Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ь=з (2) Используя индукцию по пэ мы полностью определяем ортонормированную си- стему 1еэ). Так как лзатрипа преобразования системы (уь) в систему 1еь) яв- ляется нижней треугольной, то 1 .=- ~ Охьеы,д „вЂ” -- и„„> О, и —. 1, 2,. в=1 (3) аьеь Х, ь=г который пока можно рассматривать как формальный. рассматренный процесс называется процессом ортогоиализации Сонииа— Шмидта. Из соотношений (2), (3) следует, что надпространства, порожденные системами (1„) и (е„), совпадают, и поэтому они одновременно полны или неполны. Если (д ) — счетное всюду плотное множество в Н, то из пего можно выбрать линейно независимую полную систему ( г'„).
Ортогонализуя ее, получим ортонормированный базис. Таким образом, в любом сепарабельиом еольбертовом, пространстве существует ортопормировазтый базис. Пусть 1' — произвольный вектор, (еь) — ортонормированная система. Вектору г" сопоставиле последовательность чисел аь — -- (б, еь) (в =. 1, 2,...), называелпях коз4фициентами Фурье вектора 7 по системе (еь), а также ряд 98 Главе, 2. Мотеметическ1зе основы численного анализе Чтобы исследовать свойства ряда (4), решим экстремальную задачу в — осей ~ — шй й=1 ~2 2 -- ~со;ей ) = (З - ~ аггеей; У' -- ~ ойей) = й=1 й=1 й=1 = Гз, Д вЂ”.
(У, ~ ~айса) -- ~~ ойей, ~) -й (~ ойгй," айей) = й=1 й=1 й=1 1=1 .= ! Д' — ~~овей + акаД -' ~ )ой '. Отсюда е 2 Х вЂ” ~ айей. = ф" — ~ ~ой! — ~ ~,'ой — аЦ . 1=1 й=1 й=1 Поэтому минимум достигается, когда ой = ай (к = 1, 2, ..., и). Из последней формулы вытекает следующее фундаментальное соотношение: !У - ~в!' = И' - ) М', (б) й=1 где ߄— и-я частная сумма ряда (4); ߄— -- 2, осей. В силу произвольности а 1=1 нз соотношения (5) вытекают сходимссть ряда 2 ~гйй и неравенство ,г ~! -!'<'Ш', 1=1 йб) называемое неровеистеойч Бесселя.
Оно имеет простую геометрическую интерпретатацию. Коэффициенты ай можно рассматривать как проекции вектора у на направление единичного вектора ей (в конечиомерном евклидовом пространстве проекпия вектора вычисляется через скалярное произведение самого вектора на единичный вектор направления). Поэтому неравенство (6) означает, что сумма квадратов ймодулей) проекций на взаимно ортогонэльные направления не превосходит квадрата длины самого вектора. Из неравенства (6) вытекает, что ряд ~4) сходится, так как при го < а (К,— 8т)'= ) )ой-, й=шй1 и, значит, последовательность (Я„) фундаментальна. В силу полноты про- странства П существует такой элемент д Е Н, что д =- )пп Я„, и поэтому в которой нижняя грань ипйется по ой(/с = 1, 2, ..., й).
По свойству скалярного произведения 'з3. Ортееаилльиые системьс е аильбертаеых пространствах 99 Если система 1еь) полна, т.е. является базисом, то р = 1, поскольку линей- ные комбинации векторов системы 1еь) приблигкают 7 сколь угодно точно. Поэтому для полных систем имеет место равенство 17) 1 Г у, „= 7ЛЬх, 2к / е 18) Известно, что в топологии, порождаемой нормой ~Я = 11, 7)~сг, простран- ство бг1э~) полно.
