Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 35
Текст из файла (страница 35)
10 'о 2,76744... 10 '" 9,2333 ... 10 'э 2,76745, . 10 'э 1 2,46273... 10 2 3,88492.... 10 з 3 6 36805 10 — зо 4,83260.... 10 2,92049... 10- 1,31359... 10 ы 3,13124 .. 1О 2 48154 10 — зз 3 13124 10 1,06499... 10 1,13972... 1О 2.22о42... 10 2 08865 10 9 8о595, . 10 1,29197... 10 зо 9,80511 ...
10 э 1 2,02613... 10" 2 6,94696... 10 5 95172... 10 3,78881... 1О 7,44462... 10 з 3,78931... 10 1,40046... 10'' 4 30566... 1О 1 6,97724.. 10 2 2,23227... 10 8,'22939.,, 10 9,31657... 10 1 13737 10 — зз 9 31603 10 — з 1 1,22841... 10 1 4,96657... 10 5,89781... 10 2,10515... 10 4,0780 .... 10 3.50255... 10" 7,21301... 10 7,97332...
10 1 4.ог2199... 10 1,25824... 10 ' 3,790 ... 10 1 1.98503... 10 1 6,68893.... 10 1 1.,00771... 10 1,69944... 10 3,16644... 10 1,25338... 10 9,04935... 10 1э дальнейшем увеличении 1 уточнения регнения не происходит. Приведем эвристическое рассуждение, показывающее, что приведенные два числа находятся в согласии.
Уравнения (3) запишем в виде Гг(х) = О, где Ры К + В. ~ . баэз ьы Если х — решение системы (3) и х =- х, +т, причем (т) мала, то по формуле Тейлора 0 = Я(х.) = Я(х') — Г,'(х" Ет+ О() т)'), и поэтому х +' — х" = — [Гг'(х")] Х~'(х")т —, О( ~т) ). (7) В гл. 8 будет введено число обусловленности произвольной квадратной матрицы А, равное ~ А~ ~А ' ~, где ~ ( — какая-либо нз норм матрицы. Можно строго доказать, что при вычислении по формуле (7), когда мы последовательно вычисляем Гг'(х')т, а затем [Е)'(х )] (Г~'(х")т), погрешности округления дадут вклад в величину х' ~ — х' порядка ~[[У",(х")] ~[~~Г(х')~~г.
При достаточно большом 1 н х', близком к решению системы (3), оператор [Р (х")] будет хорошо аппроксимировать оператор [Г (Ол)], где Г(р) =. Эо(х)— — эо(1)д о;( — Эо(1)х), а г(г — решение уравнения Е (гд) = О. Поэтому сззедует ожидать, что в соответствующей норме величина )[[Г'(зэ)] ]! '9Е (эз)(! бу дет близка к константе (![ГДх")] ))()Р (х'))[. В (32) мы оценили Е[Г'(й)] е в некоторой норме и получили, что ![[Г'(Сэ)] [! ( 2,274-10з.
Эта оценка завышена, но вычисления, проделанные для ее получения, наводят на мысль, что '3[Г'(8)] ~~ [~Г'(й)~[ 10 о 10з. Если взять здесь верхнюю границу, то полученное выше:значение для огзгг будет находиться в полном согласии с этой оценкой. Кбб '35. Числсннлкй пример на метод Ньютона Вопрос о величинах погрешностей округления, возникающих при решении системы (3), может быть полностью решен с помогцью тщательного анализа формулы я'~ — ш' —.
— [р) (ш")~ Гг(ш ) на основании тех приемов, которые изложены в 1 2 гл. 1. 2. Решение системы (3) при 1 = 12,..., 19 на ЭВМ ЕС-60 в арифметике четырехкратной точности (128 разрядов в мшгтигсе числа). Посмотрим, как будет выглядеть продачженгге табл. 1. Поскольку при всех 1 > 6 делается только одна итерация ньюгоновского цикла.
то мы опустим соответствующий индекс, а сохраним только индекс, указывающий зависимость от 1. В табл. 2 ллы приводим величины ег и иь Таблица 2 Как и выше, мы наблюдаем, что довольно быстро начинают влиять погреппгости округления, и уже при 1 = 19 результат хуже, чем при 1 = 18. Если принять,что у егэ = 8,14358...
10 правилен порядок, то, учитывая,что е = 2 ггэ = 293... 10 ээ, мы получим для константы ~~[Р~'(я")1 ~~~~У~'(л )9 значение = 10~. Таким образом, мы получили подтверждение тому, что ЯЕп(ф)1 '()[(Г'(й))[ 10э —; 10э. Сравнивая значения егг из табл. 1 и 2, мы видим, что первый знак у них совпадает, в то же время значения невязка шш отличаются почти на порядок. 3. Аналитичность решения. Объясним еще один факт: почему многочлен йэ(к) столь стремительно приближается к решению уравнения (1), что видно по убыванию величин шь Это убывание наводит на мысль, что решение уравнения (1) должно быть аналитической функцией. Чтобы утвердитьгя в этом, разложим многочлен дл(я) по многочленам Чебышева первого рода.
