Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Кои!и равен 11ч = П (а, — ььг)(6, — Ь )( П (а + 6!)) !«<г<ч ь<!.г<в (22) (23) С(х"! — ',, х,"ь — ') 2т — 1 и, -ь-т — 1 Предложение 2 (Х. Мюнц). Длл !ив<в чтобы иастема функций 1, (х" ь) (О < и! < пг < ...) бььла пвлььа в С~О, 1',, необходимо и двстатвчнв,. чпгвбы расхвдилсл рлд 2,'п г=! Доклзлткльство. Характер сходимости данного ряда не изменится, если в нем отбросить несколько первых членов.
Поэтому можно считать, что п! > 1ь'2. Докажем достаточность условий. Пусть т > 0 — целое и т, не содержится среди чисел (и„). Имеем очевидные соотношения х — ~О х '~ = ьп / (х — ~гг,х )ььх~ ьч (24) ( ги / х"' " — ) д,хьь ' Нх ( т~г(' х ' — ~ ~3ьы"' ' Йх) о ь-! о *': ! причем последнее неравенство получено с помощью неравенства Буняковского- Шварца. Если ряд 2 и. ' расходится, го при Ь )со г=! и * и и,— т г 1 — та, — ь0, пь + ьы -- 1 ~ х л 1 т (т — 1))и, (26) Доклзатвльство.
Вычтем первый столбец детерминанта последовательно из второго, третьего,..., п-го столбцов, а затем вынесем за знак детерминанта Ь! — Ьг из второго столбца 6! — Ьг из третьего и т д. Затем вынесем (а! + Ь! ) ью первой строки, (аг — 'Ьь) ' из второй строки и т д После этого вычтем порвую строку последовательно нз второй, третьей,...,п-й строк, а затем вынесем за знак детерминанта (а! — аг)...(а! — а„)(а! + Ь ) !...(а! ч- Ь„) '. В итоге останется детерминант Коши п — 1-го порядка. Поэтому формула (22) получается пе индукции.
П Заметим, что детерминант Грама С(х'н, ..., хча ) является детерминантам Коши с элементами а, = и, — 1ьь2 (г = 1, 2, ..., 6), Ьг = п — 1ьь2 (1 = 1, 2, ..., Ь), .а в то же время детерминант С(хв' ',..., хьь ', хы !) является детерминантам Коши и имеет те же самые элементы а„Ь, если ь, ф ( )ь, и шьементы аь ! = т — 1ь2, Ььл! = ги — 1/2. Поэтому, применяя формулы (20), (22), получим 104 Глава 2.
Математические основы ч»»с»»енного анализа. (2б) Этн матрицы (для различных и) называются матрицами Гильберти. 3. Ортогонвльные полнномы. Рассмотрим гильбертово пространство интегрируемых с квадратом функций по некоторой мере йа. Будем считать, что функпии определены на некотором отрезке 1 = [а» (>), причем случай (» — а .— —. оо не исключается.
Обозначим это пространство через 1 (1; х), скалярное произведение в нем зададим в виде ((, у) = ~ У(х)д(>»)с1о(х). Предположим, что х б Ь»(1; и) (п. = О, 1,...). Допустим также, что п(х) имеет бесконечное пшло точек роста. Если сЬ(х) = ы(х)йх(ы > О), то наше пространство будем обозначать через Лэ(1;ы). Ортогонализируем систему (х,"), пользуясь методом Сонина--Шмидта, и пОлучим систему ортогенапьных многочленев ре(г'),..., р (х),..., под пшЕпную условиям: 1) р (х) . - многочлен степени и с положительным коэффициентом при х": ь 2) ) р (х)р (х)йа(х) .=- О при п ф т. Внедем моменты меры ь с„= / хлеб(х).
(27) так как бесконечные произведения П (1 — — "'~), П (1 4- ' ') расходятся со=> =1 ответственно к нулю и бесконечности. Поэтому нз (20) и (24) ш>едует» что любую степень хм можно аппроксимировать в С[0, 1, "линейными комбинациями функции (х"')» т.е.
