Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 14
Текст из файла (страница 14)
!!родолжая это рассуждение, получим Т(0, 1) с 1 т Т(0, 112 "), и! следовательно, Т(0, 1) с Й(А ' Т(0, 2 ")). Последняя формула влечет включение Т(0, 1) С Х, но так как Е замкнуто. то Т(0, 1) С Е, откуда йТ(0, 1) = Т(0, й) С Ь (й = 1, 2,...). Следовательно, В С Е, т. е. В = А. П 3. Размерность компактов. «Из всех теорем ава1уе|е ей!ив наиболее важной является та, которую мы выражаем, говоря, что пространство имеет три измерения. Именно это предложение мы собираемся рассмотреть, поставив вопрос в следующей форме: когда мы говорим, что пространство имеет три измерения, тогда что мы нод этим подразумеваем?» Эти слова из работы А.
Пуанкаре, написанной в 1912 г, В ией он не стремился дать строгого математического определения размерности. Это сделал годом позже Р. Брауэр, давший точное и тонологически инвариантное понятие размерности для широкого класса топологических пространств. 81. Теоремы топологии и функционального анализа 59 Несколькими годами позже появились известные работы П. С.
Урысона [112[, в которых вновь было дано понятие размерности и построена глубокая и красивая теория. Не имея возможности подробно останавливаться на истории вопроса о топологической размерности, отметим, .что советским математикам, и особенно П. С. Алексанлрову, принадлежат многие резулгпаты в этой важной области топологии. В топологии имеется несколько определений размерности топологического пространства. Для компактных метрических пространств все эти определения дают одно и то же число. В дальнейшем размерность компакта Х буде»с обозначать через с1пп Х.
Дадим определение размерности при помощи кратности покрьггий Приведем необходимые в дальнейшем определения, Пусть Х = [Х )»"',-- конечное покрытие метрического компакта Х. Будем говорить, что покрытие л, имеет кратность п, если любые п+ 1 множеств из покрытия Х не пересекаются и найдется и, таких множеств, которые имеют хотя бы одну общую точку. Поскольку Х вЂ” компакт, то для любого > О существуют конечные с-покрытия Х как открытые, так и замкнутые. Компакт Х имеет размер»гость)(с)пп Х вЂ” — 1), если для любого с существует его замкнутое -гюкрытие кратности, не болыпей 1 —, 1, но лля достаточно малого с уже не существует замкнутого покрытия, кратность которого не превосходит 1, Если такого числа 1 с указанными свойствами не существует, то мы считаем, что размерность компакта бесконечная: дйпгХ = оо.
Естественно ожидать.,что п-мерноепространство В" должно бычьи-мерным и в смысле введенного определения. 'Теорема 6. Длл того чгпобм подмножество Х С В." было п-лссрным, т. с. с1ппХ = п, необходимо и достпаточно, чтобы Х содержало нспустос откр»ппос в В," множество. Таким образом, на вопрос А. Пуанкаре получен четкий ответ, если принять в к честве определения размерности определение, приведенное выше.
Если читатель возьмет в П произвольный прямоугольник г и устроит его покрытие в виде гкирпичной кладкигь то он легко обнаружит, что с)1гп Р < 2. Но доказательство обратного утверждения с)1зп г' > 2 — совсем не просто. Доккзательство теоремы б довольно сложно, сама же теорема сыграла зиачитвльную роль в раэвитии топологии. Мы ввели инварианз размерности с помощью замкнутых покрытий. Однако можно доказать, что если с)1ш Х вЂ” "- 1, то для любого с > О существует открытое .-покрытие кратности, не большей 1-~- 1. Приведем без доказательства две очень важные теоремы. Теорема 8 будет играть существенную роль при оценке поперечников снизу, Теорема Т (Пебелиига — Понтрягина) [89[.
Компакт Х размерности 1 можно гомсоморфно отобразить на нсхоторос подмнозю*сгпво пространсгпеа В. гьы Теорема 8 (Лебега) [4Ц. Пусть имеспюл замкнутое покрытие и-мерного куба, причем ни одно из множеств покрыпгил нс псрсссхастсл с протпиеоположними гранлмм. Тогда кратность похрмгпил нс мсньи»е и ч- 1.
Основы теории размерности очень сжато и ясно, с достаточной полнотой ишзожепы Л. С. Понтрягиным [89[, Кроме этой работы, мы рекомендуем читателю ознакомиться с работами [1, 4Ц. Интуитивно и-мерный колшакт можно представить как тонологическое пространство, элемент которого задается набором и вещесз венных параме гров. 60 Глава 2. Математические основьг тслснного анализа.
