Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Рассмотрим этот феномен на конкретном примере метода приближения периодических функций чезаровскими средними. Пусть 1 й С:Я') 2я-периодическая функция. Разложим ее в ряд Фурье: ао 1(х) — + ~ ~(аь соэйх»- басйп)гх), 2 ь=г и пУсть эи(х; 1) частные сУммы этого РЯда: ао эв(тл () = — — э (аасовйх т бь э|плох). 2 189 З 1. Некоторие вопроси теории приблиогеений Чезаровскиле средним, а точнее (С, 1)-ередниле называется тригономет- рический полинам вида 1 о„(х; Г) = ~ее(х; 1), В=в которьпй называется также и — ' 1-ой суммой Фейера. На основании фор- мулы (27) имеем ои(х; г) = — 1 1(х + г)Ко(г)Ф = — ~ '()'(х —: 1) — г(ге — Г) Е„,(б)й.
(68) — к о Ясно, что ав 1- ото(х' Х) = — + ~(1 — )(аьсоз/ст+ 6езшйх). (59) 2 и+1 гап Приведем некоторые очевидные свойства ядра Фейера. Прежде всего отметим, что 1 — Ко(1)е(1 = 1. (60) Из неравенства зшх ) 2х,гк, справедливого при 0 < х < кгг2, следует, что при О < .т < к 2 Ки(х) < х (61) 2п~ 2 Обозначим через ы(д; Г") модуль непрерывности функции 1, Докажем одно простое вспомогательное неравенство. На основании формул (58), (60) имеем л 1 -о(х; У) — У(х) = — ~,(Х(х-1-б) + а, -- Ю) — 2Х(е))Ко(б)а. о Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов соответственно по интервалам (О., у) и (гй р).
В первом интеграле воспользуемся очевидным неравенством !(г(х+г)+7'(х — х) — 27'(х) < 2го(гй,г"). Л во втором интеграле воспользуемся ггеравенством,~(х+б) — , 'г(х — г) — 2г(х)( < 2го(1: 7). 1 лава Я. Злементм глеории приблиакепий Таким образом, ~ов(т( «) — «(х)( < ~,«(х + 1) + «(х — 1) — 2«(х) 'Кп())д1+ о л + ~ ',«(х -) 1) + «(х — 1) — 2«(х)''Х1„(1)й < ( ' Х( К„(е)Ш М вЂ” ( а)(1, «)К (г)а(г.
2 (и; «) Х . 2 Используя (60) и (61), получим основное вспомогательное неравенство Выведем из неравенства (62) некоторые следствия. Теорема 18. Если «б С[Ег), гло ее чезаровские средние равиомерно к ней стодлтсл( (т„(; «) — «, — э 0 при и ( оо. Положив и =- и, ', получим .1/а если л, ) и,. Слодствие. Мы получи.ли также п(еорему Бейергигарасса, указав конкреганмй вид апироксимиррюи(и(с полиномов. Допустим, что «б Ь1р о (О < о ( 1). Учитывая, что теперь ы(Б: «) =- .—.. ЛХБ, из неравенства (62) получим при о < 1 «) «( )! - ЛХ о+, -.)эо 2кЛХ (и+ 1)(1 — о) Уравнивая оба слагаемых в правой части, получим ~сгп(т; «) -- «(х)( < 2( ) ЛХ(и —; 1) (63) Доказательство. По условию в)(пд) Х) ч О при О -ч О. С другой стороны, л)(В «) ( 2~ « ~, и поэтому из неравенства (62) следует, что Ь 1.
Некоторые вопроси теории приблиокений 191 Й 1 Х ае —. — / [Х(х) -- о.о(х: Х)~ соэйхдх. +1 Аналогичная формула справедлива и для Ье., только соя !ех нужно заменить на вш Ьх. Поэтому в силу нашего предположения при и -л оо имеем Йае = а(1). ЙЬь = о(1), и, следовательно, ае = Ье = 0 (й = 1, 2,...). Итак, мы видим, что чезаровскне средние дают весьма посредственный способ приближения, хотя он и обладает исключительной универсальностью, а имешкл чезаровские средние равномерно сходятся к любой непрерывной функции, В этом примере мы столкнулись с явлением насыщения метода приближения.
