Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Нужно вместо С 1Г рассматривать функции на 1-мерном торе 7а .=. Я х... х х5'. Класс периоди геских функций обозначим через грср" (Лу). В теории этих классов существенное значение имеют две числовые характеристики: ззуфективнал гладкоспгь (1б) и констангпа класса = ПЛ1,'" (17) г=1 Через эти величины буду.т выражаться асимптотические емкостные характеристики классов. Классы Игр'(ЛХ; 1) самым тесным образом связаны с соболевскими пространствами. Пополнение пространства С [! по норме где сумма берется по всем тем о, для которых пг !.и (18) называется проспзранстволг Соболева и обозначается Игр(1). Из определения ясно, .что И:„"(1) С [ [ И;"(М,;1), зг,ьо При 1 < р < оо имеет место обратное включение, но мы не будем приводить доказательство этого факта. Если р = 1, то пространство Игр(1) гильбертово.
В случае многих переменных строение пространства 1Ир" (1) не столь просто, как в случае одной переменной. Если 7 б 1Ф'."(1). то функция г может уже быть не дифференцируемой в обычном смысле, но она будет иметь обобщенные производные О дчя тех и, которые подчинены неравенству (18]. Понятие обобщенной производной введено С. гЕ Соболевым. С теорией обобщенного дифференцирования читатель может познакомиться по работам [99, 100]. З 2. Теорема анализа В п. 5 'Э 1 были введены понятие графика оператора и понятие замкнутого оператора.
В 1,„(1) можно рассмотреть оператор (111)(х) = (Р 1)(х) и е~о график в Хт(1) х бр(1). Замкнем этот график: полученное замыкание будет графиком некоторог(з оператора — замыкания оператора Р, который мы обозначим через Р, а обла<ть существования его обозначил~ через З„. Для того чтобы функппя 1 й 1„(1) имела обобщенную производную Р, необходимо и достаточно, чтобы 1 Е З (мы это доказывать не будем). Таким образом, для того чтобы функция 1 принадлежала пространству И'р" (1), необходимо и достаточно, чтобы где пересечение берется по а, удовлетворяющим неравенству (18).
Тем самым получена внутренняя характеристика пространства И'р" (1). В дальнейшем будем рассматривать классы И'г'(Л1; 1) при условии (19) гр> 1, В следующей главе мы докажем, что при этом условии классы И'„"(М; 1) состоят из непрерывных функций и. рассматриваемые как подмножество СЯ, являются ограниченно компактными множествами. Тем самым при условии (19) пространства Соболева вкладываются в С(1 . Это одна из простейших форм теоремы вложения. Теория вложений пространств дифференцируемых функций многих переменных была зэззожева в работе С.
Л. Соболева и в настоящее время получила большое развитие. Мы будем иметь дело преимущественное классами И" (ЛХ; 1), И',"(ЛХ: 1) и соответствующими классами периодических функций. Функции класса Иг" (ЛХ: 1) можно охарактеризовать наиболее просто. В данном случае неравенство (19] выполнено и поэтому.
И',",(ЛХ; 1) С С(1). Пусть 1 — произвольная функция класса. Рассмотрим ее как функцию переменной х, зафиксировав значения остальных переменных. ВвиаО равноправия всех переменных х (1 —... 1, 2, ..., 1) мы можем считать 1 =.- 1 и положить х = (хц х), где х = = (ха, ..., х~). Тогда, фиксируя х и полагая х = хо, получим функцию переменной хп 1(хы ха) = Л(х~) Е И"'(ЛХИ ац бз).
Значит, Х(хы хо) для любого ха будет гз — 1 раз непрерывно дифференцируема по х~ и Р 1(хы ха) б б 1лр(1, Мг). Поведение функции 1" В И',"„(М; 1) по совокупносзи переменных сложнее, и мы его рассматривать не будем. б. Теоремы продолжения. Мы рассматривали классы дифференцируемых функций в областях специфического вида —. в 1-мерных интервалах. Пространства Соболева и классы Иг,",(ЛХ) можно определить в произвольных областях С, предполагая, что граница С удовлетворяет весьма общим условиям. Прн этом определение классов и пространств Собсшева переносится на случай произвольной области без всяких изменений, и поэтому мы не будем его повторять.
Обозначим через И'„(С) пространство функций в области С, а через Ир"(М; С) класс функций в области С. Существенное значение в ряде вопросов имеют теоремы продолжения функций пространств И'„"(С) и классов И~„"(М; С)на более широкие области нли иа все пространство с сохранением нормы. Опишем простой прием продолжения функпий класса И'„~(М: 1) через граничную гиперплоскость. Пусть 1а = (х б Рь~: — а < хг < О, аз < хз < Л„Х = 2, 3, ..., 1). Продолжим функции З 2. Теоремы анализа Аналогичным образом получим неравенства (21) Предложение 4.
Класс И'р" (М; 1) допускает продолжение с интервала 1 — —. (и б Н: оз < тз < Ьд, д — - 1, 2, ..., 11 на интеуоал 1з — —. (к Е Н: 2аз— — Ь, » <тз » <2Ь, - а„д = 1, '2, ..., 1) иоаким образом, что для любой функции ф Е И'р"(ЛХ; 1) найдетпся такая фуикцил ф Е Рур'(Ж; 1з) (1ч' .—.. АЛХ),. что У~,= Х. Константа А зависит только от пэахг,. Дсклзлткльство. Достаточно произвести продолжение функции из с С™(1)(зп = шах го) описанным выше способом последовательно через грани лг = Ьг и тг = аь Затем полученнукз функцию продолжить через грани тз = Ьз и тз = аз и т.
