Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 27
Текст из файла (страница 27)
= О, 1...) -- числа нз некоторого поля коэ4ь ..=е фяциентов, Я .- какой-либо нз операторов, либо уже введенных, гпгбо из тех, которые будут введены ниже. Обозначим через Р оператор дифференцирования: Р =. г((ах, .который будем рассматривать на С ( — оо, со). Так, элементом кольца операторов будет оператор ~„(а",1п!)Р, применив который =е к функции Т(х) б С( — оо, гю), допускающей аналитическое продолжение в полосу ~ 1шх~ < ф получим (~ —,Р" Тч (х) .=- У(х Р а). .=о Это известная формула Тейлора, которую можно записать в виде В такого рода соотношения мы будем вкладывать следующий смысл: мнт жество тех функций 1(х) с С(-.оо, оо), ца которых определены операторы., стоящие в обеих частях тождества, непусто и достаточно массивно (например, всюду плотно в С( — оо, со) в естественной топологии), и мы получаем один и тот эке результат, применив эти операторы к 1(х).
Очень важное свойство рассматриваемого класса операторов . это свойство перестановочности с оператором сдвига. Так, например, оператор дифференцирования Р и оператор сдвига Ть при любом Ь коммутируют, и это их свойство лежит в основе тождества (1). Рассмотрим класс З линейных операторов, перестановочных с оператором сдвига Т" при любом 6. Ыы потребуем, чтобы область определения произвольного оператора Е с З содержала множество 09' и чтобы В. () аэ„— э С( — со, оо).
Предположпм также, что операторы класса З удои влетворяют условию В: х Со р' О, причем константу Со можно считать равной 1. Предложение 1. Если Е С. З, р(х) б !У„г . произвольный полинам, таа В: р ° а С ЕР„. В частности. Е: 6 г О, где Ь б В.. Доказатьльство. Прежде всего заметим, что БТ": х ьэ Вх + ВЬ вЂ” —. 1 -' -Р В6; но ЯТ~ = ТьБ, и поскольку Е: х ~ — ~ 1, то Е: 6 ~ О. Для доказательства оставшейся части предложегпгя применим индукцию по п и допустим, что для произвольного многочзена й(х) С,'У„(г1(х) = Ьох'* -~-... — Ь г) имеем Е: ах ° . Ьо(п.— 1)х" г л ..., где многоточием обозначаются члены с младшими степенями х.
ПУсть Р(х) С Оэ„лм Р(х) —.— аех" —, ... есть пРоизвольный многочлен. Заметим, что гль: р(х) г ааоЬх" -~-..., и поэтому по предположению индукции Егерь: р(х) п(п — 1)аоЬх" г+... Если В: р(х) ~ р(х), то, поскольку Егзь = =.льЕ, получим Ээ( )(х '; 6) — Ф(х) = п(п — 1)аойх 34. Ураоненал о конечных р оносгилх и смеоюньы вопросы 119 Правую часть пос.геднего равенства можно записать в виде уь(х + 6) — уя(х), где уь(х) = паох" -~-... Поэтому, полагая гл(х, 6) = р(т) - дя(х), получим ф(х+ 6, 6) — щ(х, 6) г— е О.
Последнее тождество означает, что функция щ(х, 6) — периодическая функция с периодом 6. Значит, р(х) = а(х, 6) + уь(х). Но величина 6 произвольная, и, следовательно, многочлен уь(х) не зависит от 6, а Ю(т, 6) .=- сопеа Таким образом, р(х) = паох" ..., у(х) б ол„. П Доказанное предложение позволяет связать с каждым оператором Я б зз систему фундаментальных многочленов, определяемых с помощью соотношений о: р„(х) .— пр .. г(х), ро(0) ж 1, р (0) = 0 (и = 1, 2,...). Если Б = ??.
