Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть 1(х) Е С [О, к)., г(х) = 2,' аьяойх, и допустим, что а„~ < ь=! < С1с в, Докавките, что если 4(х; 1) —. полипом, определяемый формулой (20), то 1"(х) — д(хг 1) = 2вшпгс~ — Зо-, ~ ~двсовкх~, в=г (24) где Нв =- т 2аь щгвнв. г=о 5. Влияние гладкости функций на скорость убывания их наилучших приближений (периодический случай). Мы дали исчерпывающую характеристику алгебраическим многочленамг наименее уклоняющимся от заданной функции 2 ~ С[а, 6]. Однако до сих пор не решен вопрос о поведении Еп(2) при и ', оо. Ответ на этот вопрос дается сшедукпцей теоремой. 172 Глава зч Элементы теории ирибливюхний Теорема 5 (Вейерштрасса).
Пусть П вЂ” замкнутая область в К~ и 1' Е С(Рг, Длл любого е ) О существует многочлен Р(х) от переменных, ты..., зл (х = (хы..., хл)') такой, что (.1 - Р(, < .. Мы не будем приводить доказательство этой теоремы, а уточним, о каких многочлецах идет речь. Пусть к, п мультииндексы: к (йм..., Й~) (й 6 Х), и = (пы ..., п~) (пу б Х). Псложилл х = х,', .... х~'. В теореме Вейерштрасса речь идет о многочленах вида Р(х) =. ~ аьх~, окупи.л (25) где и — 1 = (пл — 1,, ..., и, — 1), а неравенство О < Й < и — 1 означает, что выполняются покомпонентные неравенства О < к < п — 1 (у = 1, 2, ..., 1).
Аналогичная теорема имеет место для функций на 1-мерном торе Т' = Я~ х... х У, если их аппроксимировать тригонометрическими многочленами от 1 переменных. Теорема 6. Нуслпь г" 6 С'Т'). Длл любого е ) О существует триоономегнрический полинам от 1 глерелленных 1(х) = ~~~ сь ехр(1кзл) (26) ь,'<и,— л 1<э<я такой, чгао ) — 1, < е.
Поясним формулу (26): в ней кш = )'лхл --... + Й~х~ и в силу вещественности многочлена 1(х) имеем с ь = сум где — к = ( — км ...., — й~). Сложность многочлена естественно измерять числом его коэффициентов. Так, в случае многочлена (26) это число равно Х = П и, у=л Мы установим два вспомогательных Предложения, на которых будет основываться доказательство теоремы о приближении диффврепцируемых функций. Выше мы рассматривали ядро Дирнхле, которое играет огромную роль в теоряи рядов Фурье.
Теперь познакомимся еще с одним замечательным тригонометрическим полввомом --- ядром Фейера. Рассмотрим сйп(й + 112)х 2 зш(х/2) а в случае многочлена (26) Х = Ц (2п — 1). Желая связать погрешз:--1 ность аппроксимации е с М, рассмотрим приближение элементов различных функциональных компактов.
Прежде всего исследуем приближение дифференцируемых периодических функций одной переменной. 173 3 1. Некоторые вопросы теории приближений сов Их — сов(И + 1)х в=о в=о (2в1п(хЛ)) 1 — сов(п -- 1)х 1 (в1п(п+ 1)х721г (2 ( .)2)) 2 ( в1п(х)2) 1 ~ 1 свп(п -, 1)х/21г и+ 1 2п+ 2 вп(х)2) (27) называется ядром Фейеукс Предложение 2. Пусть а'о ,р(х) = — + ~ ав сов)сх, 2 в=г причем ряд 2 ~аг~ сходится. Допустим, ипо последоеотельпостпь (ав) в=1 удовлетворяет условиям. 1) гХ аь = аь — 2аь-1маьтг ) О, /с = О, 1, 2) йгХае = )с(аг 1 — ав) --~ О при й ) ж: 3) ~(й — ' Цугов < ос.