Замечательным примером полной ортонормированной си- стемы в этом пространстве является тригонометрическая система 1е'""1 В данном случае ряд 14) имеет вид ,Дх) ~ с„е' (9) си = — Х1х)е '"' сЬт. 2гс / о 110) Так как пространство й')Ь~) плотно в В сс8 ~8 а по теореме Вейерштрасса (слс. гл. 3 8 1) тригонометрическая система полна в С~Я'), то она полна и в Аг)5'). Поэтому, согласно 17), г, — г~ ~У(х)) дх =- ~~~ с е В том случае, когда 11х) — вещественная функция, используют вещественную форму ряда Фурье.
Поскольку с =- с для вещественной 7., полагая с„= 1а„— 1Ь )С2, где а„, Ь„вещественные, получим с с -~ с е = а„совах -~ Ь„всппх. Таким образом, 11х) — + ~ (аь сов 1сх -- Ььэш йх). 2 ь=п (12) иазываелсое равенством Парсееалл. Ортонорьсальные системы, для которых справедливо равенство Парсеваля, называкгтся еще замкирспыми, Понятия замкнутости и полноты в гильбертевых прОстранствах эквивачентны. Примвг полной ортоссорлсссрованной свстемы.
Рассьютрим пространство 2к-периодических интегрируемых с квадратом функций Лг(Я ). Скалярное о произведение введем обычным образом: 100 Глава, 2. Математическгге осноом чггслеггного анализа Вместо формулы (1О) получим формулы 1 Г 1 а„= — ! 2(х) сояпхг)х, Ь, = — ! 2(х) я!ппхг!х, п = О, 1,... (13) В вещественном случае равенство Парсеваля (11) записывают в виде г — 1~(х)г!х = — о —, ~ ~(аз -~ Ь~). ;г / 9 о =-1 Приведем еще форъгулу для частной суммы ряда Фурье (12); о„(х; У) =- — -! '~ (ая соя Ьт 4 Ьь яп Ьх).
2 я=г Подставив вместо аь, Ья их выражения по формулам (13), поогучим Я„(х; 2) = — ! 1(!) ~ — +~ ~(сояЬхсоярг1-!-я!пЬхя!пИ)1г)1, х,/ ~2 о ь=г о„(х; 2) = — / Х(!' В (х — !)сИ., (14) где )л„(х) — ядро Днрихле: П„(х) = —, + ~ ~соя Ьх. 1 2 ь=г х 1, х сйп — = — я!и —, 2 2 2' Зт х х 2п4-1 2п- 1, х я!и — — я!и — = соях 2я!и —, ..., я!и х -. я!и х = гояпх 2я!и— 222'''222 и просуммировать их. Тогда получим я!г1(2п + 1)х~'2 2 я!и х,г2 (1г) Формула (14) приобретает вид 2 1 ~' ) яш(2п, + 1)(! — х)гг2 к,/ 2 я!и(! — х),'2 о Этот интеграл называют интегралом Дирихле, Сумму., определяющую ядро Дирихле., можно зыгисать в компактном виде, если воспользоваться тождествами эЗ.
Оргиоеонлльныс сисгвемы е гольбертоеыт прострашстеал 101 2. Расстояние от элемента до подпространства. Теория приблихкенвй элементов пространства с помощью элементов конечиомерного подпрострапства наиболее проста в гтучае гильбертовых пространств. Пусть ь" с и — подпространство, натянутое на векторы Уы..., У . мы знаем, что Е" дополняемо; более того, существует такое ортогональное дополнение Ь'1, что Н =- Ль 81 Ьгг. Эта запись означает, что любой элемент У Е Н представим единственным образом в виде где д б А, 6 Е Ьт, и для любых двух элементов 91 с Г, 61 Е Ьт выполняется соотноп|ение ортогональности (дп 61) .=. О, в частности (д, 6) = О.