Его можно охарактеризовать в данном случае следующим образом. Пока гладкость приближаемой функции невелика ( Х б Ыр а (о < < а < 1)), приближение чезаровскими средними по порядку равно наилучшему. Класс М~~(ЛХ) является тем рубежом, при переходе через который дальнейшее увеличение гладкости не может повлиять на порядок приближения, и он остается таким же, как для функций класса Ф~~(ЛХ).
Класс ур! (ЛХ) целесообразно назвать классом насышенил„а величину О(п !) порядком насыщения метода приближения чезаровскими средними Формальное определение этих понятий в общем случае мы дадим позже, а говорить будем пока о насыщении на интуитивном уровне, поскольку предыдущий пример полностью проясняет сущность этого феномена. 3 а д а ч н. 32. Используя георему 18, докажите теоремы Вейерштрасса (теоремы 5,6). ЗЗ. Пусть Х б И~,' (М). Докажите соотношение Колмогорова ~Х-в.(; Х)~ = ~ — ! -О(1)1ЛХп-. 4 уе гг !лм яг (64) Злмвчлнив.
Хорошо известно, что существуют непрерывные функции, ряд Фурье которых расходится на ироизвольном счетном множестве, Таким образомь метод приближения с помощью частных сумм ряда Фурье не столь универсален, как метод приближения чезаровскими средними, во этот метод, как показывает соотношение (64), не имеет насыщения. В этом его преимущество. У этого метода порядок приближения всего в О(1п и) раз хуже наилучшего. Этн свойства сохраняются и для функций многих переменных. Прн Если а = 1, то несложно доказать, что ~а„(х; Х) — Х(х) ~ < ОЛХ(1п п)(п. Последнюю оценку улучшить нельзя, но на доказательстве этого мы не будем останавливаться. Таким образом, приближение чезаровскими средними при о = 1 всего в О(йа и) раз хуже наилучшего.
Посмотрим, могут лн чсзаровские средине пать лу ппее приближение. Предположим, что п„(х; Х) — Х(х) .—. о(п, ). Докажем, что тогда Х'(х) = ао,~2. В саьюм деле, из (59) вытекает, что имеет место формула 193 З 1. Некоторые попроси теории приближений Е(ехр(10)) = — Ю(ехр(рр)) + С, (70) где С' константа. Если непрерывная комплекснозначная функция Е', определенная на границе круга В, допускает аналитическое продолжение внутрь круга, то выполняется (70). Наоборот, если для непрерывной функции Е, определенной на дВ, выполняется (70)., то она допускает аналитическое продолжение внутрь круга.
Наряду с классом "ер'" (ЛХ) будете рассматривать класс ер'" (ЛХ), состоящий из функций, сопряженных к функциям класса ХХР". (ЛХ). 34 (Н. И, Ахиезер, М, Н Крейн). Докажите, что впр шХ '(Х() — 1()~ = ЛХК„п Хе р" Ем) (71) где Ь = — 2 „цр,л ~=о Указании. Дртя функции Хтб "Ф', (81) вместо формулы (33) будет иметь место формула 2 йх) —. — ~ Х'"''(1)Р.(х — Е) 11. о Дальнейшие раесуждения тождеСтвенны расеуждениям, приведенным при доказательстве теорем 7, 8.
Н результате вместо равенства (71) полу шм неравенство, аналогичное неравенству теореыы 7. Знак равенства достигается на функции 4Л1 сов (2й -р 1) пх — гг72 У(х) = яп" (2к -~- 1)го' ь=о Мы рассматриваем классы '7Х'" (ЛХ) при целых г. Можно определить зги классы и при нецелом г, считая, что 7' 0 "Ф (ЛХ), согда н только тогда, когда ~""11 й 1лр (и, ЛХ), где и = г — ~ г) (О < а < 1). Структурные свойства классов 'Лоро(ЛХ) наиболее пРосты пРи нецелом г 151 Зб (теорема Привалова). Докажите, что если г нецелое, то уХ'" (ЛХ) С С "ХХР" (7„М), где З„константа, зависящая только от т З, — р со при г— — (г ' — р 0 реибо г — (г) — р 1.
