Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Согласно неравенствам (3.72)', из последнего неравенства следует, что (6 ~(а)( ( Сз ()г = О, 1,..., г — 1, и = 1, 2...). Поэтому без ограничения общности можно считать, что существуют пределы 1нн 1'г '1(а) = Аь, к = О, 1, ..., г — 1. в .'О Рассмотрим последовательность (1У (4)) . Поскольку Д, (1) = У„' ~(а) у~ 11 ~(1)г11, то эта последовательность удовлетворяет всем условиям теоремы Арцела (см. замечание 2). В самом деле, гг ХХ-П(4 )- й-"'(1 ) -- ~ й'(1)йй и, пРименЯЯ неРавенг:тво ГельДеРа, полУчим пРи 1г < 1з, '1' — , 'ср = 1 х гр ~(1з) — (,'," ~(1г)~ ( (сз — сг~ з (~ (~~, ~(1)~~г)1), (4) откуда следует, что у~" Е Ыр(1/й, ЛХ). Из соотношений (3) при й = г --1 и (4) следует, что /( " (1)/ < Сз (и = 1, 2,...).
Поэтому без ограничения общности 1« — П можно считать, что эта последовательность сходится в С[1,'". 1пв (~1 ~(1) = )г(1). Пусть а < 1о < сг « 1 ( б — произвольное разбиение интервала 1. Применяя неравенство (4) к точкам ск г, 1ь (й .—. 1, 2, ..., пз), .а затем возводя зти неравенства в степень р и складывая их, папучим ~ ~Й П(сь) -- ~.'" П(ск,Я")'Р (,,'" ~1ь — ск- г~г Г!ереходя к пределу. при и — ~, получим ". /О(1ь) — б(сь г)!'~"Р ( ь..г йе — сь-г, При ссылках на формулу из другого параграфа в качестве первой цифры указывается его номер. В данном случае цитируется неравенство (72) из следующего — третьего — параграфа.
88 Глава 2. ЛХатежоапические оснееь~ чпслсвногп анализа По лемме функция й(Х) дифференцируема почти всюду, и ~6'~„( ЛХ. Запищем вновь формулу Тейлора для функции Х„(Х): (б) 2 Г аь = — ~ Х"(1) сов Игй, е 2 1 1' Ьь = — Р«) 1 Лйа, й = О, 1,..., (6) й = 1, 2,. а само соответствие записывается в виде Х(1) — Ь ~(аьсовИ Ььв1пИ), ао 2 ь=.1 Ко»ффициенты ряда Фурье определяют интегрируемую функцию с точногтью до эквивалентности. Если функция Х'(Х) абсолютно непрерывна, то интегра- лы (6) можно проинтегрировать по частям, и мы получим Х (Х) ~ ~Л'[аьсовХ(И вЂ”, — ) +Ььв1п1ХЛХ-ь —,)~.
ь=1 Ион гому, если Х" б М'„'(ЛХ), то, повторяя приведенное рассуждение ~ раз, получим Х Ю(Х) ~~ Лл ~весов(ЬЬ+ — ) —: Ьь ею(ЛЬ+ — )~. ь::! Введем функцию 4,(Х) = ~й"'сое(Ы вЂ” — ). (7) (8) ь:.ч По доказанному существует предел правой части в СХ). Но по условию! ип Х„= =- Х в Хт(Х). Позтому мы можем считать, что Х й С;Х), и имеет место формула, аналогичная формуле (5), в которой вместо Х„' (т) и Х„~(а) нужно подставить соответственно й(т) и Аь. Позтому Х й С' '(Х), Хщ ц =- Ь, ХЫ~ почти всюду существует и ~ Хты ~ ( ЛХ. В случае р = ж необходимые изменения в доказательстве очевидны.
Таким образом, доказано, что формула (1) имеет место для произвольной функции Х б И'р'(ЛХ,. Х). П Ясно, что в случае 2г-периодических функпии, т.е. в случае класса "Ф'„'(ЛХ), сохраняются в силе те же структурные свойства функций, составляя>щих класс, но только теперь функции и их производные вплоть до т — 1-го порядка буду.т периодическими.
