Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 26
Текст из файла (страница 26)
1,2,...,п. и е- 1 Для многочленов У„(х) остается в силе рекуррентная формула (52), в то время как Уг (х) = 2хПо(х) = 2г; их нули иьгегот вид зЗ. Ортогоиальиыс системья е гильбертааых простраистоах 113 5'. Ортогональные многочлены на бесконечном интервале.
Пусть а = О, 5 = сю, с1п(х) = х е ' я1х1Г(о + 1) (е > — 1), Соответствующие артогональные многочлешы обозначим через 1 00(х) ( и = О, 1,...). Введем следуюяцее условие нормировки: (1.'„"', 1.,'"') = (" ~; ), ~,1=0я1, Многочленья (Ьь (х)) называются миогочлеиами Чебьяяаева — Лагерра. с ) Прежде всего отметим, что и ' я1х" (54) Отсяода непосредственно получаем (55) Легко проверитяч что многочлен 1,„(х) удовлетворяет дифференящшяьному уравнению ху" + (е ч- 1 — х)р 4- из = О. (56) Рекуррентная формула для многочленов Чебышева — Лагерра имеет вид 1'е (х) — 1 1ч (х)=*-'о" С помощью формулы (54) выводится соотноняение ~ 1~, 1(х)г" = (1 ч- ) ехр( ° =1 (58) х У( )ехр( — —, ' )а =- О е Но б б Ег[0, оо; а) означает, что х с~с 1~1(х) = д(х) б Ьг[0, со,:. Поэтому последнее соотношение можно записать в виде *12 д(х)х~~ ехр(-хЦ)я(х =. О, 21— е (59) И это соотношение будет иметь место не только, когда мало, но и при Ке я," > О, так как интеграл является аналитической функцией я, в полуплоскости Пес,' > О.
По формуле обращения для преобразования Лапласа отсюда Опираясь на эту форьяулу, можно доказать, что система многочленов Чебышева -Лагерра полна в 1 г,['О, оо; и[. Если допустить противное, то найдется функция 1 б 1 э[0, оо; а), лля которой (г", 1 ) = 0 (и = О, 1,...). Умножим тождество (58) на Д(х)х~г л и проинтегрируем по х по интервалу [О, оо), предполагая, .что г мало. Законность этой процедуры можно обосновать, если учесть порядок роста [[1„ [[.
Тогда получим 114 Глава 2. Матенатическгее основы численного авали»о. е *Нг(х)Н1(х)бх — -- х'щ2 й!бы, lе, 1= О, 1,. 1 * (60) Не составляет особого труда вывод следующих соотношений: 2 ег 2 Н„(х) = (-1) е е (- 1)» (2х)" у! п — 22 »=о (61) (62) Эти многочлены удовлетворяют дифференциальному уравнению уо — 2ху' '; 2пу = О (63) и рекуррентной формуле П„(х) = 2хН, 1 — 2(п — 1)П 2(х), и =.
2, 3,... (64) Многочлены Чебышева-.Эрмита можно определить с помощью производящей функции г" = ехр(--г -~ 2гх). Н„(х) (65) .=о Полнота системы (Н„(х)) доказываезся так жс, как н полнота многочленов Чебышева — Лагерра. Классические ортогональные многочлены удовлетворяют разностно-дифференциюеьным уравнениям. Приведем пример такого соотношения для многочленов Чебышева первого рода: (1 — 22)Т„'(х) . п[Т 1(х) — хЕ'„(х)). Аналогично неопределенные интегралы от ортогонального многочлена можно выразить через линейную комбинацию ортогонвльных многочленов.
Так,например, (х) Т„ . (х)~ / Тш,(х)дх .— — [ 2 ( 2п+1 2п — 1 а 0 1 ~12 тг(х) Т2 (х)з,л ( 1) ( 1 1 ) 2 2п,-2 2п ' 4 и и+1 о Примеры подобного рода соотношений для других ортогональных много- членов можно найти в справочниках. При работе с ортогональными многочленами такого рода соотношения очень удобны. 6. Гипергеометрические функции. л1ы привели примеры ортогоншгьных многочленов и джеи ряд фундаментальных формул для классических следует, что у(х) = О, а значит, и е(х) = О почти всюду. Это и доказывает полноту многочленов Чебышева — Лагерра, Наконец, рассмотрим многочлени Уебьпиеоа- Эумита.
В данном случае — 1, 2 — лг п — -- — оо, 5 .=- оо, е(о(х) =. 11 ~~~с " Их. Эти многочлены обозначаеотся через ТХо(х) и определяются условиями 83. Ортогонлльныс системы о гильберо|ооых прос|пранстоах 115 ортогонвльных многочленов. Каждая из этих формул — только одна из обширного класса формул для специальных функций более общего вида. Для того чтобы дать некоторое представление об этих спепиалы|ых функциях общего вида., кратко затронем вопрос о гипергеометрических функциях. Дело в том, что вычисления, построенные на вспользованив специальных функции, имеют широкое распространение, и спепиалисту-вычислителю требуется определенный минимум знаний об общих свойствах специальных функций.
Сделав в уравнении (46) подстановку 1 — 2х| =. х, а затем обозначив х| снова через х,получнм уравнение х(1 — х) уо + (сг + 1 — (а + 14 + 2) х1у' + п(п -ь а + 6 + 1) у = О. (66) Это частный случай гипергеометричоского уравнения, имеюп1его вид х(1 — х)уо+ [с — (а+ Ь м 1)х|у' — аЬу = О. (67) Уравнение (66) отвечает значениям параметров а —..- — и, Ь = п — а х,З вЂ” 1, с —. а —; 1. Одним из решений уравнения (67) является гипергеометрнчес|о|я Iа, Ь) функция го| ' х), получавццаяся как сумма ряда с Е (а.,Ь '1 т;- ( )ь(Ь) ,) ~ (с) ой! (68) где (а)ь — так называемый сдвинутый факториал, определяемый соотноше- ниями (а) ь = а(а — 1)...
