Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Проверку соотношений )о11) = о(~(П( и (Пд — Пг ! < Егд,'!+ ! Пг!, ,'пРедоставим читателю, как и доказательство полноты. Разложение пространства в прямую сумму, как мы увидим, тесно связано с классом линейных операторов, называемых проекторами. Линейный оператор Р: В В называется оператором проектирования или проектором, если Р = Р. 11з определения проектора следует, что кег Р О Яр — — (О), поскольку еыи хо и Я~., то хо — — Руо, а включение хо й РшхР означает, что О =-. Рхо = Р уо = Руо, т.
е. хо = О. Обозначим через Е единичный оператор; ясно, что 1 — Р . проектор и Яг .р — —. 1сегР, Яр — 1сег(7 — Р). Заметим, что 1 =- Р г 1 — Р. Применяя это тождество к произвольному элементу х б В, получим разложегпге В = Яр -~- 1сегР. Учитывая, что 66 Глава й Лйатсматические оснооьз численного анализа.
проектор — непрерывный оператор, находим, что 1гегР и Ян — замкнутые надпространства. Таким образом, В = Мн г йег Р. Наоборот, ешзи имеется разпонгенне пространства В: В = 1 сй 1г1, то найдется такой проектор Р, что одр = А и кегР = ЛХ. Действительно, если х = д д г (д б А, г =б Л1), то, полагая Р, = д, получим линейный оператор. Ясно, что Р" = Р.
Если (х„)з — сходящаяся поспедовательностзч хп — хе н Рх„до, то в силу замкнутости надпространства Е имеем до й 1. и Рхо = до. Значит, оператор Р замкнут, и по теореме 12 он непрерывен. Ешзн  — гильбертово пространство, то, погкшзьку разложение Е бз Л1 является разложением на ортогональные надпространства, ~)х ~ = (,д ) + ~'! и, следовательно, 1Рх ( ( ()х (, что влечет )Р1 = 1. Для банаховых пространств зто равенство для нормы проектора уже не верно, и можно только утверждать, что ~ Р( < оо.
Так, например, если В .—. С:а, 6', т. е. В является пространством непрерывных функций на отрезке ',а, 6), а Е =- бгзо — линейное надпространство шзгебраических многочленов степени не больше п — Е то соответствующий проектор Р: С[а„6) сн, имеет норму )Р ~ ) о1пп, где и > О ". некоторая абсолютная константа.
Этот факт имеет много непрнятньзх последствий в численном анализе. В. Обратный оператор. Оператор П '; об(В) называется обратимым, если существует такой оператор И б ов(В), что сз)г = И(з = 1. Оператор 1г называется обрагпным и обозначается через С '. По теореме 11 оператор П С ол(В) обратим тогда и только тогда, когда 1гег 61 — —. (0), ол'о =- В. Скаляр Л б Лг, для которого оператор П вЂ” Л1 обратим, называется рседллрным значением оператора У. Оператор (11 — Л1) называется рсвольвснтой оператора П н обозначается В н Дополнение к множеству регулярных значений называется спектром оператора У и обозначается сс(П). Из сказанного вытекает, что Л б о(Сс) тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно нз двух условий: а) образ оператора У вЂ” Л1 не совпадает совсем пространством; б) оператор У вЂ” Л1 не является инъективным.
Прн выполнении условия б) скаляр Л называется собстестгнм значением оператора П: 'кег(П вЂ”. Л1) называется собственным подпространствол, отвечающим собственному значению Л; любой вектор х б 'кег(У вЂ” Л1) называется собственным вскпзором оператора Ь'. Собстненньнз вектор удовлетворяет уравненизо Сх — Лх = О. Множество собственных значений будем называть то'зсчным спектром оператора, а остальную часть спектра, если она не пуста, — нспрсрываым спектором.
Читателю хорошо известны понятия собственного значения, спектра и собственного вектора для конечномерных операторов. В бесконечномерном случае возникает совершенно новая ситуация -- появление непрерывного спектра. Для отдельных классов операторов их спектр может сводиться либо к точечному, либо к непрерывному спектру. Предложение 4. Если П й йе(В), (У ! < 1, то оператор 1 — 1' обратим (16) в=о где рлд сходигпсл по норме простпранстоа Я(В).
З 1. Тевремн топологии и функцнвнвлчтвгв вналвва Докгзлтвльство. Для сходимости ряда (И) достаточно заметитзч что )(11~~) ( (((11г) . В самом деле, Г~х =- 11(В~" гх), откуда !,'В~х ! ч < !)11 (;)ЕТ" 'х,'!. Последовательно применяя это неравенство к раз, получим ! В~х~ < () У)! ),)х (. Пусть !~У( = О < П поскольку ~ ~,;и" ! < ~ (,~П ~)" < ~ Оь —. (1 — О)-', в=в в=о в=о то ряд (16) сходится по операторной норме (норме пространства вй(В)). Поэтому, произведя умножение (1-- У) 1„Г" и перегруппировав слагаемые, мы ь=в получим, что это произведение равно 1. П Предложение 5.
Регулярные елочки оператора У 6 ве(В) образуют вткрв~тве множество. Докгзхткльство. Пусть Л вЂ” регулярная точка и е — произвольное комплексное число такое, что ' < 1Д Вг)у Из очевидного тождества à — (Л уз)1 = — —. (П вЂ” Л1)(1 — гВг) в силу предложения 4 вытекает, что оператор П вЂ” (Л+ е)1 обратим. П Следствие. Спектр операторе — замкюгтве множество.
