Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Моменты меры не могут образовывать произвольную последовательность (с ), поскольку для любого пи любых вещественных величин бе, ..., 6„(2 бг ф 0) '~=о будет выполнено условие (36) сьзлЫ > О., ю ~=о вытекающее из соотношения в сг гбгО = / ( ~ ~бляд) до(х) > О. к ~=о хе=о Знак равенства в этих соотношениях будет иметь место, если о(х) имеет конечное число точек роста. Выше мы исключили этот случай, в поэтому в (36) будет строгое неравенство.
Последовательности (с ), удовлетворяющие условию (36), называются погитивньгми. Таким образом, всякая мера определяет некоторую позитивную последовательность. Оказывается, что справедлив и обратный факт. Всякая позитивная последовательность определяет систему ортонормальных многочленов Ггр (х))., а следовательно, и соответствующую матрицу Якоби. Поэтому погитивнал последовательносгпь определяет некоторую меру, моменты которой сосспавллют нагну последовательность.
Мера определяется единсгпвенным образом в тех же случалт, когда якобиева могпраца определяет единственную меру, Задача об определении меры по некоторой последовательности носит название проблемы моментов. 4. Нули ортогоннльных многочленов. Предложение 3. Пусгпь 1рь( )1ьег, — сисгтема ортогональных поланомов на (а, Ь). Тогда нули ортогонального многочлена р„( ) просгпые а все лежапь на ингпервале (а, Ь). лйпкязяткльствсь Пусть хо -- нуль многочлена ро(х).
Если хо -- комплексный нуль, то путем будет н хо. Положим д (х) = р (х)Г'(х — хо). Так как ро(х) — Ортогональный многочлен, те О = (р, Ч ) = ((х — хо)Ч„, у ) = (хуо, ат) -. го(б, й ). Отсюда хо = (ху, у„)/(у„, д„) и, значит, хо — вещественное число. Из послед- ней формулы вытекают неравенства а < хо < Ь. Еслк хо — кратный нуль, то, с одной стороны, (рл, рь~ (х х1) ) — О, 108 Глава 2. Матгматичгскссг основы числелного асшлиго. а с другой— ( ( )г) ! поскольку мера дл(х) имеет бесконечное число точек роста. Это противоречие доказывает,что хо простой нуль. (З Предложение 4. Пусть а < хг « ...
х» < Ь -- ссули много»лена р (х), хо = а, хо+с — Ь. Каоссдьсй интервал (х„, хо+с) содержит, один и только один нуль много»лена ровс(х), Докязятнльство. Пусть х, х с — два последовательных нуля много- члена р„(х). По теореме Ролла между ними лежит нуль производной р'„(х), причем единственный, так как имеется и — 1 промежутков между двумя последовательными нулями многочлена р (х), Поэтому р'„(х„) н р'„(х лс) разных знаков. Полагая в формуле (33) т =. и, .х = х, а затем х = х получим р„.~с(хо)р(с(х ) < О и р„ес(х, с)рс„(х, с).
Следовательно, на интервале (х, х,, с) лежит хотя бы один нуль многочлена р ес(х). Покажем, что на интервалах (хо, хс), (х»н х эс) имеется еше по крайней мере по одному нулю многочлена р» с(х). Буде»с считать, что н нечетно; тогда, поскольку р„',(х) — многочлен четной степени с положительным старшим коэффициентом, имеющий и. — 1 нулей на интервале (хн х»), то р'„(хс) > О и р'„(х„) > О. Из (ЗЗ) следует, что р„ес(хс) < О, р„эс(г ) < О. Так как р сс(х) — многочден четной степени с положительным старшим коэффициентом, то отсюда следует, что на (хо, хс), (гсн х»ес) лежит еще хотя бы по одному его нулю.
Значит, в точности на (х, х эг) (д = О, 1, ..., п) имеется по одному нулю. Если и четно, то аналогичное рассуждение дает наличие нулей многочлена р„г(х) на интервалах (хо, хс), (хсн х„-с). П У|саванное свойство нулей двух последовательных многочленов р„(х), розг(х) носит название ссгргмгошагмости. Но»тле мы не будем углубляться в вопрос о свойствах нулей ортогональпых мпогочленов, а рассмотрим одно минимальное свойство этих многочленов.
