Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Определим оператор Г; 1 В, полагая Г: х г-> (С вЂ” Л!)х (х б У). Оператор Г инъектнвен па 1, и Я~ = Яп — ль Дока>кем, что существует такое о > О, что ( Гх,! > б !!х:, если «Е 1'. Допуская противное, построим такую последовательность (х„)(!х„~ = 1,п =- = 1, 2...),что Гх„ - О. В силу компактности оператора В выделим такую подпоследовательпость (х ,),что Ст , †>хо Поэтому Лх „ --> хо б У,и поскольку Гхо = Л 1пп 1«пь = О.
то в силу инъективности оператора Г на У имеем хо = О. 11о хо = Л!!шха, н ),хо( =,Л > О. Полученное противоречие доказывает существование указанной константы. Из неравенства (Гх( > б(х~; следует, что если (1'х„) — последовательность Коши, то и (хл) — погшедовательность Коши, а так как У вЂ” замкнутое надпространство, то и Я> замкнуто.
с) Элементы пространства В' обозначим через х', а вместо х*(х) будем писать (х, х'). Эти обозначения (х, х") для действия функционала х" на х Е В (см. п. 7) указывают на двойственность, су.ществуюшую между действием В* на В и действием В на В"*. Образец такой двойственности дается соотношениями (20) '/х ( = енр !(г, х )!, (х!! = зпр ((х, х )!, гет(о, 1) а от+[о, 1) где Т*(0, 1) -- единичный шар в пространстве В* (доказательство см.
в (94, с. 10б)). Для каждого х Е В отображение х г (х, х*) определяет линейный функционал на пространстве В", и его норма, .согласно второй формуле (20), равна !,:х). Эта двойственность очень четко щюслеживается в гтучае банахова пространства 1. (В) (1 < р < оо), сопряженное к которому можно отождествить с пространс> вом 1.„(В), где р' -- сопряженный показатель, р ' — р' ' =- 1. Для цып|ого пространства формулы (20) хорошо известны: отметим, что в этом случае (х, х ) .—.
«~ х (1) х (1) Ф., где х(.) б В„(В), а «:*(,) б !о (В) (р ' + р' ' = 1). 70 Глава 2. Маше.иаглическис основы численного аналига Для каждого оператора А Е М(В, Вг) существует единственный оператор А б Я(В,", В"), определяемый по формуле (Ах,у)=(х,.А у) ЧхбВ, Уу БВь Непосредственным следстяием теоремы Хана. Банаха является соотношение [ А' [ = ['А[,. Имеет место фундаментальный факт: если оператор А компактный, то и оператор А* компактный [94, с. 114]. Понятие сопряженного оператора читателю хороню извесгно яо конечномерному случаю, в котором оператор представляется мат1нпеей, а сопряженный оператор представляется транспонированной матрицей, если согласованно выбирать базисы я пространствах В, В* и Вм В,*.
Пусть Х, — надпространство и В, ЛХ вЂ” подпространстпо в В". Аннуллторм Ьг и ' Л1 надпространств Х и ЛХ определяются следующим образом: 1 =(х ОВ':(х,х*)=0 ЧхОЬ), ьЛХ = (х 0 В: (х, х*) = 0 Чх* с ЛХ). Если  — гильбертово пространство, то по теореме Рисса [61, с. 21] любой линейный функционал имеет вид Х(х) = (х, х"), где (, ) -- скалярное произведение, а х* — некоторый гшемент В. Таким образом, и случае гильбертоных пространств аннулятор подпространства Х вЂ” это его ортогональное дополнение.
Имеют место важные соотношения, очевидные а случае гильбертовых пространстя. Егчи А 0 Я(В, Вг), а В и Вг — гильбертовы, то 1сег А = ~оул- (21) 1сегА = Ял, (доказательстяо см, и [94, с. 112]). Если Л р' 0 и оператор А компактный, то с)пп1сег(А* — Л1) ( со. Отсюда вытекает важный вывод о том, что фактор-пространство Вгг921л лг1 конечно- мерно. Для этого достаточно вспомнить следующее предложение, являющееся следствием теоремы Хана -Банаха: каково бы ни было надпространство Х. С В и элемент хг 9 Хч существует линейный функционал хг такой, что (х, х]) = 0 'ох 0 1 и (хм х,") = 1.
Поэтому можно построить последовательность подпросгранста Я~л л0 = Хл С Хг С ... С Х„С ... и таких линейных функционалов х(, ..., х',..., что (т,, х.*„) = 0 Чх й Х,, по (х, х„*) ~ 0 на Х .ы. Эти функционалы линейно независимы и все принадлежат 92л хг. Значит, их число конечно. Следовательно, с1ппВггЮ~л. хО < йпз1сег(А .. Л1). (22) Таким образом, надпространство Я1лсхО дополняемо. Это дополнение назыаается колдуем оператора А — Л1, и мы обозначим его через секес(А — Л1).
Итак, если Л Л 0 и А — компактный оператор, то В .— оХСл — хм ой со1сег(А — ЛХ). Есгги оператор А компактен и если Л комплексно, то йш 1сег(А — Л1) =- с1пи 1гег(А' — Л1), (23) и я формуле (22) выполняется равенство (доказательство см. и [94., с.
123]). Поэтому йпг1сег(А — ЛХ) = йш1сег(А — ЛГ). (24) З 1. Теоремы топологии и функционального анализа В линейной алгебре известна теорема Кронекера — Калении, решающая вопрос о разрешимости системы линейных уравнений. Для систем линейных уравнений условию разрешимости можно придать иной вид — не в терминах ранга расшире<шой системы, а с помощью ядра сопряженной матрицы. Следующая теорема дает глубокое обобщение этой теоремы на бесконечномерный случай. Теорема 15. Пусть А —.
