Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 45
Текст из файла (страница 45)
8. Докажите, что есгш и < ге... ш — 1, то м„[Х, йг[1о,'] = оо, а если и ) ) гг...го то А'д - „[Х, 1,,:1,;] —. А"" [1+ О( .-')], где е ) О и константа А дается соотношением а >о 9, Докажите, что ~г я„[)4гй(М: 1о), 1 [1о,] < ~ " (1+О(п т)), если и ) гг... гь 10е. Докажите, что существует 1пп — ия [И'е (М; 1о) Лт 1о[] — се д и вычислите его. грели в задаче формулируется нерешенная пробчема, то номер задачи снабжается звездо ~кой. Глава Я. Элементы теории вуиолияеений 4.
Предтабличный и александровский поперечники. Конструкция сеточного поперечника легко поддается обобщению: достаточно отказаться от конкретного вида отображения компакта Х в В.". В вычислительной практике мы не всегда выбираем в качестве способа приближения функции набор ее значений на сетке. Довольно часто мы используем в качестве аппроксимирующего агрегата набор коэффициентов Фурье данной функции, либо набор коэффициентов разложония фуякции в ряд по некоторому базису.
либо набор значений функционалов и т. и. Поэтому для данного компакта Х с В рассмотрим отображе|ще о: Х -о В" (х 6 Х), и если:р; х ео С вЂ”... ф, ..., С„)', то набор вещественных чисел бп ..., с„приближенно задает элемент х Е Х. Как и выше, в качестве меры точности, с которой С 6 ДХ) определяет элемент х, возьмем величину й~эо 1 о ьо(х)~.
С данным способом приближенного представления компакта Х свяжем поперечник, который будем называть предтабличнмм и обозначать через б„(Х, В) —... 1пу япр дняо ' о яо(х)], (26) еЕХ где нижняя грань берется по всевозможным непрерывным отображениям Эо: Х -о Во. Предложение 6. Если  — банахово пдостраненгио, Х с В— ножнакгп, то д„(Х, В) < 2н„(Х, В). (26) Доказатвдьс'тво.
Воспользуемся предложением 4 и будем вычислять ки(Х, В) по формуле (18). Пусть о; Х ч Ми — некоторый сдвиг компакта Х в и-мерное многообразие. Если х, у е Х, причем со(х) = = фу) = у Е ЛХо, то х — у(! = ) х — у+ у — у!( < ~х — и -е )(у — у, '= — — И ) +И вЂ” з:(уП Отсюда: х.— у~~ < 2 япр; х — х(х)'„. Следовательно, еХ~р 1о р(х) < 2япр Цх — р(х)Ц. еяХ Взяв в левой части этого неравенства верхнюю грань по х Е Х, а затем нгокнюю грань по всевозможным непрерывным отображениям компакта Х в и-мерные многообразия, получим Ы апра[;р 1оее(х) < 2ое„(Х, В).
ри и) хек Но и;мерные линейные многообразия все гомеоморфны Ио. Поэтому 1ву впр еЦуо ' о о(х)~ = 1п1 впр г1йГ о се(х)1., Р~" Ф еЕХ еяк где справа нижняя грань берется по непрерывным отображениям ~: х-к". П 207 г' 2. Попорочттики компактов Замкчаниш Наличие в правой части неравенства (26) множителя 2 свидетельствует лишь о том, что при определении поперечника нп мы использовали не диаметр множества, а, грубо говоря, величину, в два раза меньшую. оп(Х, В) = тп( епр Мр о х(х)], (кьк) вх (27) где нижняя грань берется по всем парам (К",.р) таким, что т(тш К" < п, а тр непрерывное отображение. Из определений предтабличного и александровского поперечников непосредственно следует,что о„(Х, В) < дп(Х,В).
(28) Предложение 7. Длл любого комттаата Х с В вьтттолнлептття нвраввпство бгп т(Х, В) < о„(Х, В). (29) Доказлгнльсгно. По теореме 7 гл. 2 компакт Л", размерность которого не превосходит по гомеоморфен подмножеству пространства Ва"'т. Допустим, что компакт Ко и отображение ро: Х -о Ло таковы, что для заданного г ) О впР д[Эо т о оо(х) < тто(Х, В) + кЕХ Пусть гомеоморфизм ьв таков, что сп К" — т Рьа"+т. Рассмотрим отображение фетов =- оо; ясно,что 1о: Х -о Пг"+У.
Заметим, что если оо: т, ьо С,то множества то '(С) и хе оде(:т:) тождественны, если:ро; х;-' ц, трч ц т 4. Таким образом, япр 4[~р '(4)] = яттрт~[ре'оро(х)] <оп(Х, В)+в, сея(х) кех В наптей цепи обобщений можно сделать последний птаг и ввести поперечник Александрова. Во всех способах приближенного представления элементов компакта в качестве аппроксимирующего множества выступало либо пространство Нп, либо АХп — и-мерное многообразие, либо., в частности, тммерное подпространство Ь". Понятно, что наиболее общий способ приближенного представления получится, если в качестве аппроксимирующих множеств брать компакты, топологическая размерность которых не превосходит и.