Рассмотрим задачу на минимум 1 = )) (х" -' асх""' д-....~. а сх -~ а„) до(х) ш1, где нижняя грань берется по аг,..., а„с, Поскольку х" .~-а,х"' ' д,. с-а„,х - а» =. 1с„''р (х) 1-оср -с(х) 1.... -; о ро(х), » то 1 — — й„)р„1' + 2,' о, 'р„,), а значит, минимум достигается при о, — -- О о=с Ц вЂ”.. 1, 2, ..., и.), и он равен Ь„~) р Итак, среди всех многочленов степени п со старнснм коэффициентом 1 наименьшую норму в Лг(1; сг) имеет многочлен я„'р„(х). Он называется много»лоном, наимгнег уклоняюсцимся от нуля в метрике пространства ьг(1Ь о).
б. Классические ортогональные многочлены. Пусть а = . 1, Ь вЂ”.- 1, до(х) = (1 — х) (1-е х)~дх, где сг, 3 > — 1. Ортогональные многочлены для такой меры назьсваютс» орсаогональнмми много»ленами Якоби. Ьудем 11О Глава, 2. Матпелсатпическтсе оснооьс чтюлеиного анализа В гледуютцеъс пункте мы покажем, как выводится формула р„'"*в (х) = — ~т (.)(и — 'о+ 3+ Ц... (и+ о — 3+3)(от)+ Ц .. и.
"т=о ( 2 ) Отсюда вытекает, что й„ь — коэффипиепт при х в р„* (х) — дается ра,(, в( (,Ж вене»воле (а, В( 1. —.т (в, В( 2-. (2((+ Ст+ 3) (42) и Иным следствием форыулы (4Ц является формула — [р), *Ю(х)~ —,(п 4-о 4-3+ Цр„,'' ' ' (х). (43) Для многочленов Якоби коэффициенты рекуррентной формулы (29) будут иметь вид (2и+ о+ 3)(2п+и+ 3 — Ц (ог — 3т)(2п+ о-(-3 — 1) 2п(п 4 о -(-3) ' 2п(2п 4 о+ 3-.
2)(п Ро+ 3)' (2и 4 о+ 3)[п уст — Ц(п — ' 3.- Ц (44) (2п+ о+ 3 — 2)(п+ о —, 3)п Если нужно воспользоваться нормированными многочзенами, то можно применить соотношение ( в( г 2 В+ ('(п — , 'о 4- ЦГ(п,,з 4- Ц (2п -(- ст -; т3 4- Ц)7(п .т ЦГ(п + о (- с3:,.
Ц Классические ортогональные многочлены удовлетворяют не только трех- шенному рекуррентному соотношению, но и дифференциальному уравнению второго порядка. Многочлен Якоби р„ ' (х) удовлетворяет уравненшо (ю в1 (1 — хв)ув -'- [3 — ст — (о+ 3+ От)х)ту' 9 тт(и+ о+3 Цу = О. (46) В самом деле, .это уравнение можно записать в виде — [(1 — х) е'(1+х)в ' — 1(п(п+ о — 3+ Ц(1 — х) (1 —,х)3у= О. с(х 1 ах~ Если у = р~~' В((х), то с(х — [(1 — х)"+ (1 4-х) ~ — ~ =.(1 — х) (1 + х) с((х), с(» где с( Е М„вь Покаткем, что с( = су, для чего достаточно установить, что (с(, г) .= О лля любого г б розе. Но х) (1 ( х) Чт дт, = у т'(х) — ~((1 — х) (1 -(. х) — (с(х = в, /, с( Г -т, в(.т~Ь1 дх с(х — 1 — 1 1 = / (1 — »)" (1 4-х) — — с(х.