условие достаточно. Но оно же и необходимо, так как для системы (х"» ), полной в Лг О, 1;. ряд 2 и ' расходится, как это еле гует »=1 из (23), а полнота системы в С,О, 1 влечет полноту в 1, [О, 1). П Рассмотрим систему целых степеней (х ) . По теореме >»(юнца из этой »=о' системы можно удалить бесконочное чисто членов, и система будет оставаться полной в С О, 1).
Так, например, можно оставить только функции 1, х, ...., хг»..., для которых показатель — простое число либо нуль. Ввиду того, что ряд 2 р ' расходится, эта система будет полной. В то же время лгы оставили много меныпее число членов исходной постедовательности, так как на отрезке [1, и[ имеется лишь = п1' 1и и простых чисел. Поэтому система целых степеней (х") переполнена. Использовать ее в численном анализе в качестве базиса недопустимо. К каким последствиям это будет приводить, мы установим позже. Поэтому от системы (х") необходимо перейти к ортонормированной системе, т.е.к системе ортогональных многочленов. В заключение отметим. что в нашем исследования пришлось столкнуться с матрицей, ичеклцей вид 33. Ортогональныс системы е гильбертоеых пространствах 105 Пользуясь формулой (21), ортонормальные многочлены можно записать в виде со сг ...
с р„(х) = (2э„гй„) '''''''''''''''''''', п>1, (28) 1 х ... х" где  — -- бе1 (сг г) ~, (и > О). Укажем некоторые общие свойства ортогональных многочленов. Прежде всего отметим, что в случае конечного интервала Ь вЂ” а < сс многочлены (р„(.с)) образуют ортопормвльпый базис. Это следует из теоремы Вейерштрасса. Когда Ь вЂ” а —. со, многочлены (р (г ) ) могут уже не образовывать полную систему. Пример такой меры: грх(х) =- ехр( — х" создл)ох (О < Р < 1/2); функпия, ортогональная к надпространству, натянутому на систему (ро(х)), имеет вид /(х) = вш(х" шпдт].
Длл того чтобы многочлсны (Р„(х)) образовывали оргоогональиый базис, необходилю а досчлаточно, чтобы 2 )р„(г)]г = оо. (Вместо г = т/ — 1 здесь о=о можно взять любое комплексное число г: Аг зе 0.) Из соотношения (3) вытекает, что лгобой лшогочлен 9(х) степени и можно единственным образом представить в виде д(х) .— — о„р„(х) -~- .. -1- поре(х). Ортогональные многочлоны удовлетворяют рекуррентной формуле р (х) = (а х.1- Ь„)Р„ 1(х) †. с„р.*-г(х), и = 2, 3,..., (29) где о„> О, с > О. Если старший коэффициент Р„(х) (Р„(х)) обозначить через й (Ь„), то а„= Ь /Ь„м а если многочлены ортонормированы, то г с =а„/о г =Ь Ь ...г/Ь (30) Заметим, что хр„г(х) = 2 егерь(х). Отсюда (хр„г, Рг) = 2, оь(рь, Р,), ь..о ь=о и в силу ортогональности пг,,~р,( — -- (хр„м р,).
По (хр — м Рз) = (Р -г хрг) г-г и, учитывая, что хрг = 2 Дерь(х), получим (хр„. ы рг) —" 0 (1 < и 2). г=о Следовательно, ог = 0 пРи 1 < и -- 2,и, стало быть, (31) хрн — г(х) = пори(х)-1-и гро — г †, о„ вЂ” гр — г(х). Сравнивая коэффициенты при старшей степени х, получим и = Ьм г/Ь . Разделив последнее равенство на о„и определяя из него р„(х), получнм формулу (29) и формулу для а„. Вычисляя скалярное произведение (Р„, Р„г) с помощью формулы (29), получим а,.(хр г, р.-г) — сл(р -г3 = О. Поскольку хр„г = (Ь„г/Ь, г) х р„.г + 3 .гр — г .... то о )Р— г(, — с„)Р.— г( = О. 1с Отсюда следует неравенство с„> 0 и для ортонормированнык многочленов формула (30). Формула (29) справедлива и при и, .—...
