначим через у,. Докажет<, что отображение рра, х е у, непрерывно на Х. В самом деле, пусть 1:еь) с Х и 11плхь —.. х, соответственно 1У р) С ЛХ". ПУсть Уе -- фиксиРованный элемент ЛХ". Так как , хь — у,!! < (!хр — уо!!, то, используя неравенство треугольника, получим ,'у*р!! < 'хр!!+ ', хь — у*„!! < !!хы — ' !!хь — уа!! < 2!!хь!!+ !!уа, < С. Поэтому из последовательности 1ук, ) ~ ЛХ" 1х: !!х ' < С) можно выделить сходяшуюся подпоследовательность Еук, ); положим у = 1пп у.„.
Докажем, что у =- у . В самом деле, )!хл — у,, = шЕ 'хл, — у!' < шЕ (!х — у ! + !!ху,-, — х '., реле ' рем ° и, переходя к пределу, получим неравенство ;х — у(! < шЕ х — у!!. рЕМ" откуда следует, что у = у . Поэтому последовательность Еу„) сходится и 1ппу, р = у, . Тем самым доказана непрерывность отображения , ® р,:Х-- М. Заметим, что эпр шЕ х — у)! = ЕпЕ эпр!!х — Эр(х),"„ кех р лг'" кЕХ где нижняя грань берется по множеству пепрерывяых отображений х; Х вЂ”.~ ЛГ', Поэтому поперечник Колмогорова реа(Х, В) можно почсчитать по формуле рра(Х, В) = шЕ шЕ эир ,'а — ~р(х)!(, М" т: Х-М",ех ' или по формуле (18) н„,ЕХ, В) = шЕ эир )!х — рр1х)!!, Р~' Ф1 кеХ где нижняя грань берется по всевозможным парам (ЛХ", х), состоящим из и-мерного линейного многообразия ЛХ" и непрерывного отображения Х Лра Пусть теперь В произвольное банахово пространство.
Обозначим для удобства правую часть формулы (18) через и„'(Х, В). 292 Гласа Я. Элелееити теории ириблихееиий Предложение 4. Имеет место соотношение хе„(Х, В) =их(Х, В), в=1,2, (19) Согласно (199) это верно для любого подмножества Х с В. Доказатильстио. Предположим вначале, что В копечномерно: Ж = е11шВ < оо. Пусть е1, ..., ем произвольный базис в В и т = .= 2" хуех разложенные вектора х по атому базису.
1-1 При с > О введем в В норму м 1 Ге а:-1 Эта норма строго выпукла. Поскольку евклидова норма в 1ь~ строго выпукла, то из равенства „х+ р,, = ~~х ,', + (~р".е. следует, что х = Лу. Таким образом, формула (18) имеет место в норме ~~ '. Позтому шЕ ацр шЕ ()х — у/), > 1пЕ спр ~х — фх)~, хЕХ уЕМ*' 1Л1 ", Н1 хх Х н, переходя к пределу при .
— х О, получим неравенство ОО хе„(Х, В) > и„'(Х, В). Неравенство против<н1оложного знака имеет место в случае произвольного банахова пространства В. В самом деле, пусть ет Х вЂ” ЛХи. Ясно, что апр шЕ ',х — 9 < зпр ,'х — р(х)(!. хЕХРЕМ" хЕХ Взяв нижнюю грань по ЛЕи и ее, получим (20) хт(Х, В) < н„*(Х, В), и, следовательно, (19) справедливо длн конечномернык п1юстранств. По теореме 4 гл.
2 для любого с > О существует е-сдвиг;р, компакта Х в конечномерный компакт У, лежащий в линейном многообразии ЛЕ"и; „о,: Х вЂ” У С ЛЕ ', е11шЛЕ"ь —. те < ос. Можно найти полпространство ь~ такое, что У С Е ~ и хе„(У, Ьм) < м„(К В) + Рассмотрим линейное многообразие ЛХ" с ь" и отображение 1о; Х х ЛЕ" такое, что у —..- ьс е ее„где х -- произвольное отображение У в ЛЕ". Тогда 1!х — Ф(. )' < 1~х Ч (хН! ' Ь ( ) " 'р (х)й откуда ,':е — р(х); < е -'- ьпр.~у — ~'(д)!! ееи 203 З 2.
Поворвккики компактов В силу произвольности ь> и„'(Х, В) < — >г„*(У, Вм) .—.. в+. (У, Вм) < 2в+ >т(У, В). Отсюда >г„*(Х, В) < Зе+ >во(Х, В), и в силу. произвольности с и неравенства (20) получим соотношение (19). Б Предложение 5. Длл произввльногв компакта Х с В имеем 1пп иа(Х, В) = О. Доказагкльс гво. По теореме 4 гл. 2 для любого в ) 0 существует в-сдвиг компакта Х в конечномерное многообразие >УХ"ь, >11п! ЛХт' = т,. Отсюда м,(Х, В) < ..