д. В результате получим функцию ф из С'" (1з), причем в силу неравенств (20), (21) получим оценки ~У;!з~ »<А(У; Хр, ~В,'У; 1з~ » (А~В,'У; 1о~, 3 =-1. 2....,1, (22) где константа А в силу конечности шагов продолжения будет зависеть только от т, На основании неравенств (20), (21) легко видеть, что А < (1 ~ за1Р)бз!) з=г Пусть 11„) — фундаментальная последовательность из С (1), определяющая некоторый элемент ф б И'р" (М, .1). В силу неравенств (22) — 1;„,. 1з~ < А~У вЂ” У,; 1~, ~1д,'Кб 1г~ < Ай(з (д =.
1, 2,..., 1). Поэтому последовательность (1 1 фундаментальная: она определяет некоторый элемент ф Е Ир"(1г1; 1г) и по пост1зоению Х~,= йш 1р = 1. (З Вопрос о продолжении классов И',",(ЛХ; С) не решен так, чтобы получился класс ИРр" (1ч', 1), гДе Л1 = АМ, 1 га Г.
ОДнако положительно Решен вопРос о продолжении элементов пространства И'р" (С). Норму в этом пространстве определим нескачько отличным образом, чем это сделано выше, положив ;~У'~ —,1; С!, м ~)В,". 1; С)„. Пусть С ~ Н~ -- область, граница которой удовлетворяет угловию Ляпунова. т.е.
в каждой точке границы ВС существует единственная нормаль н вектор елиничной нормали удовлетворяет условию Липшрща. Для областей с такой границей имеет место следующее 96 Глава М. Математические всиввьг числепнвгв анализа, Предложение б. Пусть б б И'р'(О) (1 < р < оо). Тогда существуегп функция 1(я), определенна в К* такал, чтв Я,.=,~ и где константа Л не зависит вт Т. Првдвллсенпе на все пространство произ- водится линейним образом, так чтв (о) + Зд) = оз'+ Зд.
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем. Отметим, что продолжение функций пространства И'„'(С) можно проделать для областей более широкого класса. граница которых ил1еет особенности в виде ребер и конических точЕк. Из доказанного предложения вытекает важный вывод о возможности продолжения функций из изотропных пространств, когда гг = ... =- г~ с сохранением константы класса М1 = ... = 41~ =- Ы, именно в том смысле, как это сделано в предложении 4.
Поэтому в вопросах приближения фу.нкций таких классов и изучения их емкостных свойств мы можем ограничиться классами функций, определенных в некотором интервале. 9 3. Ортогональные системы в гильбертовых пространствах. Специальные функции 1. Ортогональные системы. Пусть 0 — гильбертово пространство. Ыы будем рассматривать как комплексные, так и вещественные гильбертовы пространства, причем из контекста будет ясно, о каколг пространстве идет речь. Скалярное произведение в Н обозначим через (, ).
Напомним, что векторы У, д е Н называются вргпвгвнальнмми, если (Х, д) = О. Система ненулевых векторов (е„) называется ортогональной, если (е„, ев) = О (о ф В). Если при зтолг норма каждого элемента е равна 1, то система называется вртвнврмирвваннвй Система (с ) называется полной если минимальное, содержащее ее замкнутое подпространство совпадает с П.
Полная ортонормированная система называется врпгвгвнальнъгм иврмирвваиным базисом. В дальнейшем мы будем рассматривать сепарабельныс гильбсртввы првсгпранстпва, т. е. гильбертовы пространства, содержаигие счетное всюду плотное множество () ), . В сепарабельных пространствах любая ортонормированная СИСтЕМа ПЕ аЗЛЕЕ ЧЕМ СЧЕтиа. В СаМОМ ДЕЛЕ, ЗаМЕтИМ, Чта 1вь — ЕЗ ~ = ЬГ2 (о ф В), и поэтому шары Т(е„, 2 П~), Т(ед, 2 ь~а) не пересекаются. Совокупность непересекающихся шаров (Т(е„, 2 Пг)) включена в И, и в силу сепарабельности каждый шар содержит хотя бы один элемент из всюду плотного множества (Х„)~~.
Поэтому множество шаров не более чем счетно, а значит, система (е ) не болев чем счетна. Напомним метод ортогонализации, позволяющий по произвольной линейно независимой систеьге ()и) мгементов пространства строить ортопормированную систему (е„). Положим е1 = ((и 11) 1 )г. Допустим, что уже построены 33. Ортоеоиальиые системы е еилъбертовых простромсгавах 97 векторы еы..., е„н образующие ортонормированную систему и такие, что ез "~ М~~и, ом >О )=1 2 и — 1 Будем отыскивать вектор ео в виде е =. 6 (1 + ~, ьеь). ь=з Константы уоь оцределяютгя из условий ортогональности (е, еь) †.- 0 (й = 1, 2,...,п -- Ц.
Поэтому у„ь = †.(7„, еь). 1(онстанта б„ определяется из условия -1 )э 1 =. (е„, ео) = б„~ ( —, ~ ~'1' ьеь ~ . э=1 Будем считать, что В„> О. Учитывая соотношения (1), мы видим, что е„= д„~ о„ьзы и„„= 1, э=1 н, поскольку система ((ь) линейно независима, константа б„корректно опре- делена. Последнюю форлзулу можно записать в виде е„— -- ~ ооь~ы и„„> О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
