Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если существует сильный дифференциал этого отображения в точке хо, то будем говорить, что Г дважды дифференпируема в точке хо. Обозначиля этот дифференциал через (Ео(хо) [6)) [Ь) = Г" (хо) [6, 6), где Ь вЂ” произвольный вектор пространства В. В силу ('26) второй дифференциал определяет линейный оператор по каждому аргу>генту, т. е. билинейный оператор Г" (хо): Л х В В>. Можно доказать, что второй дифференциал, если он суиеествует, является симметрическим билинейным оператором, т. е. Ео(х.) ,'Ь, Ь) = Ео(хо) [Ь., Ь.ч 73 З 1.
Теаремъь пьапалагаи и функционального анализа Билинейный оператор ЛХ: В х В Вь называется ограниченным, если существует такое число С > О, что [[ЛХ[6, 1)[[, ~ (С[,'6[, ,'[1![ Ч[Ь, /г) б В х В. Наименьшее нз чисел С, удовлетворяющих этому неравонству, называется нор- мой билинейного агьерайьара ЛХ. Дифференциалы старших порядков определя- ются аналогично.
12. Вектор-функции. Рассмотрим функции вещественной переменной И 1 й 1 (1 =. [а,, 6]) со значениями в некотором банаховом пространстве. Многие из понятий, которые вводятся для случая, когда В = К, можно перенести на общий случай функций Х: 1 — э В. Заметвли что производная определяется, как обычно: Х'[1) = й [Х(гм г) — Х[1)] Хе. г 0 где предел понимается как сходимость семейства [:,Х[1 з г) — Х[1)[Хг) в норме пространства В. Множество непрерывных функций Х: 1 В обозначим через С[1; В[. а множество непрерывно дифференцируемых функций — через С'[1; В[. Интеграл будем понимать как предел интегратьных сумм Я = ~ [1 — — Хз)У(Ы.
(29) ь ь ь / [оХ[1), Зд [1)] г11 —.— и ~ Х [1) ьХХ - В ~ д [1) 31. Используя неравенство треугольника, получим ь ь (/,Х[1)бг < /[[Х[1)[[бй (30) Если р б В' лиГю [в более общем случае) р б ге[В. Вг), то ь ь рЦ.Х[1) йг) — ~4Х[Х)] йг (31) В самом деле, для ьь б В*, учитывая [29), имеем — 1 ОтвЕчающих РаЗбиениЯм а = 1о С Хг ( ... ( 1 = Ь, (з б [11, Хзть, 'пйи УСлОвии, что б = шах[О г -- 1,[ .
— О. Интеграл обозначим тем же символом 1 Х[1) аьг, что и для чиСлОвых функций. Введенный интеграл является аддитивным оператором. Л именно, для скаляров о, В и произвольных функций з', д б С;1, В) имеем Глава 2. Математические оснооы численного анализа Заметим, что в[1(1)]: 1 В., и если 1 Е С[1: В), то:р[1(1)] б С[1; К), а если 1 б С [1; В), то В(1)] й С~ [1; К и ~Ы = дь~[Е[ (32) Отсюда следует д)врмула Ньютона — Лейбница ь ~ "~~,') дг =,1(И) - 1(о).
в (33) В самом деле, согласно формулам (31),(32), Поэтому для льобого функционала р й В" р '[/ дг — Щ -'г Да)~ .— —. О, д до(1) „— [о(1) 1(1)] = „1(г) + о(П ду(1) Применяя формулу Ньютона Лейбница, получим о(1) дг =- о(И)1(Ь) — а(а)1(а) — 11 1(1) дй (34) д1(г) . Г до(г) Заметим, что если отображение Р: О Вг (О П В) сильно дважды непрерывно дифференцируемо на О и [хо, х' б О, то 1(г) = Е(хо + ЬИ) с Се [1, Вд), где 6 = х — хо, 1 с 1о = [О, 1[ и — = Е (хе -' 16) '6), — = Е (хо Е 16)[6, 66 дЕ г,, д'У и ,.Ц ' г)гг (35) причем -Х = — (мь).
Предложение 9 (частный случай формулы Тейлора). Пусть отвбраэкенис Е: Π— ~ В сильно дважды непрерывно дифферснцируемв в О. Если [хо,х]ПО, то Е(х) = Г(хо) ' Е (хо)[6! ~(1 — 1)Ев(хо -Ь Вь)[И, 6)дг. (Зб) где 6 = х — хо. откуда в силу теоремы 14 следует формула (ЗЗ). Из формулы (33) вытекает формула интегрирования по настям. Пусть о б С'[1; Ж. Отметим, что имеет место тождество 75 З 1. Теоремы п>апологии и функцианальнага анализа Доказлткльотво. Применим к интегралу > З = / (1.— 1)Г (ха — 16)[1г, 6) Й а формулу (34) и воспользуемся второй формулой (36). Это нам даст соотноше- ние 1 У = - Г'(ха)[6'-~ / Г'(ха -~ 16)[6> й.
о К интегралу в правой части применим формулу Ньютона - Лейбница и придем к соотношению (36), в котором некоторые из слагаемых перенесены в другую сторону: з' .—.. — Г'(ха),6) -1- Г(х) — Е'(ха). П 13. Пример на метод Ньютона. Воспользуемся приведенными выше результатами для исследования сходимости метода Ньютона. С этим методом решения нелинейных уравнений мы уже встречалнсь во введении, а теперь его применим в наиболее общей ситуации для отыскания решения уравнения (37) Г(х) = О, где Г:  — > В>. Пусть пространства В, В> банаховы и существуют точка ха б В и шар Т(ха, га), в котором отображение Г дважды сильно дифференпируемо.