(а — Ь вЂ” 1) (Ь = 1, 2,...), (а)о = 1. Поэтому т Ю си — а'| / — и, и —,с| —,8-1-1 1 — х (а|...а„'1 х (а|) ... (ар)л х" (70) Если р ) д, то этот ряд сходится для всех комплексных х, если р =- о т 1, то он сходится при ~х < 1, а если р > д -' 1, то только при х = О. Существует много специальных функций, являющихся частными случаями гипергеометрической функции (70). Так, например, , х", )х(<1; =о е =оро(х); (1- х) '=|гЬ ( х) = 2 '| --.'(З~2 -~ 3 ' 7'1, 1) .( х)=х,',(, ~ .,) 71||2., 1 г) шсгбх — "' х ор'| ( 3 |2 ~х < 1; )х~ < 1.
т.е. мы получаем формулу (41), записанную несколько иначе. Если а либо Ь не равны целому отрицательному числу либо нулю, то ряд (68) сходится прн х <1, Гипергеометрическая функция (68) — частный случай более общей гнпергеОметричЕской функции 116 Глава 2. Математические осиовьг чггслсииого анализа. На параметры а, Ь, гипергеометрической функции можно смотреть не просто как на маркеры, позволяющие отличить одну функцию от другой, но и как на переменные, и тем самым моокпо расширить аналитические возможности ряда (70).
Егши Ке(с — а — Ь) > О, то ряд (08) сходится при я =- 1 (по признаку Гаусса), и мы находим а> 6) 1 Г(с)Г(с — а — 6) ('~) ) Г(с — а)Г(с — Ь) ' Полагая с = 1г2, а = л, Ь = -т, получаем замечательнуго формулу [Г(1Д)] ' ' ( 1гГ2 ) Г(1гг2 --л)Г(1гг2 †, я) Свойства гипергеометрическюг функций от одной переменной хорошо изучены. Имеется большое число рахгнчных формул преобразования гипергеометрических функций. Рекуррентное соотношение для ортогональных многочленов в ряде шгучаев является вариантом некоторых формул преобразования гипергеометрических функций. Интеграчьные представления гипергеометрических функций приводят к интегральным представлениям для ортогональных многочленов.
Связь этого класса специальных функций с теорией дифференциальных уравнений, теорией представлений групп и с теорией алгебр Ли проливает свет на природу многих соотношений и тождеств, гшвестньгх в теории специальных функций, и позволяет получать новые соотношения. Все эти факты целесообразно иметь па вооружении, когда мы стоим перед лицом трудных вычислительных задач.
Надо помнить, что многие формулы преобразования интегралов и специальных функций были открыты нашими предшественниками из-за горячего желания вычислить величину некоторого интеграла либо значения некоторой функции. 7. Одна оценка дли полиномов. Закончим этот параграф одним предложением техшгческого характера, которым мы уже пользовалась выше. Пусть многочлен .г(л) гхз„допускает опенку ] ( )~'1 <С", (71) где 1 < р < ос, Ь вЂ” а < гю. Поюжеьь, ~хг 1(а)~ < См 6 = О, 1, ..., г — 1, (72) гдо константа Сг зависит от С, р, а, Ь, г, Е В самом деле, после замены переменны я .= а + (Ь вЂ” а)1 получим, что х(а+ (Ь вЂ” а)1] = хг(1).
и неравенство (71) приобретет вид 1 о~)хд(1)! ал < о 34. Уравнения в конечныв р оностлх и смежные вопросьг 117 Рассмотрим на ,'О, Ц систему многочленов (рь(С)), где рь(1) = рь( — 1 ь 21), а рг — многочлен Лежандра. Система (рг) ортогонвльна на [О, Ц. Если — 1 лг(1) = ~агро(1), ь=о (73) то, обозначая через (, .) скалярное произведение в бг(0, Ц, имеем (рь, рь)аь = =- (яг, рь) (й = О, 1, ..., г — 1); отсюда ~ ь~( !р„(1)! (!шилдс 1 о По неравенству Гельдера 1 1,г (аь ( пзах )рь(с)~() ~яг(г)~"М) ( САг(Ь вЂ” а) о где Аь зависит только от 1ь Разлагая правую часть формулы (73) по степеням 1 и учитывая последнее неравенство, подучим неравенства (72].
я 4. Уравнения в конечных разностях и смежные вопросы 1. Оператор сдвига н ряд Ньютона. Введем некоторые операторы, которые в чипгенном анализе играют очень важную роль. Мы будем их рассматривать на множестве 0 зс„; однако некоторые из этих операторов будем (7'"з')(т) = з'(' й). В дашюм случае этот оператор определен на С(-.эс, со. С этим оператором тесно связаны операторы разносто вперед с шагом 6 Ль = ть — 1, где 7 — единичный оператор, а также оиерогвор разности назад с шагом Ь и оператор центральной разности д =7ат — Т Ь= рассматривать на С( — оо, оо).
Наши исследовшшя будут носить шесте алгебраический характер.поскольну мы не будем давать строгого определения области существования операторов н не будем вводить какой-либо топологии как в области определения, так и в области значении. Окончательной нашей цельк> будет получение некоторых тождеств, связывающих различные операторы. преведе всего введем оиерагаор сдвига х" (6 е н): 118 Глава г. Математические асиоеьг числениоги анализа Рассмотрим кольцо операторов, эвементами которого будут формальные ряды вида ~„э~Е"., где а (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