В силу четности г(о(ш) шг бэ( ) = "З Льгьт„(к). ф(т) —.- ~ АгьТгь(х), х б ( — 1, 1[, ь-о (8) Приведем таблицу коэффициентов Лгг,гго полученных.ри вычислении с двойной точностью на ЭВМ БЭСМ-6 Таблица 3 наводит на мысль, что у решения уравнения (1) коэффициенты ряда Фурье — Чебышева 156 Глава 2. Математические основы численного агшлиэо, Таблнца 3 будут экспоненциальпо убывать.
Исследование таблицы коэффициентов Аггггь подтверждает эту догадку. Отметим, что Агг гг и Аэг гг совпадают с большим чишэом знаков при и к ( П, и поэтому можно надеяться, что поведение величин ~ Агг гг[ и ~Аэггь~ правильно поредает убывание коэффициентов ряда (8). Теорема 3. Для того чгпобы функция Дх) = 2 Аг'Гь(х) могли быть г=о аналигпически продолжена с отреэка (--1, 1'' внуьтрь эллипса р комплексной г-сферы с фокусами в то шах ' — 1, 1] а полусуммой осей р > 1, необходимо и достагпочно, чтобы йш ~Ав[~~~ = р Итак, весьгаа вероятно, что решение ф(х) уравнения (1) -- аналитическая функция внутри некоторого эллипса р (р > Ц.
Если это так, то интерполяционные многочлены дл(х) должны прибли'кать уг(х) с экспоненцнальной скоростью (см. и. 3 Ь 3 гл. 3), что мы и наблюдаем в табл. 1, 2. Можно строго доказагь факт аналитичности решения гб(х)[23]. 4. Заключение. Скажем несколько глав о выборе константы ", определяющей условие конца итераций. Ногда мы решаем уравнешге Г(х) =. 0 методом Ньютона, то, как правило, нам неизвестна величина ~~ [Х; (х")] ~~ ~~ г '(х') ~~, где х" — приближенное значение решения на о-й итерации, а она может оказаться значительной, Поэтому при определении и —, 1-й итерации по формуле х'+' = х" — [Р)(х )] Е(х ) лгожет оказаться так, что уточнения величины х" мы не получаем из-за большой потери значащих цифр.
Вместо с тем неравенство ~~ т," ' — х' ~~ ( е у нас не будет выполнено, и ЭВМ, следуя програмые, будет продолжать итерации. В таком слу~ае ну-жно изменить константу е, но, конечно, после соответствующего анализа возникшей ситуации. Заметим, что только умозрительным путем (без некоторого численного эксперимента) вряд ли следует выбирать такой важнейший параметр, как константа е. ГЛАВА 3 Элементы теории приближений 8 1. Некоторые вопросы теории приближений 1. Введение. Для ряда облж:тей численного анализа теория приближений является тем фундаментом, на котором покоится здание численного алгоритма. От удачного выбора гзгособа аппроксимации искомого решения может в сильной степени зависеть эффективность п~шучаемого алгоритма. Поэтому надо четко знать некоторые разделы теории приближений и уметь легко ориентироваться в ее лабиринтах.
Раздел анализа, именуемый теорией приближений, довольно молод, он возмужал и оформился в глубокую и содержательную теорию в нашем веке, хотя первые основополагающие результаты П, Л. Чебышева были получены в 1853 и 1857 гг, [122, 123], а знаменитая теорема Вейерштрасса была доказана в 1885 г. П.Л. Чебышев в упомянутых работах ввел понятие наименее уклоняющихся от данной функции алгебраических многочленов и рациональных дробей и сформулировал общую теорему, накладываюшую необходимые условия на многочлен или рациональную дробь, наименее уклоняюпгун>ся от заданной функпии.
К. Вейерштрасс доказал теорему о том, что непрерывная на замкнутом отрезке функция может быть сколь угодно точно приближена алгебраическим многочленом, П.;1. Чебьш|евым вычислены величины наилучшего приближения некоторых функций и найдены сами многочлены наилучшего приближения; в частности. им найдены многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля (от функции, тождественно равной нулю), носящие его имя и играющие огромную роль в численном анализе. В дальнейшем С, Н. Бернштейном и Д,Джексоном была изучена асимптотика наилучших приближений некоторых функций при условии, что степени многочленов наилучшего приближения неограниченно возрастают, и исследован вопрос об убывании величин наилучшего приближения для дифференцируемых функций.
С.Н. Бернштейн обнаружил, что порядок убывания наилучших приближений является характеристическим свойством, т.е. определенная гладкость функции обеспечивает соответствующий порядок убывания наилучших приближений и наоборот. Эта связь между свойствами функций и скоростью приближения ее многочленами либо (в более общем случае) элементами конечпомерных компактов являетгя ключевой для численного анализа. Изучение таких связей составило одно из направлений современной теории приближений. Переход от приближения индивидуальных функций к приближения) классов функций (класс, как правило, ограниченно компактное множество) породил большое число экстремальных задач, и многие из них оыли 15а8 Глава, Я.
Элементы теории приблилееээиэ1 успешно решены. Это еще одно из направлений современной теории приближений. В 1936 г. А.Н. Колмогоров предложил рассматривать в качестве средства приближения классов функций произвольные и-мерные подпространства и поставил задачу о нахождении экстремальных подпространств и вычислении самой величины наилучшего приближения по классу, осуществляемого экстремальным подпространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