Предположим, что решение х. уравнения (37) лежит в шаре Т(ха, га). Воспользуемся формулой (36); положим в ней х = х и 6 = х. — ха. В итоге получим Е(ха)+ Г (еа)[г. — ха) + /(1 — 1)Га(ха+ 16)[6, 6) ей = О. а Если норма элемента 6 мала и оператор Г'(х) обратим, то х, ха— — [Е" (ха)] Г(ха), причем норма погрешности этой формулы О(:[6 [г). Таким образом, правая часть последней формулы дает хорошее приближение к точному решению уравнения (37), и, чтобы получить точнов значение, нужно построить итерационную процедуру.
Попожим х> = ха— -> — [Г (ха)) Г(ха) и проведем итерационный процесс по формуле хне> = хн — [Г'(х„)) Г(хн), п = О, 1... (38) Это н есть ньютоновская итерационная формула, а сам итерационный метод на.ынается метадоле Нь>атана. В том случае, когда В, В> — -- Н, формула (38) имеет простой геометрический смысл: х т> — абсписса точки пересечения касательной к графику функции х гл Г(х), восстановленная в точке с координатами (хн> Е'(хн)), с осью Ох. Поэтому итерационный метод отыскания решения на основе фар[>улы (38) также называется мешодам касательна>х.
Если точка ха близка к х„то ввиду близости операторов Г'(х„,) к Г'(ха) можно итерации проводить по формуле ха+> = ха — [Г'(ха)) Г(х„,'), и = О, 1,. (39) 76 Глава 2< Математические оснаеь> численного апалига. существенно сэкономив время счета, поскольку нет надобности вычислять опе- -1 раторы [г'(х )~ (и =.
1, 2,...), но проиграв в скорости сходимости. Этот итерационный метод носит название модифицированного метода 11ью>пана. Отл>етим, что если итерации сходятся к х = 1пп х„, то Г(х) = О. Возникает естественный вопрос: что будет, если мы попытаеъп>я осуществлять вычисления по формуле (38) > Во-первых, наши вычисчения могут прерваться из-за того, что на некотором и и шаге не будет существовать опера> — 1 тор [г (х )~ . либо мы выйдем за пределы области определения фупкпии В.
Во-вторых, если даже удастся построить последовательность (х„)о~, то она не обязана сходиться, а если и будет сходиться, то не обязательно к искомому решению уравнения (37). Итерации по формулам (38) либо (39) являются частным случаем так называемых простых итераций, производимых по форл>уле х > — -Ф(х ), т>=-0,1, (40) х, — — Ф(г). (41) Будем говорить, что решение х., уравнения (41) является притягивающим, если существует такая окрестность О точки х., что итерации (40) сходятся к х.,тля любых начальных данных го О. Если существует окрестность О неподвижной точки х. такая, что, каковы бы ни были сколь угодно малая окрестность О' ', О точки х.
и точка хо е О', найдется такое и, дчя которого г„д. -О, а хд — —. Ф(х .. >) б О при 2' =. 1, '2,..., п — 1, то неподвижная точка называется отталкиеа>атей. Множество тех ха б В. для которых итерации (40) сходятся к данному решению х уравнения (41), будем называть л>вежеством сходимасти или притягиваю ц>>м множеством реа>ения х. Множество сходимости может быть устроено очень сложно, и прежде всего оно может быть нж:вязным и даже бесконечно связным. В разделе, посвященном итерационному решению уравнений, мы приведем примеры такого рода множеств сходимости, а сейчас рассмотрим один элементарный пример, который нам потребуется при доказательстве теоремы 17. Рассмотрим простые итерации 1„> =.
>р(1„), где >р(1) = [1,>(1 — 1)~,>2 (1 й К). В плоскости (д, 1) рассмотрим график (й р(1)) функции р. Он пересекается с биссектрисой р = 1 в трех точках (О, О). (11'2, 1>2), (2, 2) (рис. 1). Решение 1 = 0 уравнения .р(1) = й как нетрудно увидеть, притягивающее, имеющее множеством сходимости полуось ( — оо, 1>>2), а решения 1 =- 1>>2, 1 =.
2 отталкиваю>цие. Если 0 < 1о < 1/2, то 1„< 1„> (п = 1, 2,...), поэтому 1 — 1 > 1 — 1о, и, следовате.чьно, 12 12 2(1 — й,)г 2(1 — 1о)г' Отек>да й <2(1 — 1о) ~ ~, п=!,2.... (42) где Ф:   — гладкое отображение, причем Ф(х) = х — [В'(х)] Е(х) для ньютоновских итерапий и Ф(х) = х — [Г'(хо)] Г(х) для модифици1юванных ньютоновских итераций. Допустим, что простые итерации сходятся, т,е, х =!пихтб тогда х. — решение уравнения 77 31.
Теоремы гаапалагии и функционального ввалила тг Рис. 1. График функции р .= 1 ( г ) Если .-оо < Ха < О, то Н = р(го) < 1/2, сг > О, и дальнейшие итерацш1 будут следовать правилу, указанному выше. Тем самым мы доказачи утверждегше о множестве сходимости корня 1 =- О. Предлагаем читателю исследовать вопрос о множествах сходимости корней 1=1/2,1=2. Фундаментальным вопросом теории ньютоновских иаераций, а также модифицированных ньютоновских итераций является вопрос об определении множества сходимости решения х.. Но ввиду трансцендентности этой задачи ограничимся вопросом об определении подмножества сходнмостн, левгащего в малой окрестности решения х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
