Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 30
Текст из файла (страница 30)
когда р(Г'(0)) < 1, и когда неподвижнлл точка опипалкиеающал, т. е. когда р(Г (0)) > !. Вуде>м говорить, что неподви>кная точка г =. 0 отображения Г нейтральна, есле р(Г'(0)) = 1. Эти определения остаются в силе и для периодической точки отображения Г. Есаш периодическая точка имеет период п, то тогда в вышеприводещлых формулах вместо Г нужно положить Г (Г> = Г о Г', Г = ! — единичный оператор).
Случай нейтральной неподвижной точки очень интересен и сложен. Рассмотрим для примера отображение комплексной плоскости С в себя с помощью аналитической функции - '- Е(г). Допустим, что Е(0) = 0 и Е'(0) = — ехр(2>гго) (О < о < 1). Поведение шюледователь>>ости (Еп(г)): Ее(г) —. = ! о !" '(г) (и = 1, 2,...) существенным образом зависит от арифметической природы числа о. Если о = р/Е, то легко видетче что — „Ее(г) = 1. Поэтому з е >=о без ограничения общности можно считать, что о = О. Если Е(г) .—...
- т ар е —, ~- ае лг" ' Е... (ае р' 0), то нетрудно проверить, что !" (г) = = —, парге З-... и неподвижная точка отталкивающая. Если о иррационально н плохо приближается рационааьнылли числами, то, как показано в (4б), существует функция р(г) —.— - —, 2> г —,, аналитическая при г =. О, такая, что в некоторой окрестности точки = 0 имеем Е(г) = >>(Лр '(г)( (Л = ехр(2кло)). Отсюда Ее(г) = = [Л" р '(г)(, и из л>обой подпоследовательности (!">(г)) можно выделить сходя>ау>ося подпоследовательность. Ясно, что орбита точки ге при малом ~ге не покидает некоторой окрестности неподвижной точки. Условие, что о плохо приближается рациональнылги числами, состоит в том, что существуют такие г > О, р > О, что для каждого натурального а и целого гп имеем (ппн — пл( > еп '". Мера множества таких о равна 1.
Наша дальнейшая цель — дать представление об инвариантных притягивающих множествах гладких отображений. Чтобы понять, какие здесь представляютсяя возможноств, рассмотрим не данное фиксированное отображение, а множество Г(х, к) отображений, зависящих непрерывно от некоторого параметра х. Допустим, что точка г — — 0 —. неподвижная точка этого семейства тождественно по х. и пусть х б — о,,~З) (и > 0,,3 > 0). Предыло>килб что р(! (к)) < 1, где Цк) = Г'(О, к), есле к < О, а ьшлн х > О, то р(1,(х)) > 1. Рассмотрим случай.
когда оператор Цк) имеет простое собственное значение Л(к) такое, что Л(х) < 1 при х < О, Л(к) > 1 прн к > 0 и Л(0) = 1. Допустим, что остальная часть спектра оператора Цх) лежит в круге (Л: )Л! < >. < 1). (Хотя понимание затрагиваемых ниже вопросов необходимо для специалиста-вычислителя, наше изложение тем не менее будет довольно лаконичным ввиду недостатка места.) Зафиксируем значение параметра: обозначим через р собственный вектор оператора Е(к), отвечающий собственному значению Л(к).
В дальнейшем не будем указывать в явном виде зависимость от параметра к. Пусть У вЂ” одномерное надпространство, .>юрожденное вектором л>, и пусть В = У 0> РЛ 132 Глава 2. Мат>е.иатаческие основы численного а>тливо, Обозначим через Р проектор на надпространство 1', а через 2'" аннулятор надпространства >О. Если Л б гг , то 1' =(х: Х) (38) Может так случиться, что оператор Е имеет в В, — комплексификации пространства  — пару комплексно сопряженных собственных значений Л и Л, и при и ) О имеем [Л[ ) 1. Пусть а': б В, -- собственный вектор оператора Е, ОтвЕчаЮщ>гй СОбственному значению Л.
Положим С> =- р» — эгг., гдЕ >р>, гг> б В,. и пусть У "- двумерн<ю надпространство с базисом (г>>, >рг). Как и выше, через Р обозначим проектор на надпространство У. а через о — дополнительное надпространство В = УшЯ. В Я возьмем двойственный базис (Х>, >Сг), биортогональный с базисом (р...рг) б В.
Тогда Рх = (х: Л ) р (х, Лг)тг. (39) Как отмечалось, имеет место соотношение РЕ = ЕР, и если мы положим 31 = —. (1 — Р)Е, то ог>11) —.- о(Е) Л 1Л, Л), н поэтому р(>11) < 1, когда и б [ — о, 11). Пусть у = б»р> + бг>рг — произвольный элемент У; то> да (40) Р1.у = Огр т >1гЭ>г, где (>1», й)' = Ф(б>> бг)', причем матрица И имеет вид 1 сов Н вгп») .су- р [ — в>п д сов р (41) Предложение 4. Вели Г(х) б С'(О), то в окрестносп>и точка х .—.- О Г(х) = Г'(О) [х[ + — Г" (О) 'х, х[ -~. —, Г (О) ['х, х, х,'' + Гг(г>), (42) 1 „, 1 где Гл(х) — отображение, удовлеглворлющее неравенствам [П Гг(х) [ < С'[х!, й = О, 1, ..., 4.