Применяя к тождеству à — Л1 .—.- — Л(1 — Л У) предложение 3, мы видим, что если )Л( > !,'СУ), то В, =-~Л-ь-'11". в=в Отсюда следует. что Л вЂ” регулярная точка оператора, и поэтому (16) сг(П) С (Л: (Л( ( ,')У::О. (17) Это соотношение можно уточнить. Для этого нужно применить теорему Ада- мара о радиусе сходимости степенного ряда (докажите ее применимость). Ряд (16) будет сходиться, если )Л! > В(п ФУ"!)"". Можно доказать (61, с. 596), что для любого ограниченного оператора П сунге- ствует !пп (гГ;!) = р(П).
(18) Величина р(11) называется спектральным радиусом оператора. Ясно, что р(П) < ,'~Г ~, н, следовательно, соотношение (17) можно уточнить; -(и) с(л::л, <р~Ц:). Может оказаться, что р(П) = О, и тогда спектр оператора будет сводиться к единственной точке Л = О. (Приведите прнме1з такого оператора.) 9. Компактные операторы. Наиболее простой класс операторов — это класс конечномерных операторов, т. е.
таких операторов П:  — вен, для которых с1пп гв7п < со. Следующий по изожности класс операторов — это класс компактных операторов. 68 Глава 2. ЛХатематические аснаеьс численного анализа. Оператор 17 й зд(В, Вс) называется компактным или вполне нгпрсерыеным, егчи замыкание мпо'кества П(Т(0, 1)) = (у = ХХх: '1х/ < 1) в Вс компактно. Можно указать иные эквивалентные определения компактности оператора. Так, оператор П компактен тогда и только тогда.
когда множество ХХ(Т(0, 1)) вполне ограничено. Оператор ХХ компактен тогда и только тогда, когда всякая ограниченная последовательность (х„) с В содержит подпоследовательность (х„, ), гтдя которой (1Ххбч) сходится в Вь Компактные операторы очень сходны в своих свойствах с линейными операторами в конечномерных пространствах.
Перечислим некоторые свойства компактных операторов. Так, если ХХ й зе(В) — компактный оператор и р хд(В), то операторы ХХЪ' и Р'П компактны. Если 01пс В = сю, то компактный оператор 17 не сслсеет обратного. В самом деле, если бы существовал ограниченный обратный оператор Хс", то оператор ХХ' П = 1 был бы компактным. Но тогда по теореме 5 -1 ! пространство В «онечномерно. что противоречит исходному предположению. Таким образом, для компактного оператора 0 б п(17).
Предложение 6. Пусть оператор П компактен. Тогда: а) если ега образ засз замкнут, спо 01сп згХсз < ~; б) если Л хг О, та с1!п~ 1сег(ХХ вЂ” ЛХ) < оо; в) для любого б ) 0 имеется лиись конечное число собственных значессссй, оо модулю превосходящих б. Доказательство. а) Если подпространство зди замкнуто, то оно полно, так как Вг полно. По следствию теорелсы 10 образ шара Т(0. 1) С В содержит некоторый открытый шар в Яп, который очевидно предкомпактен. По теореме о с1пвЯн < сю.
б) Сужение оператора П на надпространство Х = йег(П вЂ” Л1) является компактным оператором. !!оскольку Л ф О, то образ Л совпадаез с Л, и по а) с11гзХ < оо. в) Допустилс., что существуют бесконечная посчедовательность собственных значений Л 0 = !. 2,...) и отвечающая им бесконечная последовательность собственных векторов х, (Х =- 1. 2....) оператора У, Так как все Л, различны, векторы хз (Х = 1, 2,...) .линешсо независимы. Обозначим через ЛХ„надпространство, натянутое на векторы хс, ..., х„. Ясно, что Мс С ... С М„С ...
и В(ЛХ„) С .М, и если х = 2 озхз.. то (П вЂ” Л !)х„= с=с ь о,(Л вЂ” Л„)х, б ЛХ„с. Следовательно, (П -- Л„Х)ЛХ„С 'гХ с(тс ) 2). 1=1 Воспользуемся следующим замечанием: если замкнутое надпространство Х С В таково., что В ф В, то найдется такой вектор х С В, что ~х~~ < 2, ~ х — у( ) 1 дпя всех д б Х. В самом деле, в В имеется такой вектор хс, что псХ',~хс — у ~ = 1. Возьмем в Х вектор дс так, чтобы (хс — ус ~~ < '2, и положим уев т, =. хс — ус. Согласно замечанию в ЛХ„найдется такой вектор д, что,,~у ~ < 2, ~ у — хр ) 1 для всех х б ЛХ„.с. Пусть 2 < т < и; тогда :~1Хуь — 1Ху„с.~ = ~;Льу„—:( = ~Л„~:Ьь — Л;,':...~., З 1.
Теоргмьг топологии и фувкцаонам ного анализа где г .— -- Сд~ — (С вЂ” Л 1)у„б М„м и поэтому ~)Пу - Пу !' ) Л„( > б т.е. последовательность (1!у ) не содержит сходящуюся подпоследовательность. 1:! Следствие. Спектр компактного оператора не более чгм счетен. Собстввннме значение (Л;) мошсао упорлдотппь в коряг)кс убьша>шл их мобулей Л> )~ 'Лг( ~ )..., причем !пп Л„= О. Предложение 7. Ьсли оператор В е он(В) ком«>аптек и Л ~ О, то образ оператора С вЂ” Л1 замкнуп>. Доклзлткльство. По доказанному ойп> 1сег(С- Л1) < оо. Как отмечалось выше, надпространство конечной размерности дополняемо. Пусть В =- 1гег(С— — Л1) б>1'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