Рассмотрим непрерывное отображение р: Х вЂ” К", где К" --. такой компакт. что т(ттп К" < п. Если х Е Х, то:х - с (б й Л п),то с определяет приближенно элемент х. В качестве меры точности такого способа приближенного задания так же, как и выше, примем от [ а " о оо(х) ,'. Величина погрешности приближенного задания компакта Х при оптимальном выборе компакта К" и отображения оо и является поперечвиком Александрова компакта: 208 Глава о.
Злемен«вы теории приближений Отсюда бгв+>(Х, В) ( п„(Х, В) + г> а поскольку г произвольно, то получаем неравенство (29). П Непосредственно из определений сеточного и предтабличного поперечников вытекает неравенство б„(Х, В) ( лв(Х, В), если В = С(В), и поэтому имеет место цепочка неравенств бгв> л(Х В) ( ов(Х, В) ~ (б»(Х В) (ч >Лв(Х: В) (30) вытекающих из формул (28), (29). Если учесть (26), то в общем случае имеют место неравенства бгв >(Х, В) < а„(Х, В) < бо(Х. В) < 2н (Х, В). (31) Этими цепочками неравенств мы воспользуемся при оценке убывания поперечников некоторых кол«пактов.
Введенные поперечники обладают теми же свойствами монотонности относительно п и Х, что и поперечники лев и >Л„. Ясно, что сделанное в п. 3 распространение определения поперечника на ограниченно компактные множества остается в силе и в данном случае. Пусть с один из введенных выше поперечников. Рассмотрим функции> пе(г; Х, В) = 1п>«1ей: ~ь(Х, В) < г).
(32) Асимптотика функции п~(е; Х, В) при в ) 0 характеризует аппроксимационные свойства наилучшего метода приближенного задания компакта из данного семейства методов. Учитывая особую роль поперечника н„(Х, В)> характеризующего наиболее общий способ приближенного задания компакта с пол>ощью конечномерных компактов, мы вправе считать, что асимптотика функции и (г; Х, В) при с ) 0 характеризует аппроксимативпые свойства компакта Х.
Ясно, что и„(е; Х, В) минимально возможное число параметров, позволяющее задавать произвольный элемент компакта Х с точностью Конегпруируя численный алгоригам решения какого-либо реального класса задач и используя тот либо иной способ приближенного представле.— ния функций, мы должны, гто дела>пь е оглядкой на наг>луч»гии способ, .гарактеризуемый функцией и (и: Х, В).
3 а д а ч и. 11. Пусть В = Вг, Х = ((т>, хг)': 0 ( х>, хг ( 1). Докажите, что ы>(Х, В) = 1, >«г(Х> В) = 1»2. 12. Пусть В = 11г, Л = ((х>, хг)': гг ( хг> т хг ( 11>). Докажите, что о>(Х, В) =- И. — г, >«>(Л, В) =- >г/2. Уже эти простые примеры показывают, что, если компакт Х устроен «сугубо нелинейноь,поперечники о> и м> могут значительно различаться. ° 5. Насыьцаемость метода приближений: основная конструкция.
В злом пункте мы рассмотрим вопрос, не связанный с основной темой этого парагра4>а поперечниками. После того как л>ы рассмотрели с общих позиций постановки задач теории приближений. можно дать общее определение явления насыщения метода приближения ®.
209 э' 2. Поперечники компактов Пусть В --. линейное нормированное пространство (илн — в более общем случае —. метрическое пространство), Х с В . компакт. Обозначим через 1 множество индексов: 1 с 1, которое без ограничения общности будем считать подмножеством вещественных чисел. Допустим, что задана совокупность непрерывных отображений (Эо,),ег, оо,: Х где У, конечномерные компакты. Потребуем, чтобы о11ш'т', ", оо, когда 1 — 1о. Погрешность приближения элемента у е Х определим каким-либо из двух способов, рассмотренных в и, 2.
Это будет величина и,(у) = о1[р," ' о оо,(у)] (33) либо величина и (у) = р(л ~'(э .(у))) (34) если определено отображение ф::д,(Х) — В, оо,(Х) с г;, которое строится с помощью некоторого алгоритма восстановления аппроксимируемого элемента: Е(эо,(и)) -- результат работы алгоритма, когда на входе в него берется ро(у). На множестве ! определим функцию б: 1 о Ка, д(1) ' О, когда 1 "о 1о. Совокупность непрерывных отображений (д,)оег определяет метод приближений.
Будем говорить, что этот метод имеет погрешность б(г), если для любого т е Х .,(х) < Сб(1) (3ог) и если множество Хо = (уй Х; и,(х) = о(д(г)), 1 — ~1о) (36) является собственным подмножеством Х, т. е. Х ~ Хо у'= Я. Рассмотрим не единичный компакт, а совокупность вложенных компактов. Пусть 1 —. линейно упорядоченное множество индексов ) Е 1, и допустим, что каждому индексу отвечает компакт Хо с: В, где (ху)уоз "- совокупность компактов. мы предположим, что если ц -ч 1~., то выполняются условия: 1) Хм С Хо', 2) оо,(Хоо, В) = о(а,„(Хо'.
В)) при т оо. Таким образом, компакт Хм не только вложен в Хз', но его аппроксимативные свойства существенно лучше аппроксимативных свойств компакта Хз'. Рассмотрим метод приближения всей совокупности компактов (Ху)уг ь Он будет задаваться отображениями (оо~)вэдуез, причем ~~: Ху "о Уо и если з~ -~ зш то зобо = эо~' .„, для любых г е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