в=о Тогда у(х) > О. Злмичании. Несложно доказать, что условие 1) влечет условия 2), 3). Однако для упрощения доказательства мы ввели дополнительно условия 2), 3). Доказательство. Пусть ао Ял =- — + ~ аь сов Йх, ь=1 Делая преобразование Абеля, получим Бя(х) = — ~ Ла1В~(х) — , 'аят1Вь (х). Повторно делая преобразование Абеля и учитывая (27), получим бя(х) = ~ (1-ь1)ЛгоНО(х) — (Ас 1)Ьаят1Кя(х) д он1)л(х). Умножим числитель и знаменатель 11ь(х) на 2 в1п(х/2) и, заменяя в числителе произведение синусов разностью косинусов, получим 1 лава Я.
Злелеенти теории приближений 1нп Ян(х) = 1с(х) = ~ ~(1 —, 1)Ь о~К~(х). ~=о Следовательно, р(х) ) 0 в силу (27) и условия 1). Рассмотрим совокупность периолических функций вида оо 1 ф(х) = — о — / Ь(1)ф(х — 1)йс 2 / (28) при Ь С 1 р ~Я". (1 ( р ( ж), Ь(1)дс = О, ф(х) = ~~ оя сов(йх — — ), в 2 ь=-.г где е = О, 1. Таким образом, с1 .тибо четная, либо нечетная функция. По последовательности 1оь), построим новую последовательность (13г) по формуле Вг = ~ ( — 1)Ц'тпсгь 1гью>т Ь = О, 1, ыо Докажем вспомогательное предложение., из которого можно вывести ряд тео- рем аппроксимации для различных классов функпии. Предложение 3. Пусть последовательность (Вь) удовлетворяет условиям предложения 2.
Тогда будет виполнятьсл неравенство (29) где полинам 1„г определяется по формуле -1 оо г г гы , (х) = — ' ч- ~ (оь — Вп — ь — ( — 1)=В„ьь) (ая сов(йх — — ' )+ г=г +Ь,в1п(йх- — ")~, (30) в которой аь, Ьь — коэффициенты Фурье функции Ь. Докязятпльптво. Для функции ф(х) построим интерполяционный полипом по формуле (19), если е = О, либо по формуле (20), егли е = 1.
Обозначим этот полинам через р'„,(т). Положим 1*„..л(х) = — т — ~ 6(1)~,',,(~ — 1)дс, ао 1 1' в (31) Учитывая, что оь О, и принимая во внимание условия 2), 3), получим при Х вЂ” сюихфО 31. Некоторые попроси теории приближений На основании формул (23), (24) имеем ке1, гб(х) — р',,(х) = 2соз(па — — ~се(х), где функция иг определяется рядом щ(х) = — Д+~~ Зьсозйх.
1, 2' ь=! Согласно предложению 2, ф(х) > О. Учитывая (31),получилг Сделаем под знаком интеграла замену х — 1 = т н оценим ~1(х) — 1,',,(х) ~. Тогда з 2 Г гге т ~У(х) — 1'„. г(х)~ < — / ~6(х — т)[ соз(пт — †. '~~Ю(т)г(т. 2) о Применяя обобщенное неравенство Минковского (см. п. 3 33 гл. 2), получим — сгг г ! е 6)г — ( г:оз(пг — ) гб(т)г)т. о (32) Подынтегральную фу.нкцию можно преобразовать следующим образом: гге соь(пт — — ) г)г(т) =- з исоа) пт — — ) соь( пт — — 1г(г(т) =- 1 / 'ее а .= — збп сом пт — — ) [е1(т) — р'„,(т)).
