Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(1б) Это -- линейное неоднородное уриенение, д — правая часть; если д(т) — — О, то уравнение называется линейным однородным. Уравнение (1б) является разпостным аналогом линейного дифференциального уравнения в-го порядка, и многие факты теории рагностных уравнений имеют полные аналоги в теории дифференциальных уравнений. 84. Уравнения о коночных р оносгилх и сме:осине вопросы 123 Прежде всего отметим, что если Х,'„,..., 1 (т — Д,, п! 6 Е+) — решения однородного уравнения (16), то нх линейная комбинация зм = Е, С! 7„, 1:- ! (ги Е+)! является решением.
Если уо, -- некоторое решение неоднородного уравнвния,то !' =зо, +~ С!У,, ВЕ+, (17) !=1 тол!в решение неоднородного уравнения. Доказательства этих утверждений тривиальны. Если !"„'„..., г„"„-- решения однородного уравнвння (16) и (18) то — С! 7'з„, т Еж, (19) у=! есть его общее решение. В самом деле, пусть требуется построить решение г" однородного уравнения (16) такое, что ~, —. 6, (т — —. О, 1,..., и — 1). Определив постоянные С! из системы уравнений ~С~г! =',, т=0,1,...,п — 1 (а это возможно в силу (18)), получим, что формула (19) определяет искомое решение. В когестве следствия получаем, что общее решение уравнения (16) является суммой частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, т.е. представляются в виде (17), где й = и, а функции т н 7! (у .= 1, 2, ..., и) удовлетворяют условии! (18).
раооматрим мЕтОд вариации проиЗвольных поСтОянных применительнО к уравнению (16). Пусть ! ! У " УэВы = Покажем, что если 1! (у = 1, 2, ..., и, т б Е) суть частные решения однородного уравнения (16) и Во ~ О, то Вы р' О (т = 1, 2,...). В самом деле, подставив уо„в однородное уравненив (16) и записав его в виде а (х)7' жа !(и!~~'о! з-...з-а!(т)(' „! =- — з" получим при у' =. 1, 2, ..., и систему и линейных уравнений с неизвестными а (т), ..., а!(т), Найдя а„(т) цо правилу Крамера, получпм а (т)!) = б' , где б,, — детерминант,получающийся из В заменой первого столбца на вектор-столбец ( — г,' „, ..., — (,'„'+„) . Затем, персставляя этот столбец на место последнего столбца и вынося — 1 за знак дотерминш!та, получим и = ( — 1) В э!.
Таким образом, а,(!п)В,, = ( — 1)"В„, 124 Глава д. Математические оснооь! численного анализа з=! где С,': Х вЂ” К -- неизвестные функции. Наложим на эти функции условия Сз, »Д, ! — — ~~! С~,Д, », гпбХт., /=1,2,...,п — 1. (20) Беря 1 = и — 1 и делая замену т п!+ 1, получим (21) Делая подстановку в уравнение (16) и используя соотношения (20),(21), получим Д»пЬС„",=д, трЕ».. (22) у=! Из соотношения (20), отвечающего 1 = 1, получим д ~(',ЛС„'„= О, з=! (23) а вычитая из соотношения (20), отвечающего 1 = к, соотношение (21) с 1 = й -- 1, в котором предварительно сделана замена гп ! — т -»- 1,получим (24) Уравнения (22) — (24) — система п линейных уравнений с неизвестными ЬС~ (у = 1, 2,..., и), определитель которой равен ТУ т!. Таким образом, По условию Тзо ~ 0 и а„(»п) П 0 для т 6 Е,, и, следовательно, Тз,п Г' 0 для т Х т.
Заметны, что детерминант (18) и детерл!инант »ло транспонированы друг к друг,. Решения )'! (гп 6 Еэ, у = 1, 2, ..., и) однородного уравнения (16) будем называть л»знойно незаеисил»ыми, если функции 1' ! Хт .-! В,(1 =- 1, 2, ..., и) линейно независимы. Из доказанного следует,что если Тзо ф О,или,что то же самое, если выполнено условие (18), то решения уз,(п! б Хт, у = 1, 2, ..., и) линейно незавиеимые.
Очевидно, что имеет место обратный факт: если решения Упз, (т 6 Х»., у = = 1, 2, ..., и) однородного уравнения линейно независимы, то Тзо ф О. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения неоднородного уравнения организован точно так же, как и для дифференциальных уравнений. Пусть 1! (т б Е, !' = 1, 2, ..., и) суть линейно независимые решения однородного уравнения (16). Решение неоднородного уравнения ищем в виде э4.
Уравнения о конечнмт р оноегллх и смежные еонроеэ! 125 где Р' „, — минор определителя Рш », получающийся вычеркиванием послед- ней строки и 1-го столбца. Отсюда — ! р! СА =~ Др»( — 1) +'+С,', 1=1» 2» ..., ! — О ! ! (2о) и 6 Еэ. Произвольные постоянные Со» (1 = 1, 2, ..., и) определяются из начальных ус,товий. 3. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. ,г" т„— а ~„,,4 ...— а,н( =д, тВЕ~, (26) где а„у'- О.
Частные решения однородного уравнения (26) находятся в виде (н = Л'"'. Делая подстановку, получим уравнение Лш(Ло, а»Л" '+... -!- а„) = О. (27) Допустим теперь, что характеристическое уравнение имеет кратные корни, и пусть Л» — корень кратности г > 1. Будем искать решение однородного уравнения (26) в виде 1",„= Л, »ол»» где»о,н - многочлен от т степени не больше »7,.