то фундаментальные многочлены суть р (х) =. х" (и = О, 1, ..); если Я = Ьг (в дальнейшем вместо Лг будем писать Ь), то фундаментальными многочленамн буду.т так называемые факториальные многочленьг р„(х) — — .г —" (п —.— О, 1,...): х —" .— — х(х — Ц... (х — и -Ь Ц. (2) Проверка формулы йх —" = пхе:1 производится элементарно и предоставляется читателю. Заметим, что гл ха- =. ист ц.
—. (3) ,иь р (х 4-у) = ~ —,р ->(х)рь(у). ь=о (4) Докязятнльство. Соотношение (4) докажем с помощью математической индукции. Если и = 1, то соотношение (4) очевидно Допустим, что оно верно для многочленов рг(х) (~ ) гг — Ц. Обозначим через р(х, у) сумму из правой части формулы (4). Применим оператор Я к гг(х, у) как функции переменной т. Тогда гга " '(и — Ц вЂ”" Я: ог(х, у); ~~ (п — 6) †,р — г-ь(х)рг(у) = и ~ ~, р„ ~ я(х)рь(у).
ь=о ь=о С другой стороны, Яр (х — у) .= (БТ ро)(х) =- (?горо)(х) = пр„г(х 4-у). Итак, 60 р„(т. -~- у) — т"(х, у) ~-~ О, откуда следует, что ра(х Ц вЂ” р(х, у) = С(у). Полагая в этом равенстве х = О, получим С(С) =- О, т.е. получим формулу (4). П Совершенно ясно, что формула (3) есть аналог формулы П"х = и сх":", Базисные многочлены удовлетворяют интересному тождеству, которое можно трантовать как ик формулу сложения. Предложение 2. Пусгиь (р (х)) — базисные,ыногочлены оператора и б З.
Тогда 42О Глава 2. Математические оснооы численного анализа Если Ь' = Г>, то р (х) .—. х" и формула (4) — известнвя формула бинома Ньютона. Если Я = с>, то формула (4) дает также известное соотношение (х+ у)н = 2 —,х — — у-. ь.а (6) Предложение 3. Пусть огг' — произвольный оператор. перестановочннй с оператором Ть, Ь' е З и пусть [р„(х))„— система фундаментальных многочленов оператора Я.
Полозкам а„=- (>г'р )(х)[ о. Тогда (6) Доказательствое Рассмотрим функпии вида Пх) — ~ —,',рь(х), бь ь-о где последовательность (Ьг) такова,что ряд сходится на лн>бом конечном от- резке [ — >">', >>>). В силу определения фундаментальных гпн>гочленов 5": ф» ~ —,харь (х). й! Обозначим через Ф' оператор из правой части формулы (6).
Тогда ~ и' ~ й> ,=о ' ь.: В последней формуле можно поменять местами порядок суммирования, что законно хотя бы в том случае, когда Дх) — многочлен. Поэтому с> Ь ~р; ф —. ~ ~', ~'— ", унрь „( ). ь=о ' =а Рассмотрим сумму ь ог = х> — аьрь .в(х) '- п! ь=а Учитывая определение величин а„и формулу (4), имеем г ь —.а.р, .(х)1~ = )гг[рь(х+у))[„а, =о г 1г=а Понятно, что формула (4) может служить ис.точником самых различных тождеств. Докажем еше одно замечательное тождество.
84. Уравнения в конечных разностях и смоленые вопроси 121 где оператор зггз действует на функции переменной у. Пусть а!! ! рь(х) — !:р(х). Тогда 97рь(х -~ Ь) — — (ЖТ"рь)(х) = (Т'а)урь)(х) = зг(х -, 'й) и, следовательно, Поэтому аь = ( !!'ра)(х) и, следовательно, "1':,!' Х ~— (Фрэ)(Х) .— —.