Уустановим интегральное представление для функций класса 'Жр'(ЛХ), аналогичноо представлению (1]. В п. 1 3 3 будет показано, что каждой интегрируемой периодической функции Х(1) можно поставить в соответствие ряд Фурье, коэффициенты которого вычис зяются по формулам (см. (3.13)) З 2. Теоремьг аггализа Если т ) 2, то ряд (8) сходится абсолютно н равномерно, и, значит, сг„(1) б С(Я"и Если т = 1 то, как доказывается в курсах анализа, ряд (8) сходится ири т и' О, 2т, а его частные суммы равномерно ограниченьг. В этом случае еЬг(1) =, 0 < 1 < 2гг.
я — 1 2 Проверку этой формулы мы предоставляем читателю. Докажем, что если У б У1гр" (ЛУ) (1 < р < сю), то У(1) = — ' -р — У'"'(т)й„(1 — т)ит. 2 я г о (9) !,У(1)! < — г' (УО (т)!!со,(г — т)!г1т < — вир иб„(1) !УО~! . я,/ т о<г<г о Следовательно, 1 б Лг(Е'!. Вычислим коэффициенты Фурье интеграла,У(1). Имеем 3 — У1 .1(1) совп141 =-. — У1 У" (т)Ут — 1 ам(1 — т) соеп1Ф, (10) УО,11 гг 1 2 причем изменение порядка интегрированна законно в силу абсолютной сходимости интегралов. Внутренний интеграл легко вычисляется, и он равен и "(сое ат сов(пгУ2) — облит вш(лг гг2)!.
Поэтому, учитывая формулу. (7), получим, что интеграл (10) равен иа. Заменяя в (10) сов ио на вгп и1, получим что этот интеграл равен Ь„. Таким образом, функция У(1) —. У(1) может быть лигпь константой, а это и влечет формулу (9), так как интеграл (10) при п = 0 равен нулю.
4. Пространства Соболева одного переменного. Классы Игр" (81) тесным образом связаны с пространствамн Соболева. Пополнение пространства С" (У по норме называется просгираисгвеом Соболева Я~ 1!. Если Ь вЂ” а = ос, то мы условимся производить замыкание подмножесз ва Со (1), состоящего из функций У, носитель которых эиррУ ограничен.
Если р ) 1, любой элемент У б Игр" (1) принадлежит некоторому классу И'р'(ЛХ; 1), как это следует из предложения 2. Поеному Поскольку. гбг -- ограниченная функция, интеграл в этой формуле абсолютно сходится. Обозггачим его через,У(1). Функция,У(1) также ограниченная, что следует из неравенств 90 Глава 2. Матгматическ»»с оснооы численного алалнза.
На этом множестве можно различным образом вводить норму; в частности, можно ввести нормы ь::о Отметим, что норма [11) при р — — 2 гильбертова. Все эти нормы оказываются эквивалент»пями. Относительно первой нормы это очевидно в силу неравенств и ( (~ а".~ (~ам г=» »=» г=» справедливых для нЕотрицатЕльных а .. Докажем эквивалентность нормы [11) и нормы [12) Пусть В = 1) р'Я» В» — полное линейное нормированное пространство, являющееся пополненном С" [1[ по норме [' [р „. Ясно, что если рассматривать пространства В и В» как множества, то В С Вь Поэтому на В корректно определен оператор 11; В В», В: 1» 1.
Очевидно, что [Ф~'[р,. ( 2' "г,'[1'[ р... и поэтому по теореме 10 3 1 область значений оператора Ру совпадает со всем В», .так как она содержит всюду плотное множество С" [1;, [либо Се[1) прн Ь вЂ” а = оо). Поэтому по теореме 11 3 1 существует такая константа Ар[1). что [13) Теь» самым мы показали, что Из неравенства [13) выведем важное следствие в г»учае 1 = „'О, со). В силу этого неравенства < й!Ар([1[р+, ).