По форм»'ле (8) о=о Поэтому (н„еа»1, ! т...-~а„»" =е» а»Л! й »:=о ь=о 1)й ! »Л»р у)аа»Л, Заметим,что (н — 1')йа Л '» = РОО(Л!), м-е Таким образом, получим решение, если Л вЂ” корень характеристического уравнения Р(Л) — — О, где Р(Л) = Л -~ а»Л" ' -1-... -1- а„. Если характеристическое уравнение имеет и различных корней Л»,..., Л: Л»,..., Л„.—... а„ф О, то мы получим частные решения е»»н = Л (!' = 1, 2, ..., т), для которых выполняется условие (18), поскольку соответствуюший детерминант есть определитель Вандермонда.
Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид 126 Глава М. Математические основе~ чпслснноао апалиэв и поэтому, если Ь"Эь„= О (т е Хэ). то )ш = Л7'л, — решение однородного уравнения (26). Из формулы (3) получаем, что решение уравнения Ь"Ээ„,, = 0 (ш 6 Еэ) — 1 С тз, с=а и, значит, однородное уравнение (26) допускает решения К вЂ” -- т'-Л',", 1.=. О, 1, ...,. г — 1, (28) когда Л~ — г-кратный корень характеристического уравнения. Эти решения, очевидно, линейно независимы Если характеристическое уравнение имеег кор- ни Лм .... Л, соответственно кратностей гм, г, 2 гз — —. гг), то общее решение однородного уравнения (26) имеет внд Л, ~~ С ьпг~,тп, 6 Ет, (29) где С,а — произвольные константы.
Это следует из того, что для системы функций Д~ =- Л, пгй(а ( к = О, 1, ..., г, — 1, 1' = 1. 2, ., э) выполнено условие (18). Величину соответствующего определителя, обобщающего определитель Вандермонда, нетрудно сосчитать, что мы и предлагаем сделать читателю. Один из первых примеров разностного уравнения мы находим у Л. Фибоначчи в его ч1(нисе о счетец написанной в Х111 в. Он имел дело с посзедовательностью О, 1, 1,2.
3, о,8, 13,21,34, 55,89, 144,..., в которой каждый последующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Эту последовательность П. Фибоначчи предложил рассматривать в связи с вопросом о том, сколько пар кроликов получится за год от одной пары, если предположить, что любая зрелая пара дает каждый мосяц приплод — еще одну пару, каждая новая пара достигает зрелости в возрасте одного месяца и кролики не умирают. Последовательность Фибонач пг получается как решение разностного уравнения г" ез —. 1',з~ -- 1', = О, т 6 Ее, (30) при начальных условиях уо = О, П вЂ” — 1.
Решение уравнения (30) с указанными начальными ушювиями будем обозначать через Г: т — ~ Г (7п 6 Хе), а сами величины Г будем называть числами Фибоначчн. Эти числа неожиданно встречаются при рассмотрении самых разных задач, и мы уже имели удовольствие с ними познакомиться в гл. 1. Составив характеристическое уравнение Л вЂ” Л вЂ” 1 = О, вычистим его корни Л~ = (1 + ъ'5))2, Лз = (1 — ч'5)/2. Используя начальные условия, без особого труда находим (31) Числа Фибоначчи удовлетворяют огромному числу различных тождеств.
Так, например, что легко получается по индукции либо с помощью формулы (1ог). 24. Урлепхниа е конечных р опосгплх и смехспллс вопросы 127 Рассмотрим число о = (1 + ьгб)~2. С его помощью формула (ЗЦ запишется в виде Е;„=. (сЛ ( — 1)™дг ~/лгб, из которой сразу видно, что для того, чтобы получить Г„, при т )> 1, нужно величину о /лгоб округлить до ближайшего целого. Число й ' = "л, ' называют золотым сечением.
4. Нелинейные разностные уравнения. Мы уже видели, что можно ограничиться уравнениями вида (14). Коль скоро известна функция д, то вопрос о вычислении х,тл по х, тривиален с обвсей точки зрения, но с точки зрения численного анализа дажо в этом случае оп не прост, поскольку нужно исследовать влияние погрешностей округления.
В численном анализе итерационная процедура —. это один из основных способов получения приближенного решения задачи. Поэтому интересно и необходимо рассмотреть в обшем виде задачу о поведении последовательности (х )~, определяемой с помощью соотноилення х, г =-д(х ), ил=О, 1,..., (32) где д: С К", С вЂ” некоторая область нз И". Мы упростили уравнение (14), исключив зависимость от перемешгой т. Для того чтобы понять какие возможны случаи поведения последовательности (х,)~, расслютрилл нскочорыс примеры.
Одним из наиболее ранних по времени и замечательных примеров итерационных последовательностей является последовательность 1'аусса арифметико-геометрических средних. Пг'имка Гауссы Рассмотрим отображение квадранта Нэ — — (х, у: х > О, у>О) г х (х+ у)~2 и последоватечьпость х„, г=д(х ), ил=0,1,..., х= Если у < х, то очевидно, что тм л < х и у л < х, л. Поэтому, каковы бы ни были на лальные данные хо, дс, имеем хл » ... х, > ..., если хс ф уе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
