Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Мы предлагаем читателю доказать, что пространства Ез (!!) и Е .(П) не строго нормированы. Пусть П с К . Рассмотрим пр мог произведение О х Пг т.е. множество упорядоченных пар (и, у): а б П. у б !зы На !! х !1г рассмотрим функцию 62 Глава 2. Математические основы численного анализа.
Дх, р), У: В х Вз — К. Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые привели к неравенству (б), получим неравенство о, о о о, Это неравенство будем называть обобщенным псраоенстеом Миззкоеского. б. Теорема Бенаха о замкнутом графике. Теорелза Банаха о замкнутом графике и теорема Баиаха- Штейнгауза будут неоднократно использоваться в дальнейшем. Эти теоремы основываются на очень важном свойстве полных метрических пространств, которое дается следующей теоремой.
Теорема 9 (Бэра) ]61, с. 83]. Полное метрическое пространство ие моэсет быгпь представлено о виде обвгдинеиил счетного зисла нигде пе плогпных множеств. В дальнейшем В и Вз буигут банаховыми пространствами„т.г. полными линейными нормированными пространствами. Пусть линейные надпространства Х, 1' таковы, что Х с В. 1' с Вз; отображение П; Х Е называется линейные опгуагпором, если 1У(охз -~- Вхг) =- оЬхл -' зЗПхг.
Для всех тех хз, хг й Х, для которых оператор УУ определен, и дчя всех о, зг из поля скаляров (обычно из поля Б.). Если 1У: В, К (С), то линейное отображение П нвзываетгя линейным збзуззкциоиалом. Множество тех х й В, для которых определен оператор П, называется обласпзьм определения оператора УУ и обозначается ст.
Обласпзь значений оператора 1У обозначим Яи'. Ягз = .]у: у = 1Ух, х гдгз). Введем еще ядро и колдуо оператора П: )гегУУ =- 1х й В: УУх = О), со)сег!У = Вз]Яо, т.е. фактор — пространство Вз по ели. Оператор П называется непрерывным в нуле, если Уо = В и если для .любого . > 0 существует такое б > О, что из условия,]х ] < б следует ] Ь' ] 1 й Е, где ],]Л] . ] л — соответственно нормы в пространствах В и Вз. Из линейности следует, что если 1У непрерывен в нуле, то он непрерывен на всем В. Оператор П называется ограниченным, если он определен на всем В и каждое ограниченное множество переводит в ограниченное.
Очевидно, что условие ограниченности в силу линейности оператора равносильно требованию '1П х']1 < О]]х ]. Наименыпее из чисел С, удовлетворяювгих атому неравенству, называется нормой оператора УУ и обозначается через ],'УУ]. Легко убедиться, что норма оператора может быть вычислена по формуле ]у) , р ]б .]] — . р]БУ]БУ']х].
1 (<1 ко З 1. Теоремъг топологии и функциональяого анализа Ясно, что ограниченный оператор непрерывен. Наоборот, непрерывный оператор ограничен. В самом дщге, предположив обратное, получим, что существует такая последовательность (х„) е В, что ( Пх„!Ц > ЛХ„!'х„,! (и — -- 1, 2,...), где йХ„) ос. Но тогда, положив у„= х„/()х„,(йХь) получим ,'(у„( О, в то время как ~ В у ~ > 1, что неверно, Если множество является объединением счетного числа нигде пе плотных множеств, то оно называется множеством первой категории. Теорема 10 (Банаха).
Область значений, оси непрсръяного линейного оператора ХХ: В, Въ либо леллетсл множеством первой категории, либо соепадает со всем пространством. Приведем трв следствия из этой теоремы. Следствие 1. Непрерывный, снреективнъгй линейный оператор из одного банахоеа пространсгоеа е другое является открыпгым опгображением (т. е. переводит отпкрытпъж множества е открытые). Теорема 11. Взаимно однозначное непреръгеное линейное отображение ХХ: В Въ есть гомеоморфизм. Зямгчяннк.
Взаимно однозначное непрерывное линейное отображение У:  — ъ Въ удовлетворяет неравенствам (8) Аъ),'г! ( )Вх)ъ ( Аг) х!,', где Аъ > О, Аг > 0 -- некоторые константы. Действительно, левое неравенство является другой формой записи факта ограниченносз и оператора 1' = Н Следствие 2. Пусть  — банахоео пространство с норлгой ~ ~:. Допустим, гпго на В можно ееесгои еще одну норму ~, ~,'ъ так, что ,)г )ъ ( А),х,! 'ч'х Е В. (0) Тогда сущеспгеуст, гпакая константа Ао, что 'Ъх! ( Ао) х! ь (10) Доклзлткльство.
Запас векторов, составляющих пространство В с нормой ~ ~ м можно трактовать как полное линейное нормированное пространство Вь Отображение ХХ, ставящее в соответствие вектору х Е В вектор г Е Вы удовлетворяет всем условиям предьмгущего замечания. Поэтому (10) вытекает из левого неравенства (8). ъз Пусть В, Въ — произвольные банаховы пространства. 1зассмотрим множество пар г = (х, у): х Е В, у Е Вн и введелс в нем норму 1 1 = ()г !'+ Ь):)" (11) Тогда мы получим полноелинейноенормированное пространство, называемое прямым произведением пространств В и Въ и обозначаемое через В х Вь Линейный оператор В: В В1 определяет в В х Въ множество Си = (г г = (х, Ех), г Е одп).