2 ( 2) Разложим функцию зяп сов(пх — к. гг2) в ряд Фурье; к 1 4 т (з1п(к1г,Г2)) ' у ке1 2 к~ й о=г — / гое\пт — †) ф(т)йт = ) г — збгг газ пт — — [гб(т) — Ро,(г ))г1т к,/ 2 о 1 б / тет 4 (ьйп(кйгг2)) = — 1 збггсоз(ггт — — '~~41(т)г1т = — Ъ ' о„ь. уг о " ь-=г Из этой формулы и неравенства (32) вьггекает неравенство (29). Поскольку р;;,(х) Е 'Хз„. г, то функция зяп сов(пх — .г гг2) ортогональна к р',(х), Поэтому 17б Глава Я. Элел»сити теории приблиоюсиий 1 Р,',,(Х) = -»уо(1 — Е) + )» (СЦ„.
— »3„. » — (-1)»3„») СОВ(йХ вЂ”:). ь.! Подставляя это выражение в (31), получим формулу (30), П Конкретизируя константы о» и е, можно получить большое число теорем аппроксимации. Пусть ( е "Ж'„'(ЛХ), согласно формуле (2.2.9), имеет место представление (33) о где ф, определяется формулой (2.2.8). Применим к последнему интегралу предло'кение 3, считая, что г ) 2. Положвм»ц„- = й " (й = 1, 2,...), 6 = ( — 1)"»~1»», я = 0 при г четном и 6 = ( — 1)»" '»»~уз'», я = 1 при г нечетном. По формуле (30) определим полинам 1'„, (х).
Замечая, что в силу определения 6(х) ~~ й" ((а» сов(йх — — ) + Ьь в1п(йх — —,)1, где аь, Ьь -- коэффициенты Фурье функции )'', получим 1'„' »(х) — -- — -г ~(1 — т„»)(аь сов йх+ 5» в1н йх), »-1 (34) где л й Х ( 1)пхюотц ( 1, ( '1) (35) 1(21п — й)" (21п —, й)" Отметим, что при г = 1 (с = 1) ряд (Зб) будет сходиться, хотя ряд, определяюгций б», в этом случае расходится.
Правая часть в неравенстве (29) примет ввд ~6~рК, где ( 1)и.+»» К„= — ~~ т ~~ (э1 1) э» ' ь-о (36) причем имеет смысл и константа Ко. 'Георема 7. Бели 1' б "Ф'„" (г. = 1, 2,...), то ~) 1,~ < к„)(ю Чтобы избежать трудностей, при г = 1 мы эту теорему получим как следствие следуюшей теоремы.
Чтобы получить формулу (30), обрагимся к соотношению (31). Заметим, что р...(х) = ф(х) — 2сов(пс — хе)2)»о(х). Подставляя сюда вместо функции»6(х) ее ряд Фурье и заменяя произведение косинусов (синусов) суммой косинусов (синусов), после приведения подобных получим 177 г 1. Некоторые оопроси теории приблихсений Теорема 8. Пусть )'(х, р) — функция, гармоническ я в круге Я = (г! = Рео, О < <р < 1, О < х < 2я) и непрерь!оная в замкнутом круге.
Допустим,. что 7(х., 1) = 1пп 7(х, р) Е ург(ЛХ). Тогда найдется о 1 иоанном 1о з,г(х; р) В Хго ! !покои что ~У(, р) — 1в-г,,(.:. Р) „< 4 ( — 11!О'т!) < — !~(")(, 1)! и "~ ' р(г'+')". (37) г ' о (21+ 1)"'! 1=о Доккзлтвг!ызтво, Пусть разложение в ряд Фурье гармонической функции Г(х, р) имеет вид Т(х, Р) =- — — '~ Р (аьсовйх-ЬЬгв1пйх). 2 ь=! Полагая в этой формуле р = 1, получим ряд Фурье функции 7(х, 1) — — д(х). По предположению для д имеет место представление (33). Введем гармоническую функцию оы(х, р) = ~ — сов(кх — — ), ь=! ' Тогда Т(х, р) = — + — д! ~(1)о (х — Ц р)дй 2 гг/ о Применим к функции Г(х, р) при фиксированном р предложение 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