При Л > О 1» = 1»[Лг) С 14"„[1) и, применяя к этой функции последнее нера- венство, получим [У»"»[ < В.А„(Л-"[У;„т Лг-" г, ), так как [1»»"»[ = Л" пи[»»"»[ . Выбирая Л из условия минимальности правой части послед»»его неравенства, получим ( М,ь[р)[1[ "[1'» »[ ", й =- 1, 2, , г — 1. [14) Это — неравенства типа неравенства Калмагорооа. Проблема определения наилучшей константы в этом неравенстве известна как проблема Колмогорова.
Им изучен случай 1 = [ — оо, »ю), р =.. оо н найдены точные константы. Для конечно» о интервала нам понадобится аналог неравенства [14) при р = со. З 2. Теоремы оиалвга Предложение 3. Пусть Х б И' 1ЛХ; 1о), где 1о = ~ — 1, 1). Тогда при й = 1, 2, ..., г — 1 /Х~ ~! < ЛХ ь шах)ф !Хаг/, 1г)) д /Х/ ), 115) где константа Ы,.ь зависит только от Й, г. Доклзлтгльство. Не ограничивая общности, можно считать, что фьг) = ~1"1~б), где — 1 < Х ( О.
Рассмотрим на 1 — -- !О, 1, 'функцию д(Х) =- =- Д~б -~- ЛХ), где О < Л ( 1. Ясно, что д б И „"(ЛХ; 1). Обозначим во избежание путаницы норму пространства СЯ через ) !К Тогда ~д"'~' = л'),Х'ю ! , )д ) < ~у~ ., ,'Ьоч~, < л"~,Х"~~ Применим к функции д неравенство 113). Тогда .д'"",~ < А~~д,~ —, —,~д")~, где константа А зависит только от ЛО г. Отсюда ),Х'"! < А)Л-",Х~ —, Л'-" ~ Если р = г,'1; /~$йг! < 1, то, взяв Л = рц", получим < 2А~ г!)-"") Х)'-"д ф'!"". Если р > 1, положим Л = 1, и тогда < 2А1г!) ю" 1г!)ЛХ" ~Х~ Положив ЛХ,ь = 2А1г!) Ы", получим в силу двух последних неравенств неравенство (1б).
ХЛ Точное значение константы ЛХ,ь, неизвестно. Можно утверждать, что М„г < 1ат (й), где а -- абсолютная постоянная. ь 5. Классы гладких функций многих переменных. Перейдем к определению классов функций многих переменных. Будем рассматривать функции от 1 переменных хм, .., хп положим х = 1хы ..., хг)'1х й В.
). Рассмотрим функции, определенные в интервале 1 С Рс': 1 =.. 1х б В.': и ( < хг «( Лг, Х = 1, '2,..., 1). Мы будем изучать некоторые подмножества пространства С)1~. Введем диффереициюгьные операторы ВХ = д/дхх 12 = = 1, '2, ..., 1), В" = В, ' ... В, ', а = 1ам..., аг). Положим )а! = аг Л...
ч- аб а! = аг Б .. сп 1 Величину ,'а, будем называть порлдком дифференциального оператора В . Через С обозначим пространспю непрерывно дифференпируемых функций Х': 1 .- Н, имеющих все непрерывные производные вплоть до порядка т. Норму в С ';1' введем следующим образом: ( Х) = ) —, игах)В" Х). 1 рь< * 92 Глава 2. Масле.мозпическпе основы численного апалпзо.
Пусть г = (гм..., гг), где 1 — целые, и Лу = (ЛХм ..., Л1~), где Мз > 0 (1 = = 1, 2, ..., !). Рассмотрим подмножество пространства С [1), где гл = шах г„ определяемое условиями Ю„"(М; 1) = (У б С-[1;: [П, 'Х[, < Л1„1 = 1., 9, ..., !). Замыкание этого множества по норме пространства 1р[1ь которую обозначим [ ~р, назовем классом И'р"(ЛХ; 1). Совершенно аналогично определяются классы периодических функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