Это интуитивное представление формализовано с помощью определения размерности, приведенного выше. содержательность которого подкреплена тем, что для и-мерного пространства К" и и-мерного линейного надпространства Ь" С В их топологическая размерность равна и. 4. Линейные н банаховы пространства. Теперь изложим вспомога тельный материал из линейных нормгг1юванных пространств. Линейные нормированные пространства рассматриваются как К или С.
Остановимся прежде всего на одной геометрической характеристике линейного нормированного пространства В. Линеиное нормированное пространстио называется строго нормирооанным, если в неравенстве треугольника !,'х у( ~ ((х! —,'гу(и хзс.О, дрО, равенство выгголняется тогда н только тогда. когда х = Лу, где Л > О. Понятно, что строгая нормированность вле.ют за собой и строгуго выпуклость единичной сферы пространства В. Нетрудно привести примеры строго нормированных пространств. Предложение 1. Все гильбсртовы пространства строго нормированм. Локязятьльство.
Пусть  — гильбертово пространство и (, ) .- скалярное произведение в нем. Если в (1) имеет место знак равенства, то (хЧ-у( = Зх! Ч-2~)х((у)+)д! . С другой стороны, )~х — 'д ( =-1х Ч- у, х Ч-д) = 1х) + 2Ке(х, у) Ч- ~)у( Сравнивая зти два соотношения, получим Бе1х, у) = !,'х!1,!у/ . Таким образом, знак равенства в (1) имеет место только тогда, когда достигается знак равенства в неравенстве Буняковского †Швар.
С другой стороны, при вещественном Л / х — Лд!~г = (х — Лу, х — Лу) = /т;! — 2ЛКе1х, у) + Л /у !' =(~ х(' — Лгу/ ), и, полагая Л = 'зх:!,~ /у!, получим х — -- Лу, что и требовалось доказать. П Пусть П вЂ” область в К". 'Через Гг1Гг) (р > 1) обозначим линейное нормированное пространство функций )'; П -- К (классов измеримых эквивалентных функций), для кОтОрых ~ ~(х) ~» дх < оо, 1 < р < сю, чтей гир Д~,>! < со, гвп где дх = с)хю ..с)т.„- мера Лебега. Норму элемента г" пространства Ар(В) обозначим через, г" ; 'р.
, ~,'р фр —— (/ фх)(~с)х), 1 < р < оо, ась = ега1вир(Д~ г~, р = оо. (2) ' еп и 61 З 1. Теоремьг топологии и фуикциональзюго анализа В курсах анализа доказывается неравенство Гельдера. Пусть 1 ( р ( оо, ! б !о(ГЗ), д б Ьр (П), где р' -- так называемый сопрлженнмб показатпель: р 1 1 р =, — — —,=1. р- 1' р р' Тогда ~Уддх( < Ы д1,, о причем знак равенства имеет место в том и тотько а том случае, если функции з1кп Г(х) д(х) и ~У(х) ~ 1(д(х)( почти всюду постоянны в !! В случае пространств ! р(П) неравенство треугольника называется еше нгравгнстпвом Минковского Предложение 2.
Если 1 < р < ос, то просглраиство !.„(!!) строго нормировано. Доклзлтгльстно. Имеет место тождество !У(х) -~ д(х)/" = Х(х)~Х(г) + д(х)!" вбп(У(х) + д(х))- У д(4йх) — д(х)~" т (Х(х) ! д(х)). Возьмем интеграл по области 0 от обеих частей этого тождества, а затем интеграл в правой части заменим на сумму интегралов соответственно от функций я+ д," гйп(! д) и д(у+ д)г гбп(~ ~- д). К каждомь. из этих интегралов применим неравенство Гельдера с показателями р, р'. Тогда получим ~Х+д~"с!х = ~ЯУ~-д~" 'вйп(Х~-д) ах~-~дЦ+д" 'вйп(Х-~д)!х< о О о - .У "'")"'"-"У -"")""' Для аыпатпения равенства необходимо, чтобы функции ! эйзз((-1-д) и д вбп(!" —: -ь д) были почти вскзду в и неотрицательны и чтобы функция ~Д:д~ была почти всюду постоянна.
Разделив крайние члены неравенства (4) на ~~ -1-д~~ ~' получим неравенство Минковского (б) 'ь! + д(з < ~Лг -' !д~г в котором раленстэо выполняется, если Г(х) = Лд(х) (Л > 0) почти всюду в О. Таким образом, мы не только доказали строгую нормированность пространства !зр(!!), но и обосновали утверждение о том, что формула (2) для д < р < х удовлетворяет аксиоме треугольника. П Злыкчлник.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