квмпакпи*ый впвратвр, Л А О. Ураанвнив (А.— Л1)х = у разрг<иима тогда и талька т<вгда< когда (у, х') = О 'й: б 1<ег(А* — Л1). Пространство решений имеет размерность ейш 1<ег(А — Л1) . Эта теорема имеет огромное число приложений; в частности, теория Фредгольма интегральных уравнений включается в теорию компактных операторов, и в теореме 16 читатель со всей очевидностью увидит обобщение известной теоремы Фредгольма.
Изложенная теория компактных операторов в существенных чертах принадлежит Ф. Риссу. 10. Фредгольмовы операторы. Следу<ощий по сложности класс операторов — фредгольмовых — близок к классу операторов вида А — Л1, где А -- компактный оператор Л С О. Определение. Ограниченный операто1< А б Я(В, В<) называется фредгольмввь<м, если выполняются условия: 1) ядро оператора конечномерно; 2) коядро оператора конечномерно, т. е. айпз В<т<зз2л ( оо. Индексам фредгольмова оператора называется целое число <1!ш кег А — <1ппсо1<ег А =- <п<1 А. Для операторов вида А -- Л1, где А — компактный оператор и Л ф О, индекс всегда равен нулю. Предложение 8 (8з].
Если А Е М(В, В<) — фргдгвльмвв впгратавр, то образ Ял,замкнут в Вз, оператор А й зв(В;, В*) такхсг фззвдгвльмвв, и 1п<1А = —. Ок1А'. Из первой формулы (21) имеем <й<п 1<ег А = <11<и со1<ег А, и поэтому ш<1 А = дпп 1<ег А — сйп< 1<ег А". Из предложения 8 вытекает, что для фредгольмовых операторов теорема 15 остается в силе.
Теорема 16. Если А б Я(В, В<) — - фргдгольмвг оператор, тв уравнение Ах = у имеет решение тогда и тавлъкв тогда, когда (у, х*) = О Чх* й 1<ег А*, Пространство ре<иений имеет размерность <11<з<йегА. 11. Производные нелинейных отображений. Остановимся на вопроса о дифференцировании нелинейных отображений банаховы.< пространств. Пусть В, В< — банаховы пространства и отображение Е определено на некотором открытом множестве О пространства В, Г: Π—, В<. Отображение Г называется сильна диффсргнцируемъ<м в точке х б О,. если существует такой линейный оператор Е(х) б <У (В, В<), что Г(х ~ Б) — Г(х) = 1 (х) (6) + г(х, й), (28) 72 Глава Е !>Еатематические оснооья чнсленнозо авали>о. где 6 — произвольный вектор с достаточной малой нормой., а )е(х, 6) ( /! 6), — > О при (6!, 'О.
Выражение 6(х) [6) называйся сильным дифференциалом, а линейный оператор Цх) — силикон", иртюоодпой отображе>я>яя Г в точке х. Часто сильные дифференциал и производную называют еще гоответственно дифференциалом и производной ярреше. Будем обознача>ь производную через Г'(х) либо Р'. Ясно, что если отображение дифференцируемо в точке х, то производная определяется единственныля образом. Если отображение Р дифференцируемо в каждой точке множества Оя С О, то будем говорить, что оно дифференцируемо на множестве Оя; если отображение х Е'(х) (х 6 Оя) непрерывно, то будеъ| говорить, что Г из класса С>[О> . Приведем некоторые свойства производной отображения.
Пусть отображения Г, С: В -- В> днфференцируемы в точке х; тогда отобрав>впаяв оГ-с>УС, где о,  — скаляры, дифференцируемо в этой же точке и (пГ ВС)'„= оГ,', -~ (>С',. (26) Для производной суперпозиции отображений имеет место цепное правило. Пусть В, С, П вЂ” банаховы пространства, и пусть О(хо) с  — окрестность точки хо, а В(уо) С С вЂ”. окрестность точки уо. Предположим, что отображение Г: О(хо), С непрерывно в О(хо) и диярфсренцируемо в хо и В(хо) = уо а отображение Ф: В(уо) — Н непрерывно в В(яяо) и дифференцируемо в ут Тогда отображение Ф =- Ф о Е' дифференцируеляо в точке хо и (27) Фее — — фоо о Гво (доказатгльство см.
в [61, с. 552)). Вако>яе>я, отметим, что производная постоянного отображения равна нулю, а производная линейного отобра>кения есть само это отображение, ибо ! (х+ Ь) — Е(х) = Е.[6). Отображение Е называется слабо дифференцируелямм в точке х, если существует предел в метрике пространя>тва В>: ВГ(х, 6) — — !пп [Г(х + !6) — Г(х~~ )1, (26) и этот предел является линейным оператором, т.е. дЕ(х, 6) =- Е (х)(6), Е",(х) 6 ов(В, Вя).
Этот оператор называется слабой производной или произооднои Гата. Заметим, что если у отображения Е(х) существует слабая производная Е',(х) в некоторой окрестности О(го) и отображение х — > Е",.(х) непрерывно в хо, то в этой точке существует сильная производная Е' (хо), совпадающая со слабой (доказательство см. в [61, с. 552)). Если отобра>кение Г(х) принадлежит классу С'!О), то естественно возникает вопрос о дифференпируемости отображения Е'(х): Π—, об[В, Вяр Рассматривая отображение Г'(х)6, где 6 — произвольный элемент В, мы привели задачу к исходной ситуации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