При целом т дифференциальные свойства классов УХР' (ЛХ) и Хр'" (М) различны. Однако можно доказать, что имеет место включение Ж" (Л1) с УХР" ( у„„ЛХ), где г' — любое число, меньшее г. Обозначим через А' (ЛХ) класс функпий, аналитических в круге В, непрерывных в замкнутом круге В и удовлетворяющих условию ~ Х (г)~ < < ЛХ ( е < 1). Не накладывая столь жестких ограничений на г (ехр(Ю)), можно доказать, что интеграл (б8) сущее снует почти веноду, если Х" б Хо (О, йт), но функция Х не обязана быть интегрируемой. Если Х б 1 р(0, 2г) (1 < р < оо)„то Ебр(0,2я) н)Хр<Ар(Хр. Доказательство зтих фундаментальных фактов см. в (47].
Заметим, что, избавившись от ограничения оо — —. О, соотношение (67) можно записать в виде Глава о. Элементы теории приблиоюоний 36 (К.И. Бабенко). Докажите, что если Т Е А" (ЛХ), то при п > г ХИ опр шГ шах~Х(л) — р(с)~ = Хел ~м) ре.'р„.н<1 п(п — 1)... (и — Г+ 1) 37 (1(. И. Бабенко). Докажите, что если Х(л) Е А" (ЛХ), то при и ) г опр !пХ шахах) — р(л)( —.... ЛХр Хел рлрЛ Реса НЫ<р п(п — 1)... (и — г ~ 1) Указании. Целесообразно воспользоваться конструкцией доказательства теоремы 8. Теоремы 9, 10 можно перенести на классы И'р'(ЛХ), уур'(ЛХ) при нецелых г. Из РезУлыата задачи 22 следУет, что если Х Е 1Ррй(ЛХ), то сг нр(Х) С (2н)МРА и.
ЛХ, где А„~ (3 при р пепелом. Аналогичный результат, обобщающий теорему 10, пирет место н лля класса лр',,', (ЛХ). 38. Докажите, что если Х е И'р (ЛХ) (г > О) любое, то при и > р справедливо неравенство Ью р(Х) ( Й„Л1н, гле константа Й„зависит только от г. ° й 2. Поперечники компактов 1. Введение. Хотя методы приближения с полиощью тригонометрических полиномов или алгебраических многочленов и находят широкое применение в лисленном анализе, эти методы не единственные н не самые популярные. Уже на примере решения краевой задачи (1.1.о) мы столкнулись с вопросом о приближении элементов компакта с помощью некоторого конечномерного подпространства.
Чтобы представить те вопросы, которые возникают при использовании иных методов дискретизации задачи, разберем разностный метод решения той же краевой задачи, формулировку которой повторим. ПГИМБГ. Требуется найти решение у(х) краевой задачи — сХ"у(х)ус(х л 2(х)у(х) —... )'(х), х Е Х, Х =. 'О, Ц., у(0) =" у(1) =- О.
(1) Предположим, что у е Игл (ЛХ; Х). Введем на интервале Х сетку -. конечное множество точек интервала, именуемых узлами. Выберем равноотстотдие узлы хь = 1)р (Л = О, 1, ..., и), )р = п; узлы хы...., х„ назовем оцугпренними, а узлы хо, х„враничными. Рассмотрим уравнение (1) на множестве внутренних узлов и аппроксимируем оператор второй производной с помощькл разностного отношения, С этой целью воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в виде интеграла. На основании нашего предположения получим 1)з у(х) = ',> '* „с") у(О(х,) / ('3, ' ури)(Х) Хй шо 193 э 2. ««оверечникв компактное Введем обозначение уь = у(ть) (6 = О, 1, ..., и). Полагая в предыдущей формуле последовательно х = ль -~-6., я = иь — 6 и складывая полученные равенства, найдем уье« вЂ” уг 1 = 2уь -Ь 6ву"(ть)4- х~ еь хе — Ь (*ь + 6 «) Огй( ),««(лг " «) ««г1( ),« В каждом из этих интегралов сделаем замену переменных «е — «+ ть, а затем во втором интеграле поменяем местами пределы интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