т с(г с(у с(х с(х з3. Ортогональные спстемы в гильбертооых прострамсплах 111 Интегрируя по частям еще раз., получим г (Ч, г) =- / у — [(1 — х)" ~(1 У х)'г '~ — У] г1х, Но этот интеграл равен нулю, так как у под знаком интеграла умножается на (1 — х)а(1 4-х)ег(х)., где г(т) б Вг ., и поэтоъгу (д, г) = (у, г) = (р ', г) = О. Постоянный множитель с = — п(п л- а+ В+ 1) находится путем сравнения старших членов. Для многочченов Якоби можно найти производящую функпию. Соответствующую форъъулу мы приведем без вывода: ррн ~(х)г" =.. 2"+Л(1 — 2хг+ г ) [1 — 4- (1 — йхг —; ) ] х н=о х [1-~.гй (1 — 2х -.
'г ) ] . (47) р (х)г = (1 — 2хг -'; г ) =о и если положим х =. соя В, г =- г/с, то будем иметь классическое соотношение теории потенциала: р (созВ)г с " = (с — 2сгсовВ+ г ) =о Если рассматривать г и с как расстояния точек Р и С до фиксированной точки О, а В как угол между отрезками ОР и ОС, то функшъя (с — 2сг сов  — ,' гъ Ыг рг ) дает значение в точке Р потенциала силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра С. При о — -- Д = — 1/2 получаем многочлеяы Чебышева первого рода, которые будем обозначать через Т (х).
Связь между иногочленами Т (х) и р,„' (х) дается формулой 1 — 1/2, --г!Ю 2 4...2п 1 Чг Чг1 1 3...(2п —.1) (48) Чтобы найти компактную формулу для многочлена Т (х'), воспользуемса его хаРактеРистическим свойством (Тт Ч) = О го Е гг'а. ЗаписываЯ это Ряд в левой части сходится нри малых [г[, ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы при г =- О получить положительное знаъешге, а ветви функций 1, гл берутся те, лля которых положительное зна гение получается при 1 = 1.
Рассмотрим теперь частные случаи многочленов Якоби. При а =,В = = О получаем систему мпогочлекоо Леогсапдра, которые будем обошачать чсроз р„(х) (и = О, 1,...). Формулы (39) — (47) в этом случае упрощаются, и особенно формула (47). А именно, в этом случае получаем 112 Главе, 2. Математоичеекие оеноом численного анализа скалярное произведение в явном виде, получим 1 Т (х)д(х) — — О. х/1 — хг -1 Сделаем подстановку х = сов В; тогда легко видеть, что Т (сов 0) = н„соя пВ +... — ' ог сов 0 4- оо, д(соя 0) = Оа г соя(п — ЦО +...
+,ОЧ сов  —, Зо. Подставив зти выражения под знак интеграла, получим (о„совнО-г... -~-огсовО-~-но)(В г соя(п — ЦВ т... + А совВ-~- Во,'ОВ = О. о В силу произвольности коэффицггентов О„ы ..,, Во и ортогональиости систе- мы (сов)гО) получим ое г .=....—. оо = О. Позтому Т„(х) = о„совпО, соя 0 =- х. Из формул (42) и (43) получаем, что о„— 1 и Т„(х) = сов тг атосов х. (49) Используя формулу Эйлера ехр(гх1 = совх-~-)шпх, много елен '-1ебышева 7'„(х) можно представить в виде Те(х) = ((х-~- Ьгх'-' — Ц" + (х — т/хг — Ц "~ г2.
(50) Отсюда следует, что 'лМ ь Т„(х) = —, ~ ~'(2х) 2 lс!(и — 2в) ! ь=о (5Ц Рекуррснтная формула (29) в данном случае имеет вид Т (х) =. 2хТО г(х) — Т„г(х), п, = 2, 3, (52) кроме того, Тг(х) = хТо(т) = х. В случае мпогочленов Чебышева имеется редчайшая возможность определить их нули в явном виде. Из формулы (49) вытекает, что нули Т„(х) имеют вид 2/е — 1 хг = сов гб й = 1, 2, ..., и. 2п Если о = О = 1г2, то получаем жногочлеим '1ебгнаева вглорого рода, которые будем обозначать через (г'„(х). В соответствии с формулой (43] мы представим (г'„(х) в виде Ве(х) .=- — Т„ег(х) .=, сов В = х. ь1п(п — ЦΠ— и-~1дх "" в1ПО (53) яй хе=сов, и —..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