Поэтому ~у(э =:Ь!э+И' Вектор д называется проекцией вектора У' на подпространство А", а вектор Ь определяет кратчайиее расстояние от вектора У до подпространства | ". В самом деле, для любого вектора д1 б 1," (дг ф д, д1 = д-1- дг) имеем ),:У вЂ” д;)( †" ')У вЂ” д — дг! " = !'Ь вЂ” дз), = ( 6!' -р )~дг(~ > )У вЂ” 9~ Запишем аналитически задачу о построении кратчайшего расстояния от эле- мента У до подпространства Ь": б = (6!' = 1пГ (,У вЂ” р!' =1п1 У вЂ” ~ ~г19Уь ш ь.-.-. 1 Пусть д = 2,' бгУю Так как У вЂ” д ортогонально к Ь", то (У вЂ” д, Уь) = О, или в=1 л ~(УО Уь)бь = (У, Уь), Ь = 1, 2,, и,. 1=1 (18) (Ую У)бь = (У У) —" . ь.::1 Включая это уравнение в систему (18) и рассматривая новую систему, исходя из совместности этой системы, заключаем, что ранг расширенной матрицы не превосходит п.
Поэтому (Уп И (Уэ, У1) " (У, У1) (Ум У) (У1 Уь) (Уэ У ~) ° (Уь Уч) (У". Уь) (Уы У) (Ут, У) (У, У) (У . У) — б' = О. Матрица этой системы эрмитова,поскольку (Уп Уь) — — (Ую У~),и называется матрицей Громе, системы векторов Уп, .., У„. Детерминант этой системы называется детерминавтолг Грамс и обозначается через С(Уп ..., У„) = = бес((УО Уь)), „ заметим, что бэ = (у — д, у — д) = (у — д, у) — (у — д, 9) = (у д~ у) = — (У, У) — (д, УЬ Отсюда 102 Глава 2. Математические основы числеанага анализа Раскладывая этот детерминант по элементам последнего столбца, получим С((г, ..., (в, 1) — б~С(1ы ..., )а) = О. (19) Заметим, что С((г) =,~,(г',~ > О, так как по условию Л ф О.
Если С(~ы..., гг) > О, по С(!ы ..., (г г) = О, то, применяя формулу (19) в том случае, когда п = й, ! .—.. !'ь, получим б = О, т. е. !п(,(г+д — ~ гл,б~ = О, л шг что равносильно линейной зависимости векторов (г, ..., 1г Если вектоРы (ы ..., 1„линейно независимы, то С(1ы..., („) ) О, а из (19) получаем (20) Используя детерминанты Грама, можно в изящном виде представить ортонормированную систему (ем,,,, е,„), полученную процессом ортогонализации Сонина-.Шмидта. Пусть Со =- 1, Сь = С(Уы, Уь) (й —.. 1, 2, ..., и!. Легко проверить, что (у1, У!) (г'г, У3) ... (Уь, У!) еь = (Сь гСг) (21) (6 1г-г) (У !'ь — ) " (Ь Уг-г) уг .Хг ...
уг В самом деле, выполнимость условий (ег, !г) = О О = 1, 2, ..., й — 1) очег1г видна, равно как и соотношение (ег,,(г) =- (Сь,гСг г) . Поэтому (сь, ег) = .— — Сг г(еь, 1г)(Сь гСь) '!г = 1. Рассмотрим гильбертово пространство Гг',1) (1 = [О, Ц) и в нем систему (х" 1 ') . (1гг2 < Вепг < Вепг < ...). Применим полученные результаты 1.-ы к вопросу о полноте этой системы.
Поскольку система функпий (х ! (т б У)по теореме Вейерштрасса / =о полна в С(1), а пространство С(! ' плотно в 6 (!), то достаточно рассмотреть вопрос об аппроксимации степеней х ' (т — 1 ) О, т — целое) с помощью системы (х"1 ' ). Прежде всего отметим, что Рассмотрим детерминант более общего вида, называемый детерминагь там Каши (а, + Ьг),г=г Соответствукипую матрицу будем называть матрицей Коши: з3. Ортвгвнальныв систвмвь в гильбертввых пространствах 103 Предложение 1. Детерминант.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