ЧГ (~ ~— !рв) (Х) = (зГг 7)(Х), а=о я=о что эквивалентно формуле (6). П Формула (1) является частным огучаем формулы (6). Имеется еще один очень красивый частный случай. Пусть а)Х = Т', Я = йц тогда из формулы (6) имеем Т'=С, йг" ,!=О" (7) Данная формула — полный аналог формулы (1). Ряд (7) называется рядом Ньюп!она, а соотношение з (х Ф а) = ~ —,Ь" Т(х) л=е (8) 2. Уравнения в конечных разностях. Рассмотрим вопрос об уравнениях в конечных разносгаях. Так будем называть уравнения вида Ф[х, г(х), Ьу(х)! ..., гз "7(х)) = 0 (9) относительно неизвестной функции 1(х). Функция Ф считается определенной в некоторой области лг С К" .
Так как Ь" ((х) — линейная комбинация, со." +а ставленная из 7'(х), ..., 7'(х — ' и'), то уравнение (9) можно записать в эквивалентном Виде' Ф, ~ ., 7(. ),..., Г(х+ ) ) =- 0. (10) Предположим, что это уравнение можно разрешить относительно 1'(х 1 и); тогда получим Яхр и) = Г(х, Т(г), ..., Ях -~-и — 1)). (11) Если функция Г(х, уг,..., у„) существенно зависит от переменной уг, т. е. если — Г(х, уг, ..., у ) за О, то уравнение (11) называется разнастным уравнением в зз! и-го порядка. называется формулой Нею!лона. Обычно ряд (8) рассматриваетсв при фиксированном х! а параметр а играет раль независимой переменной.
Ус~овна сходимости ряда (8) довольно сложны, и требуется, чтобы функция 7" (г) была регулярна в некоторой полуплоскости Не г > о и удовлетворяла определенным ущювиям роста 1(огда Т й Я, ! ! формула (8) дает представление многочлена в форме Ньютона (см. гл. 3, 8 4). 122 Глава д. Математические осиооег численного анализа Простейшим классическим примером разностного уравнения первого порядка является уравнение У(х — Ц = хХ(х), х > О, (12) которому удовлетворяет гамма-функция Эйлера Г(х) =- / Е~ ~е ~дс,.
х > О. о Поскольку Г(х) А 0 при х > О, то, положив ) (х) = Г(х)гг(х), получим эо(х —, + Ц = т(х) (т > О), т. е. у(х) — периодическая функция с периодом 1. Таким образом, уравнение (12) имеет бесконечное число решений, и каждое из решенепй определяется некоторой периодической функцией с периодом 1. Кстати, стобы выделить из указанного множества решений гамма-функцию, достаточно потребовать, чтобы функция )л Д(х) была выпуклой при х > 0 (эта теорема принадлежит Г. Бору н 31оллерупу). В дальнейшем будем считать, что в уравнении (1Ц величина х не произвольна, а имеет вид х = хо + т(т Б Х ), и поэтому уравнение (1Ц примет следуюпеую форму: = Г(т, )' , ..., ~,е .е), т = О, 1, (13) где (г = Х(хо + 2). Ясно, что решение данного уравнения однозначно определяется начальными данными -- величинами уео, ...,,( ы которые можно выбрать произвольно.
Уравнение (13) можно записать в виде системы разностных уравнении первого порядка. Для этого положим х,'„=-. о=1,2,...,и),х„„=(х',...,х,"„) бП". Тогда на основании уравнения (13) получим х,„е~ — -- д(т, т„), пг =- О, 1, (14) где д(т, х ) = (г (т, х„"„..., х~ ), х~, ..., х" ) . С рекуррентнымн формулами вида (14) мы уже встречались в 3 1 настоящей главы при изучении ньютоновского итерационного процесса н назвали итерации вида (14) простыми. Рассмотрим вначале линейные уравнения. В этом случае д(гп, х ) —. А х „где А, — некоторая матрица.
Таким образом, х г —. А х и, следовательно, х =- .4 — е... Аохо, т .=- 1, 2,... (13) Теоретически зта формула дает решение задачи при произвольном начальном векторе хо, но для полу.чения конкретных аналитических результатов решение (15) может быть абсолютно непригодным. Поэтому особо рассмотрим линейный случай уравнения (13), а именно уравнение У, + ае(т)г' е„— е +... —, а (т) à — д,, т Е Ее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