(12) 11ножество Си называется графиком оператора У. Ясно, что Сс - линейное многообразие, и оно не содержит элементов вида (О, у), у ф О. Линейный оператор В называется замкнутым, если его график Си залъкнут. Очевидно, что оператор Г замкнут, если из условий х„й одь, .г — ъ г, ХХг -э у, при и — э со следует, что х Уп, у = Вг. 64 Глаза з. Математические осноеьг численного анализа Теорема 12 (Банюга о замкнутом графике).
Если линейный оператор П; В л Вг определен на есем простронстее и его график з лъкнут, то П ограничен. Действительно„график Сс с нормой (1Ц является полным линейным нормированным пространством. Рассмотрим отображение Р,: Со -л В, Р„: г х. Это отображение удовлетворяет всем условияи теоремы 11. Поэтому ~!г ~ ( < С~ ~~, уд !~П ( < С~,'х~. П б. 'Теорема Баиаха. Штейнгауза. Рассмотрим на В последовательность линейных непрерывных операторов Ь'„: В Вг (и = 1, 2,...).
Теорема 13 (Банаха — Шттййнгауза. Пусть В и Вг — банахоеы просгпрапстоа и зпр ~~~1г„х~~г < оо длл произоольного х. Тогда нормы опграторое П ограничены е соеокупносгпиг зир 'зПл! < оо. (13) Доклзлтгльство. Рассмотрим множества Г„, =- (х й В; (!1.„х( г ( т), т = 1, 2,... Так как операторы (1„непрерывны, то множества Г, замкнуты, а значит, замкнуты и множества Г„, = П Г,. По условию теоремы () Н„, = В. Следовательно, по теореме 9 найдутся индекс то и шар Т(хо, р) с В, который будет содержаться в замыкании Г, „. Но Г „, .
— замкнутое множество, и поэтому Г ъ З Т(хо, р). Таким образом., если х йъ Т(хо, р), то )Пьх), ~ (то. Заметиъл, что любая точка шара Т(хо, р) может быть представлена в виде х =. хо, у, где ~ у ( =- р. Поэтому неравенство (14) можно переписать в виде ( П.х. + Н. у ~ ъ < гпо, откуда по неравенству треугольника )П„у!'ъ ( 2зпо.
Полагая у = гр(;'ф < 1), получим ~Е'„г~ <2то)р, п=1,2,..., что равносильно (13). П 7. Теорема Хазза — Банаха и дополняемость. Пусть Е с  — замкнутое надпространство пространства В. Если найдется замкнутое надпространство М с В такое, что Л Г М = (О) и В = Л + М,то будем говорить, что Л дополняемо в В и В является прямой суммой надпространств ь и М. Записывать это будем следузощим образом; В = Е йз М.
Напомним, что сопрлзюенвгым пространсгпеом В к простраш:тву В нээываетея линейное престранетво непрерывных линейных функпионалев з. В К, где К вЂ” поле скаляров. Норма линейного функционала определяется по формуле (7), если в ней заменить П на г. С этой нормой В' становится полным линейным нормированным прост1занством. Нам будет полезна фунда- ментальная З 1. Теоремы топологии и функционального анализа Теорема 14 (Хана — Бенаха). Пусть Š— замкнутое надпространство пространства В и д б Е*.
Тогда суш,естеуст такой функционал г" Е В*, что ~Л=-1Ф Х~,=у Доказательство этой теоремы можно найти в любом учебнике функционального анализа (см., например, (61, с. 209]). Условимся элементы пространства В* обозначать через х*, а значение функционала х* на элементе х — через (х, х ). Если В конечномерно, то В" конечномерно, и с1пп В" =- с1ппВ. Если в В имеется базис тн ..., х„, то в В" можно построить двойственный базис х* так, что (хг, хг) —" бю, где бго — символ Кронекера. Предлогкение и. Пусть Š— гамкпугпос подпрошпранстео простронсглоа В.
Если йпп Е < оо либо с1нп(ВгЕ) < оо, то подпросгорансгпоо Е дополняемо. Доказятьльство. Пусть хц..., х — базис в Е, а х;, ..., х„— двойственный базис в Е'. Построим продолжение функпионалов х' на все В, и пусть у,' — продолженные функционалы. Отображение Р: х Х~ (х, д,')х, г=1 является непрерывной проекпией В на Е. Следовательно, Лд =- йегР— замкнутое надпространство. Ясно, что В = Е ш йй Если с(1пгВ)Е < со, то В/Е замкнуто.
П Злмвчлннр. Размерность фактор-пространства В/1 называется корагмсрвостью подпроглршютва Е и обозначается сосбш Е. Можно привести примеры недополняемых замкнутых подпространств некоторых банаховых пространств. Для гильбертовых пространств любое замкнутое надпространство дополняемо. Очевидно, что дополняемым подпространством является ортогональное дополнение к данному надпространству.
Ести В и Вг — банаховы пространства, то через Я(В, В~) обозначим множество всех линейных ограниченных операторов П:  — Вг. Если В =- Вы то будем использовать сокращенное обозначение Я(В) — —. Я(В, Вг). На множестве Я(В, Вг) можно ввести простейшие алгебраические операции: линейную комбинацию операторов Пг й Я(В, Вг) (~ =- 1, й): оПг -1-,3Пг, где и, 3 -- скаляры, и (если Вг = В) операцию суперпознцни Ьг1/г, причем 1ЛЕсг(х,'' — —. Егг(Егг(х)~. Посчедняя операция имеет смысл, если Яв, С Япг. Линейное пространство Я(В, Вг) превращается в банахово пространство при естественном определении нормы оператора с помощью (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