1, если положить г(х) - =О. 106 Глава 2. Машвматичвскив оснооы численного анализа. Из формул (29), (30) вытекает известная формула Кристоффеля — Дарбу (доказанная ими в случае Йт(г) = <1г). Ь- Р— (х)Р (у)--Р «(у)Р (х) 3: () () Рь(х)рь(у) <=о х — у (32) В самом деле в силу формулы (29) Р„,(х)Р„(у) — р„+г(у)Р„(х) .— -- ((а„<х —. Ь„,)р(х) — с„е<Р г(х)]Р„(у)— ((а„<у — Ь„~<)р„(у) — с„<р . <(у)]Р (х) = = ао <(х — у)р~(х)Р (у) —;соэг(ро(х)Р<,-<(у) — ~Р-<(х)Р~(у)]. Отсюда, пользуясь формулой (30), после деления на а„< (х — у) получим тож- дество 1 1 <<Р„.~< (х)Р„(у) — Р„э < (у)Р (т)] а <г х — у = Р.(х)Ри(У) -.
— (Ро(х)Р -<(У) — Р<(У)Р -<(х)] а„ х.- у ;~ . Рь(х) = - (Р +<(х)Р (х) Р.„,(х)Р (х)] (33) <=о << ;1 Сделаем одно общее замечание в связи с рекуррентной формулой (29). В том виде, как она записана, она используется в теории ортогональных многочленов.
Однако мы ее рассмотрим в эквивалентном виде (31) для ортонормированных многочленов. Вводя величины Ьо, = (арне<, Ро), ао = (хро, Р,) (п = О, 1,...), можно соотношение (31) записать в виде хр„ (х) = Ь,„ <Р (х) + а„ р„ <(х) 4- Ь„ гр„..г(х), п = 1, '2,... (34) Таким образом, фиксируя ро (скажем, полагая Ро = 1), получим последова- тельность (Р„(х)), е<ли задана матрица с во Ьо О Ьо аг Ь< О 0 6< аг Ьг О (36) Эга бесконечная симметричная трехдиагональная матрица нкзь<вается л<атрицвй Якоби. Заметим, что в нашем <шучае Ь, > 0 (ф = О, 1,...), в то время как а . могут иметь произвольный знак.
Итак, задавая меру Йо(х), мы построим систему ортогональных многочленов (Р„(х)), причем, нормируя меру условием ) до(х) = 1, будем иметь Ро(х) = 1. Следовательно, соотношение (34) определяет единственным образом матрицу Якоби (35).
Наоборот, задав матриц< Якоби, мы по формуле (34) однозначно опреДелаем системУ полиномов (Ро(х)). БУДет ли эта система оРтоноРмальной по справедливое и при п =- О. Полагая в этом тождестве п =- О, 1, ..., т и проводя суммярование, получим формулу (32). Если же теперь в (32) положить у = х, то пола чим 23. Ортогональныс системы в гильбертооых пространствах 107 некоторой мере? Оюгзывается будет — такая мера будет существовать, причем можно указать условия, когда она будет единственной.
1!оскольку на прямой К все меры исчерпываются мерами Лебега- Стилтьеса, то о(х) можно считать монотонно неубывающей функцией. Будем нормировать о(х) условиями о( — оо) = О, о(х + 0) = о(х). Якобиевал матрица (36) (для когпорой Ь; > 0 (1 = О, 1,...)) определлет г единственную меру, если расходигпся ряд ~ ~ро(с)~ . Если же рлд сходится, о=о то мера будет неединственной. Из формулы (28) следует, что система ортопормальпых полипомов (р (х)1 будет однозначно определена, если известны моменты меры с„(п = О, 1,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