Поскольку поперечники оок(Х, В) образуктг невозраствющую последовагельност>с >г>(Х, В) >... ) >т(Х, В) )..., (21) то >в„(Х, В) < . при п > т,, что и доказывает предложение. П Кроме свойства монотонности (21) поперечники >т(Х, В) обладают еще одной очевидной монотонностьк>. Так> если Х! П Хв, то (22) иа(Х>, В) < и (Х, В), и = 1, 2,. До сих пор, говоря о поперечниках, мы ощ>еделяли их для компактов. Однако более распространенный объект численного анализа -- это ограниченно компактное множество.
Пусть а>„-. один из введенных выше поперечников, а Х . — ограниченно компактное множество. Мы можем определить поперечники компакта Хь = Х т Т(0, Ц (в случае когда а>„= Ьа., мы предполагаем, что В = СЯ). Если В " ос, то последовательность ( >к(Х>., В)) пеубь>- вающая, и, следовательно, существует >~> (23) 1ш! а>„(Хь, В) .— — шк(Х, В). в са Л1о>кет оказаться, что так определенный поперечник будет равен бесконечности. Если при и ) пе поперечники ш„(Х, В) конечны, то для них сохраняются свойства монотонности (21), (22). 3 а д а ч и. Наиболее просто вычисляются колмогоровские поперечники, когда  — гильбертово пространство. 1. Пусть В = 4 — гильбертово пространство последовательностей: ж б 12 Х вЂ” '"'ь к = (к>, ..., >г,...), ~к( = 2 '~кь ~ ( оо.
Пусть Э ' эллипсоид: Э = (>в! 2 а»!кар ( 1), где О ( а! ( ... ( а„(,, 1ш>о„= со, Докажите, ь=! чта при и ) 1 справедливо равенство ам(, 1а) = а,', ° 1 '> 2 (А.Н. Колмогоров). Пусть В =- Во( — 1, 1', Х = И7(М), Докажите, что если п ~ (г — 1, то >г„(йо, В) = ~, а если п ~ )г, то хчо(И'>"! Оо) = ИЛ,,ть,, 204 Гласа Я. Элел«ентм теории приблиоюеиий д Х вЂ” =О, 1 =с, г+1, ...,2г — 1.
е(х«е=тг Уклзлиии, Рассмотриге приведение к главным осям «зллипсоида» И'а'(ЛХ) С Х 1- 1, 1), 3. Докажите, что при п 3 г Л„= ~ — (п — г+1)~ (1+О(ехр( — — (п — г)вш — Я). Рассмотриы пространство функций на 1-мерном торе Т . Пусть Н = Ха(Т~), а Х вЂ”.. (Х б б,(Т'): )' ~Р,(Р)У:~' < ЛХ-'~, з=г (24) где Р (Р) = Р (Ре, ..., Р~) л«ногочлены от Р,, Рц Р д * с1хо Ц = 1, 2,..., 1). На дифференциальные операторы Рд наложим следу- 1 юшее условие. Пусть Р(В) —.- 2 Р*(В) Рз(ХЗ), и рассмотрим многочлен о =.г 2 Р(п) = 2 ~Р»(п)~, где и — мультииндекс; п = (пы ..., щ), а Р.(п) »=1 Рз(пе,..., «и). Допустим, что уравнение Р(п) = Л (Л ) О) может иметь лишь конечное число решений п Е У . Уравнение Р(п) = 0 может иыеть даже бесконечное число решений. Обозначиы через ХХ замыкание в Хз(Т') линейной совокупности реп«ений уравнения Р(В)и = 0 (п б С [Хл)).
Пусть С =- = Хе ХТ~) е«Н. Эануыеруем в порядке возрастания те значения Л, для которых уравнение Р(п) .=- Л имеет решения: О < Лг < Ла < ... 4. Пусть Хо = Х О С. Докажите, что ы„(Хо, С) = ЛХЛ б. Рассмотрите тот случай, когда Р = ( — 1)' П Р«, и докажите, что «=1 .(Х.,С) =-... " п(1+О( —,)). 6, Пусть Р~ —.
В ',е1«Хх (1 = 1, 2,, 1), Докажите, что для ограниченно компактного множества Х вЂ”.- ~У Е Хз[Т ): (2я) / ~ ЛХ [Р ',Е[ е(х < 1~ т «=1 при и > 1 выполняется соотношение же[Х, Ха[1')~ = Аерп [1 «гО(п. )~, где Л„ собственное значение оператора ( — 1)'е(а',1ах~", рассматриваемого на подмножестве 1 с! з [ — 1, 1) функции 1' удовлетворяюгцих условияы 205 З 2. Поперечпикп компактое гдее) О, у ' = 2„г ', и= П ЛХ~ ',аконстантаА вычисляетсяпо формуле 1=1 1=1 Аг = / г1т.
е 'Ег ЗАмечАние. Легко видеть, что имеют место вложения 'а(М) сх с т (М) 1 Л Поэтому 1 ггама[йтз (М), 1г(1я)] < м [Х, 1з(Г~)] < ма[йг (М), Ьз,уа]]. 7*'. Докажите, что существует пе йш и [ гт (М) Ьа(т )] д и вычислите его. Рассмотрим пространство 1з[1о] (1о = [ — 1, 1') и замыкание в нем множества фУнкЦий 1' б С"'[1о], гДе г = шах гм ДлЯ котоРых выполниетса неРавенство /~, ~8~,~~ (и< ее при условии, что гз ) О. Это замыкание обозначим через Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