После этих рассуждений преобразуем наше основное соотношение х> = = Г(х). Спроектируем его на подпрштрюютва У и Я. Рассмотрим вначале случай вещественного собственного значения оператора Е. Пусть у .— -- б>р, х =- = у -, '-; тогда у> = РГ(бЭ>+г), г = (1 — Р)ГЫ~:+г). ,- Л = рехр[гд) Предположим что Г(х) б С~(0) гге О открытое множество содер жащее неподвижную точку х —. О. Хотя в п. 11 81 мы определили лишь вторую производную, совершенно ясно, как следует поступать, чтобы определить производные высших порядков.
Понятно, что третий дифференциал от 1'(г) есть трилинейный оператор Г (х)[», к, 1), где >г, Й, 1--произвольные элементы пространства В. Подобным образом можно определить дифференциал любого порядка и получить обобщение предложения 9 3 1 на общий случай. Мы воспользуемся следующим предложением, доказательство которого предоставим читателю. 34.
Уравнения в конечных р оиостлх и смежиьсе еопрослк 133 Пользуясь формулами (38), (42), липучим бс = Ле -- рг(ь„ г) — (б, ) + рг(б., г) 14(с, г), г =- й? дг(б: х) Ф Сг(б, г) †' бс(б, г), (43) где рг(ь, г) = (РР "(0)[еьСг+ г, (Со — г), а)С2, д (б, ) = (1 ь В)е'(0)Ы+, бсо —,г',с2 По аналогичным формулам определяются рг, дз и ум дс.
Заметим, что рг(с, г) = Ас — , 'В(г)б -~- С,г, г[, (44) где А с-. П., В(г) 6 У*, В: У В., С, г[ — билинейный функционал, С: У х х К К. Подобным обре:зом сг(с, ) = аб + Ь[г)с — ' с[с, г), (45) Теорема 2. Пуспсь В, С, П вЂ” банаховы ссростраисспва и )(х, у) — непрерывное оспобзюжеиие открьипого множеспша О 6 В х С в Н. Допустим, испо 1(х, д) имеет сильную ироизводиую ( (х, у), иепреуывкусо по совокупности переменных х, у в лснооюестве О. Предположим, ипо )(хо, уо) —— — 0((хо, уо) б О) и операисор у' (хо, уо): В И обратим. Тогда существуют саар Т(уо, г) С С и такое непрерывное отображение и:?(уо, г) В, что и (уо) = хо, ?[и(у), у) = О.
Если с =- Се[О; (й > 1), то и 6 С" [Т(уо, г)~, причем и„(у) = — (?',юл(у), у[) со[и(у), уЬ (46) Доказатгльс,'тась Проведем его для простоты в гладком случае, предполагая, что Ь ) 2. Не ограничивая общности, можно считать, что то = до О. Так как Ях, у) гладко зависит от х, д, то к уравнению 1(х, у) = 0 при малом у применима теорема 17 31, и, следовательно, существует решение этого уравнения и(д) в некотором шаре Т(О, с). Докажем дифференцируемость функции и(у), а тем самым и ее непрерывность.
Пусть ус, уг б Т(О, .г), х, = и(д,) (г' = 1, 2). Используя предложение 8 с 1, получим 0 = се(хг, Уг) — сг(хс, Ус) = ((хг, Уг) — ((хс, Ус) + ) (хг, Ус) — ?(хс, Ус) = .—.- 1"„(хг, ус)[У[ -'-Ф(1с) — ' ? (хс, уг)[Ь, ~ <х((с), где а 6 Л, Ь -- линейный оператор, Ь: Š— э Е, а с — билинейный оператор. Для рг и дз получим аналогичные формулы с теис отличием, что они являются трилинейнымн формами от своих аргументов.
С помощью обратимой замены (ьс, г) ~ (сб и) можно упростить выражения (43), уничтожив отдельные слагаемые, т. е. проделав частичное приведение к нормальной форме. С понятием нормальной формы можно познакомиться в [5, 34,46). Заметим, что если х — — Ф(Ц -- обратимая замена переменных, то изучение орбиты (Г" (хо)) сводится к изучешсю орбиты (Ф" (Со)), где Ф =- =- Ф с о Его Ф, а Ф = Ф о Е о Ф, Со — —. Ф (хо). Отображение Ф может быть устроено проще, и задача изучения орбит (Ф" (со)) также может оказаться проще.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
